NL-means

NL-means(非局部均值)算法

对于某一离散噪声的图像

(){(),}v i v i i I =∈

中的某一像素k ，我们规定k N 为以k 为中心的矩形邻域，那么图像v 中的像素i 和像素j 的高斯加权欧式距离为

2

,2||)()(||αj i N v N v -

其中0a >为高斯核函数的标准差。

如果我们把含噪图像()v i 表示为待恢复的未受噪声污染时的图像()u i 与均值为0的加性高斯白噪声()n i 的和，则有()()()v i u i n i =+，且噪声服从均值为0，方差为2

σ的高斯分布。于是欧氏距离可以表示成为以下等式

2

2

,22

,22||)()(||||)()(||σαα+-=-j i j i N v N v N u N u E

在该式中含噪声图像的高斯加权欧氏距离的平方与未受噪声污染图像的高斯加权欧氏距离的平方只差了一个常数2

2σ，从而保证了算法的稳健性，其稳健性取决于噪声的方差2

2σ。

于是我们可以得到描述像素i 和像素j 相似程度的权值为

2

2,2

||()()||1(,)exp()()

i j v N v N w i j Z i h

α

-=

-

其中，

∑Ω

--

=

j

j i h

N v N v i z )||)()(||exp(

)(2

2

,2

为权值的归一化系数，而h 为图像的平滑参数。参数h 控制了指函数的衰减来控制权值的大小从而控制平滑噪声的程度，如果h 比较小的话，幂函数的衰减效果比较显著，细节保留程度比较高，因此会保持图像本身的细节信息。由于像素i 和

像素j 相似程度依赖于矩形邻域()i v N 和()j v N 的相似程度，因此当权值越大时图

像的矩形邻域就越相似。同时，权值(,)w i j 还满足以下条件：0(,)1w i j ≤≤且

(,)1w i j =∑。

下图（图1）为计算图像自身相似程度的例子，其中像素p 和像素1q 具有相似的矩形邻域，而像素p 和像素2q 的矩形邻域相似程度较低。因此我们计算去噪权值时会发现，(,1)w p q 的值大于(,2)w p q 的值，即像素1q 对去噪权值的影响要远大于像素2q 。

图1

于是，对于该离散噪声的图像{()|}v v i i I =∈中的某一像素i ，我们可以得到这个图像所有像素的加权平均值为

()()(,)()j I

NL v i w i j v j ∈=

∑

在代码实现过程中，如果有一彩色图片

123(,,)

u u u u =需要在像素点p 处去噪，

我们首先取出以p 为中心，(21)(21)r r +⨯+大小的矩形窗口(,)B p r 。那么对于窗口中的每一像素q ，我们可以得到两个分别以p 和q 为中心，大小为

(21)

(21)f f +⨯+

的矩形邻域

(,)B p f 和(,)B q f 。这样我们就可以计算(,)B p f 和(,)B q f 之间的高斯加权欧氏距离

3

2

2

2

1

(0,)

1((,),(,))(()())3(21)

i i j B f d B p f B q f u p j u q j f ∈=

+-++∑∑

于是我们可以求出权值

2

2

2max(2,0.0)

(,)exp()d w p q h

σ-=-

和归一化系数

(,)

()(,).

q B p r C p w p q ∈=

∑

由此，该点的去噪结果为

(,)

1()()(,).

()

i

i q B p r u p u q w p q C p ∈=∑

如果我们要去噪的区域为以p 为中心，大小为(21)(21)f f +⨯+的矩形窗口

(,)B B p f =，那么我们定义其归一化系数为

(,)(,)

(,)

Q Q q f B p r C w B Q =∈=

∑

，

相应的去噪结果为

(,)(,)

1()(,).

i

i Q Q q f B p r B u Q w B Q C

=∈=∑

使用此方法，窗口B 中的每个点我们都得到了

2

2

(21)

N

f =+个近似的结果，这样

将所得结果取名均值，我们就得到了最终的去噪结果

2

(,)|(,)

1()().i i

Q Q q f q B p f u p Q p N

=∈=∑

在代码实现的过程中，在计算中涉及到的参数大小的选择都是由噪声信号的标准差σ决定的。当σ增加时，我们需要选取更大的矩形邻域（更大的f ）以确保窗口比较的稳健性。同时，我们也要选择更大的窗口（更大的r ）以便能找到更多的相似像素，从而确保该算法的去噪能力。我们定义图像的平滑参数h k =σ，随着矩形邻域面积的增加，参数k 的值相应地减小。一般情况下在算法中涉及到的参数的选择可以参考下表（图2）。

黑白

彩色

标准差σ 矩形邻域面积 选择窗口面积

平滑参数h

标准差σ

矩形邻域面积 选择窗口面积

平滑参数h

015σ≤≤

33⨯ 2121⨯ 0.40σ

025σ≤≤

33⨯ 2121⨯ 0.55σ

1530σ≤≤ 55⨯ 2121⨯ 0.40σ 2555

σ≤≤

55⨯ 3535⨯ 0.40σ 3045σ

≤≤

77⨯

3535⨯

0.35σ

55100σ≤≤

77

⨯

3535⨯

0.35σ