2010年数学建模A题全国一等奖论文

6
V 3 2
3
h l tan
h
dy
2
a 1
( y b ) 2 b2
0
dx
h y l tan tan 0
dz
h (( L - l ) tan , 2b - l tan ]
abL 2
h
h b b
h(2b h) arcsin( dy
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
3
储油罐纵向倾斜之后， 油位计在油位过高或者过低时将不起作用(如图2所示的 v1 和 v 5 区域)，考虑到倾斜角 变化一般不会很大，所以我们可以将储油罐按液面高低分成 五个部分 v1 ~ v5 ，来求其储油量和油位高度之间的关系。我们讨论的是小椭圆储油罐纵 向倾斜变位为逆时针旋转，如图2。对于储油罐顺时针旋转变位(即 为负值)时的情况 与此非常类似，在此不再详细讨论。
h b b
2
h(2b h) arcsin(
h b ) b 2
(1)
V
aL
b
3 2
2 (h h 2 b) 2b hb 2b 2 arcsin
1
5
h 2b
经验证两种方法得到的体积公式完全等价，(1)式即为小椭圆储油罐无变位时的储油量 和油位高度关系的模型。 根据此模型，我们可以求出小椭圆储油罐无变位时罐容表标定值(油位高度间隔取 1cm ，结果见附录一)。 4.2 小椭圆储油罐纵向倾斜变位时的模型
h 油位高度
R 球冠体的半径
R 0 圆柱体的底面半径
注：未说明符号在文中用到时注明
VT 储油罐的总体积
四 问题一的解答
小椭圆储油罐罐体变位前后都可以应用积分的方法求出罐体的储油量和油位高度 之间的关系。对于纵向倾斜的小椭圆储油罐，考虑分段求出其储油量和油位高度之间的 关系，从而得到重新标定后的罐容表。
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赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文对储油罐的变位识别和罐容表的标定问题进行了深入探讨， 建立了储油量和油 位高度以及变位参数之间关系的数学模型，主要应用了 mtalab 进行求解。 针对问题一， 我们利用积分的方法推导出小椭圆储油罐在无变位和发生纵向倾斜变 位时的一般公式。讨论了在储油罐发生纵向倾斜变位后对罐容表的影响，定义了平均影 响率 (变位前后储油量之差绝对值的平均值占总罐体容积的比例)作为评价罐体变位 对罐容表的影响程度的大小的指标，求出 4.87% 。并分别给出了小椭圆储油罐在无 变位和在纵向倾斜变位角取 4.1 的罐容表。
图2 储油罐分区示意图
4.2.1 对区域 v1 的讨论 在区域 v1 ， 其油位低于油位探针的油浮子， 所以油位计量系统中显示油位高度为零。 当油位计刚开始有示数时，计算其储油体积。将区域 v1 放大得到图3
图3 区域 v1 的放大图
图中，从原点纸面向里为 x 轴，利用三重积分可以得到
V 1 dxdydz 2
5
h 2b
V 5 (VT 2a
b
b ( L l ) tan
y b ( L l ) tan y2 1 2 dy,VT ] b tan
根据储油量和油位高度的分段函数关系我们可以得到罐体纵向倾斜变位( 4.1 ) 后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值(见附录一)。 当 4.1 时，各区域油位高度及体积变化范围为：
4.2.4 对区域 v4 的讨论
h ( L l )tan
dy
a 1
0
dx h y l tan dz
tan
L
由区域4和区域2的相似性，将(3)式中的 h 换为 (2b h) ，将 l 换为 ( L l ) ，并用总 体积减去 V 2 即为区域4的储油体积和油位高度的变化关系。
二 模型假设
1、假设题中所给数据均为储油罐内壁测量值； 2、不考虑由于温度、压强变化等原因而引起储油罐的体积变化； 3、油位探针被固定在储油罐上，其上油浮子能够准确测量油位高度；
三 符号说明
a
椭圆的半长轴长 椭圆的半短轴长 储油罐的总长 油位探针到油罐底部左侧的距离
储油罐的纵向倾斜角度
b
L
l
储油罐的横向偏转角度
s dxdy 2 dy
D 0
h
a 1
( y b )2 b2
0
dx 2 a 1
0
h
( y b) 2 dy b2
储油罐内油的体积为
( y b) 2 V s L 2L a 1 dy 0 b2
h
查积分表得到
V abL
利用matlab计算得到
D
b
b l tan
dy
a 1
y2 b2
0
dx
y b l tan tan 0
dz
4
其中 l 为油位探针到储油罐左侧的距离 积分得到
V 1 2a
4.2.2 对区域 v2 的讨论
b
b l tan
y b l tan y2 1 2 dy tan b
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：
A
年
月
日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
(2)
由区域 v1 很容易得到区域 v2 的储油量和油位高度的变化关系，直接给出结论：
V 2 dxdydz 2
D
b
b ( h l tan )
dy
a 1
y2 b2
0
dx
y h l tan b tan 0
dz
所以
V 2 2a
4.2.3 对区域 v3 的讨论
其中
(4)
va 2
h l tan
h
dy
a 1
( y b ) 2 b2
0
dx
h y l tan tan 0
dz
5
v abL
h b b
h
2
h(2b h) arcsin(
( y b )2 b2
hb ) 2 b
vb 2
1
一 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统” ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先 标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位 高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定。 问题一 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱 体） ，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.1的纵向变位两种情况做了实验。请建立数学 模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表 标定值。 问题二 对于实际的储油罐，试建立罐体变位后罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾 斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实 际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间 隔为10cm的罐容表标定值。 然后进一步用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法 的可靠性。
y b ( L l ) tan y2 1 2 dy tan b
(6)
4.2.6 综合各区域的罐容表标定的数学模型 综上所述，我们得到了储油量 V 和油位高度 h 、纵向倾斜角 之间的分段函数关系 式：
表2 V (h, ) 分段函数关系
区 域 1
油位高度 h / m
储油量 V / m3
a 1 ( y b ) 2 b2 L
h b ) b 2
h ( L l )tan
0
dx h y l tan dz
tan Baidu Nhomakorabea
4
h (2b - l tan , 2b]
V 4 VT 2 a
b
h b ( L l )tan
y b h ( L l ) tan y2 1 2 dy b tan
h0
V 1 [0, 2a V 2 2a
b
b
b l tan
y b l tan y2 1 2 dy ] tan b
2
h (0, ( L - l ) tan ]
y h l tan b y2 1 2 dy b ( h l tan ) tan b
V 4 VT dxdydz VT 2
D
b
b 1.2 h ( L l ) tan
dy
a 1
y2 b2
0
dx
y 1.2 h ( L l ) tan b tan 0
dz
其中 VT 为小椭圆储油罐的总体积 化简并积分可得
V 4 VT 2 a
2
4.1 小椭圆储油罐无变位时的模型 由于此时的椭圆无变位，考虑先对二维椭圆进行积分。为方便表示油位高度，建立 如图所示的坐标系，椭圆的半长轴长为 a ，半短轴长为 b ，则椭圆方程为
x 2 ( y b) 2 1 a2 b2
ab0
图1 对椭圆的积分示意图
在 y 方向上取椭圆面中的一微元 dy 积分得到油的侧面积
表1 小椭圆储油罐罐容表(纵向变位 4.1 ) 油位高度 h / m 储油体积 V / m
3
0.00 0 ~ 0.0017 1.15 3.9103
0.01 0.0035 1.16 3.9338
0.02 0.0063 1.17 3.9560
0.03 0.0100 1.1713 3.9588
0.04 0.0148 1.18 3.9766
b
b ( h l tan )
y h l tan b y2 1 2 dy tan b
(3)
图4 区域 v 3 示意图
在小椭圆储油罐无变位模型中我们已经求出了 v 的计算公式，同区域 v1 中的积分原 理可以计算出 va和vb ，我们就可以得到此时的油量体积为
v3 va v vb
0.05 0.0207 1.19 3.9955
… …
1.20 4.1017 ~ 4.1101
… …
针对问题二，将储油罐分为5个区域分别进行讨论，考虑到在球冠处的体积表达式 过于复杂，我们省略了球冠处的一小部分体积，进行了近似求解，得出了罐内储油量与 油位高度以及变位参数之间的一般关系的数学模型。 在利用储油罐的实际测量值估计变位参数时，我们建立了最小二乘拟合模型，得到 了最佳的变位参数为：纵向倾斜变位 2.16 ，横向偏转变位 4.50 。并据此对储 油罐的罐容表进行了标定(见表3)。 在模型验证中， 我们又采用蒙特卡洛模拟的方法对在问题二的模型中忽略的部分球 冠体积进行了模拟计算。 得到用问题二模型中求出的总储油量与模拟得出的总储油量一 致度达到了99%，误差非常小，验证了我们所建立的模型的合理性和准确性。 关键词 平均影响率 最小二乘参数估计法 蒙特卡洛模拟
4.2.5 对区域 v 5 的讨论
b
h b ( L l )tan
y b h ( L l ) tan y2 1 2 dy tan b
(5)
在此区域中油浮子到达油位探针顶点，无法进一步测量油位高度。无法测量的总体 积为：
V 5 2a
b
b ( L l ) tan