小升初数学：鸡兔同笼问题四种类型用假设法，你也能轻松解

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我国古代数学著作《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5 世纪。

这本书浅
显易槿，有许多有趣的算术题，比如"鸡兔同笼"问题。

解答鸡兔同笼问题，常常通过假设。

当问题里有两个或两个以上的未知数量时，可以假设要求的两个或两个以上
的末知量相等，或假没它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如
果数量上出现矛盾，可以适当加以调整，求出正确答案。

像这样的思考方法称为
假没法。

一、基本知识点
1、含义
鸡兔同笼是古典的算术问题，也叫作龟鹤问题、牛顿问题、置换问题。

已知
鸡、兔的总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只的应用题，叫做
第一鸡兔同笼问
题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔
同笼问题。

2、类型
（1）已知鸡兔总头数和总脚数，求鸡、兔各多少只；
（2）已知鸡兔总头数和鸡兔脚数的差，求鸡、兔各多少只；
（3）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少只）；
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）。

3、数量关系
（1）类型 1 已知鸡兔总头数和总脚数，求鸡、兔各多少只
①假设全都是鸡，
兔数＝（实际总脚数－每只鸡脚数×鸡兔头总数）÷（每只兔脚数－每只鸡脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
②假设全都是兔，
鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔头总数－实际总脚数）÷（每只兔脚数－每只鸡脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
（2）类型 2 已知鸡兔总头数和鸡兔脚数的差，求鸡、兔各多少只
①鸡的总脚数比兔的总脚数多
A、假设全是鸡
兔数＝（每只鸡脚数×鸡兔头总数－实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
B、假设全都是兔
鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔头总数＋实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
②兔的总脚数比鸡的总脚数多
A、假设全是鸡
兔数＝（每只鸡脚数×鸡兔头总数+实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
B、假设全都是兔
鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔头总数-实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
（3）类型 3 鸡兔互换问题
鸡数=[两次总脚数和÷每只鸡兔脚数和+两次总脚数差÷每只鸡兔脚数差]÷2
兔数=[两次总脚数和÷每只鸡兔脚数和-两次总脚数差÷每只鸡兔脚数差]÷2
（4）类型 4 得失问题
①假设全是合格产品
不合格产品数=（每个合格产品的分数×产品总数-实际总得分数）÷（每只
合格产品得分数+每只不合格产品扣分数）
合格产品数=产品总数-不合格产品数
②假设全是不合格品
合格产品数=（每个不合格产品扣分数×产品总数+实际总得分数）÷（每只
合格产品得分数+每只不合格产品扣分数）
不合格产品数=产品总数-合格产品数
4、解题思路
解答此类题目一般都用假设法或置换法，可以先假设全是同一种动物鸡（也
可以假设全是兔）。

如果先假设都是鸡，即用鸡置换兔，再根据
鸡兔总头数算出
在假设情况下的总脚数，用实际总脚数减去这个假设情况下的总脚数，就是假设
情况下多出的总脚数。

实际上每有 1 只兔就少 1 只鸡，总脚数就会比假设情况下
多（每只兔脚数－每只鸡脚数）。

所以只要求出在假设情况下，多出的脚数种有
多少个（每只兔脚数－每只鸡脚数），就可以推算出兔的只数。

如果先假设都是
兔，然后以兔置换鸡。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得
到解决。

5、口诀记忆
假设全是鸡，假设全是兔，
多了几只脚，少了几只足，
除以脚的差，便是鸡兔数。

Φ二、一张思维导图归纳总结
Φ三、经典应用
例 1、鸡兔共 8 只，共有 22 条腿，鸡育多少只，兔有多少只？
【解答】我们用枚举的方法，假设鸡8 只、兔0 只，一共2×8=16（条）腿；
鸡 7 只、免 1 只1×2+1×4=18（条）腿；鸡 6 只、兔 2 只，一共6×22×420（条）
腿；鸡 5 只、免只，一共5×2+3×4=22（条）腿……直到满足答案为止。

如下
表：
答：鸡有 5 只，兔有 3 只。

【反思】答鸡兔同笼问题，当数据较小时我们可以根据"鸡兔头"的总数，
逐一按顺序列举出来，从中找到正确的答案。

当数据较大时，我们可以先猜测"鸡、兔"各有几只，算出"腿数"进行列
表，列出几种况，再逐步调整到符合题目要求的情况。

例 2、笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 8 个头，从下面数，有 26 条
腿，鸡和兔各有几只？
【解法 1】假设都是鸡：先在纸上画 8 个圈，代表 8 个头，然后在每个圈上
画 2 条竖线，代表 2 条腿，一共画了 16 条腿，如下图：
再在 5 个圈上画 2 条竖线，这样一共是 26 条腿，所以，有 5 只兔，3 只鸡。

【解法 2】假设都是免：先在纸上画 8 个圈，代表 8 个头，然后
在每个圈上
画 4 条竖线，代表 4 条腿，一共画了 32 条腿。

再在 3 个圈上画掉 2 条竖线，这样一共是 26 条腿。

所以，有 5 只免，3 只
鸡。

验证：5+3=8（只）；5×4+3×2=26（条）
答：鸡有 3 只，兔有 5 只。

【反思】这两种画图方法都是采用假设的方法，全假设成鸡或全假设成兔，
腿数和实际相比不够就要添上，多了就要去掉。

例 3、在同一笼子里，有若千只鸡和兔，从笼子上看有 35 个头，从笼子下
数有 94 只脚。

那么，这个笼子里有兔、鸡各多少只？
【分析】假设 35 个头都是鸡，由于每只鸡有 2 只脚，所以共有脚2×35=70
（只）。

但题设为 94 只脚，少了 94-70=24（只）脚。

原因是每个兔子当作鸡，要少算 2 只脚，因此少了 24只脚是因为将24÷2=12
只兔子当作鸡的结果。

因此兔子有 12 只，鸡有 35-12=23 只。

【解法 1】假设全是鸡。

兔子：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）
鸡： 35-12=23（只）
【分析】假设35 个头都是兔子的，由于每只兔4 只脚，所以共4×35=140
（只）脚，但题设只有94 只脚。

多了140-94=46（只）脚。

原因是每个鸡当作
兔子要多算 2 只脚，因比多的 46 只脚是因为将46÷2=23 只鸡当作兔子的结果，
因此鸡 23 只，兔 35-23=12（只）。

【解法 2】鸡：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔：35-23=12（只）
【解法3】假设这笼子中的鸡都是"金鸡独立"的"单脚鸡"，兔子都是前
脚抱着大萝卜的兔"，则共有 35 个头，94÷2=47（只）脚，由于每只"双脚兔"
比"单脚鸡"多一只脚，所以有兔 47-35=12（只）鸡
【解法 4】假设每只动物都砍掉 2 条腿，则共砍掉2×35=70（条）腿，还剩
94-70=24条腿。

这些腿都是兔子的腿，每只兔还剩2条腿，所以共有兔子24÷2=12
（只），鸡 35-12=23（只）
【解法 5】如图，AB 代表鸡、兔头数 35 个。

ABCD 代表免子的总脚数；
DEFG 代表鸡的总脚数；
ABEFGC 代表鸡、兔的总脚数94 只。

右上角补上一块长方形EFHB，构成大长
方形 ACGH。

其面积为4×35=140，因此补上的一块 ACGH的面积等于4×35-94=46。

要求鸡的头数DG=EF，而 FH=4-2=2,所以，鸡的头数46÷（4-2）=23。

兔的头数
=35-23=12
综合列式：鸡:（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔：35-23-12（只）
答：这个笼子里有兔 12 只，鸡 23 只。

【反思】我们可以得到解决鸡兔同笼问题的基本关系式：
鸡数=（每只免脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只免脚数-每只鸡脚数）
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数
【注意】这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出鸡数或兔数，又知
总数，所以另一个也就知道了。

我们还可以看出，如果假设全是鸡，那么先求出来的就是兔子；如果假设
全是兔子，那么先求出来的就是鸡。

例 4、有一首中国民逕："一队猎手一队狗，二队并着一队走，数头一共三
百六，数脚一共八百九。

"这首民实际上是一道面用题，可有多少猎手？多少狗？
【分析】假设全是猎手，就有360×2=720（只）脚，实际有脚890 只，因
为每只狗少算 2 只脚，因此用 890 与 720 的差去除以 2，就能算出有多少条狗。

【解答】狗的条数：（890-720）÷（4-2）=85（条）
人数： 360-85=275（人）
答：狗有 85 条，猎手有 275 人。

例 5、同学们举行知识竞赛，答对一题将得 10 分，答错一题扣 6 分。

1 号选
手共抢答 12 题，最后得分 72 分。

他答错了几题？
【分析】假设该同学全答对，就能得10×12=120（分），与实际得分 72 分
相比较，相差120-72=48（分），一道对题和一道错题相差10+6=16（分），然后
在 48 分里算一算有多少道错题。

【解答】错题数：（10×12-72）÷（10+6）=3（题）
答：他答错了 3 题。

例 6、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，有同腿 118 条，翅膀 20 对（蜘
蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿，2 翅膀；蝉 6 条腿，1 对翅膀），问蜻蜓有多少只？
【分析】这道题可用双假设法来解，先把6 条腿的蜻蜓和蝉看成是一种动物，
假设会是 6 条腿的昆虫，然后假设全是蝉。

【解答】蜘蛛：（118-18×6）÷（8-6）=5（只）
蝉和蜻蜓：18-5=13（只）
蜻蜓：（20-13×1）÷（2-1）=7（只）
答：蜻蜒有 7 只。

例 7、鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，鸡与兔各有多少只？
【分析】这道题没有给出鸡兔脚数的总和，而是给出了它们脚数
的差，属于
第二鸡兔同笼问题。

假设100 只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200 只，这时
兔的脚数为 0，鸡脚比免脚多 200 只，而实际上鸡脚比兔脚多 80 只。

因此，鸡
脚与兔脚的差数比已知多了200-80=120 只，这是因为把其中的兔换成了鸡。

每
把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加 2 只，兔的脚数将减少 2 只。

那么鸡脚与兔脚
的差数增加2+4=6（只），所以换成的兔子有120÷6=20 只，有鸡 100-20=80 只。

【解答】兔子的只数：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）
鸡的只数： 100-20=80（只）
答：鸡有 80 只，兔有 20 只。