最优化方法(试题+答案)

一、 填空题

1.若()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121

312112)(x x x x x x x f ，

则=∇)(x f ，=∇)(2x f .

2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。

3.向量T

)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .

6.以下约束优化问题：

)(01)(..)(min 212121

≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f

的K-K-T 条件为：

. 7.以下约束优化问题：

1

..)(min 212

2

21=++=x x t s x x x f

的外点罚函数为（取罚参数为μ） .

二、证明题（7分+8分）

1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n

i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下

面的约束问题：

}

,,1{,

0)(},1{,

0)(..)(min 1112

m m E j x h m I i x g t s x x f j i n

k k

+=∈==∈≥=∑=

是凸规划问题。

2.设R R f →2

:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：

}

,1{,0}

2,1{,0..)

(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T

i +=∈=-=∈≥-

设d 是问题

1

||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a I

i d a t s d x f T

i T

i T

的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。

三、计算题（每小题12分）

1.取初始点T x )1,1()

0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题

（迭代2步）：

2

2212)(m in x x x f +=

2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：

212

2212

1)(min x x x x x f -+=

3.用有效集法求解下面的二次规划问题：

.

0,001..42)(min 21212

12

221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f

4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()

0(=x

,计算到)2(x 即可)：

.

0,033..22

1)(min 21211222121≥≥≤+-+-=

x x x x t s x x x x x x f

参考答案

一、填空题 1. ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T

3. T

)0,1,2(-，T

)1,0,3(-（答案不唯一）。 4. )()(12

x f x f ∇∇--

5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）

6.

)(,0,00

10021),,(21212121=-≥-≥=+-⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∇x x x x x x x x L x λλμλμλμλ

7. 2212

22

1)1(2

1

)(-++

+=x x x x x F μμ 二、证明题

1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。

一方面，由于f 二次连续可微，I x f 2)(2

=∇正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。

另一方面，约束条件均为线性函数，若任意D y x ∈,可行域，则

E

i y h x h y x h I i y g x g y x g j j j i i i ∈=-+=-+∈≥-+=-+0

)()1()())1((0)()1()())1((αααααααα

故D y x ∈-+)1(αα，从而可行域是凸集。

2.证明：要证d 是f 在x 处的一个可行方向，即证当D x ∈，n

R d ∈时，0>∃δ，使得

D d x ∈+α，],0(δα∈

当I i ∈时，0≥-i T

i b x a ，0≥d a T

i ，故0)(≥+-=-+d a b x a b d x a T

i i T

i i T

i αα； 当E i ∈时，0=-i T

i b x a ，0=d a T

i ，故0)(=+-=-+d a b x a b d x a T

i i T

i i T

i αα. 因此，d 是f 在x 处的一个可行方向。