同济大学高数第五册第一章第八节

0 ,都有
lim
x x0
R( x)
R( x0 )
因此有理分式函数在其定义域内的每一点
都是连续的.
16
函数的连续性与间断点
二、函数的间断点及其分类
定义4 若f ( x)在x0处出现如下三种情形之一:
(1) f ( x)在点x0处 无定义;
(2) lim f ( x) 不存在; x x0
(3) lim x x0
lim f ( x)不存在,
x x0
x 0, 则称 x0为f ( x)的间断点.
x 0,
y
f ( x)在x 0处有定义,
lim( x) 0 lim(1 x) 1
1
x0
x0
f (0 0) f (0 0),
O
x
故x 0为f (x)的第一类 间断点.且是跳跃间断点.
f ( x0 0)及 f ( x0 0) 均存在, 则点x0为
第二类间断点: f ( x0 0), f ( x0 0) 至少有
一个不存在. 若f ( x0 0), f ( x0 0)之中有
一个为,则x x0称为无穷型间断点.
20
例
函数f
(
x)
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0,
lim f ( x)不存在,
x x0
则称 x0为f ( x)的间断点.
第二类间断点(discontinuity point of the second kind):
f ( x0 0) 及 f ( x0 0) 中至少一个不存在.
若其中有一个为 ,称 x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡,称 x0为振荡间断点.
18
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
初等函数无定义的孤立点是间断点. 分段函数的分段点可能是间断点, 也 可能是连续点, 需要判定.
解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim(a x) a,
x0
x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当 a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
12
例
讨论函数
f
(x)
f ( x) C[a,b]
14
函数的连续性与间断点
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理 很有用的定理.
定理2 设f ( x)在x0连续,且f ( x0 ) 0, 则存在 x0
的一个邻域, 使得在此邻域内
y
f ( x) f ( x0 ) 0.
2
f ( x0 )
f ( x0 )
2
连续函数的图形
只设需x求出x该0 点x函, 数y特定f (值x). f ( x0 ), 连定续义x函 连 采.2数 续 用0若自的 性 了即xli变增 的 无为mx0量量特穷xf (在也征小x)x为定.x00点无义,f(的y穷法x0增小),0量则.形即为称象为无函地f穷数表( x小f(示)x时)了在, xf 0(处x0 ).
left);
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from the
right).y
y
左连续
右连续
O
x0
x
O
x0
x
9
函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续
函数 f ( x)在 x0处既左连续又右连续.
f ( x)的第一类间断点. 但f ( x0 0) f ( x0 0),
则点x0为函数 f(x) 的 跳跃型间断点(Jump discontinuity).
22
函数的连续性与间断点
例 讨论函数
f
(
x)
2 1,
f (1) 11
如果 f ( x)在点xlixmx00处f (的x)极限f (存x0在), , xx但处 可,, 无去xli0xm定间xx0 义断fx1(1点,x,则1),.在称则xf点称(x1x0x处0)为 0或为y的函ff连((数xx续)的)在fy性(间点 x.1)断的 xx0点
x
x
2, 2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
13
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
2
即函数 y sin x对任意 x (,) 都是连续的.
类似可证, 函数 y cos x在区间(,)内
是连续的.
7
函数的连续性与间断点
定义2 lim f ( x) f ( x0 ) x x0
例
试证函数
f
(x)
x
sin
1, x
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证
lim x0
23
★ 狄利克雷函数
y
D(
x)
1, 0,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.
★
f
(
x
)
x, x,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
24
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
第八节 函数的连续性 与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
wk.baidu.com
x
25
• 间断点练习
练例习3 函数 y x2 1 在 x1 没有定义 x1
所以点x1是函数的间断点
因为 lim x2 1 lim(x1) 2 x1 x 1 x1
如果补充定义 令x1时y2 则所 给函数在x1成为连续 所以x1称 为该函数的可去间断点
在高等数学中,主要的研究对象就是连 续函数. 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以 一笔画成.
2
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量x0 x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 的增量; 函数随着从f ( x0 ) f ( x), 称差
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) 为函数的
4
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证. 连续性的三种定义形式不同, 但本质相同.
这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
(2) lim f ( x) 存在; x x0
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
f ( x)在开区间 (a, b) 内连续 f ( x) C(a,b) 左端点 x a 右连续 ( lim f ( x) f (a))
xa
右端点 x b左连续 ( lim f ( x) f (b)) xb
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性.
10
函数的连续性与间断点
例
讨论函数
f (x)
x2,
x 1,
x 1, x 1, y
在 x 1处的连续性.
解 lim f ( x) lim x2 1 f (1),
x1
x1
f ( x)在x 0处有定义, 但当x 0时,sin 1 在
1x
1,1之间来回无穷次振荡,
limsin
x0
x 不存在,
故 x 0为f (x)的第二类 间断点.
y sin 1 x
且是无穷次振荡型间断点.
y
sin
1 x
21
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
例
函数f
(
x)
x, 1 x,
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x) y
y
y f (x)
f ( x0 )y
x
O f ( x0 ) x0
x0 x x
O
x
x0
x x0 x
3
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义1 设函数 f (x)在U ( x0 )内有定义, 若
充分必要条件 lim y 0 x0
则称函数f把(x极)在限x0与处连连续续性,并联称系x起0为来函了数,且f(提x)的 连续点供.了连续函数求极限的简便方法——
f (x)
f ( x0 ).
则称 x0为f ( x)的间断点.
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函数的连续性与间断点
间断点分为两类:
第一类间断点(discontinuity point of the first kind):
f ( x0 0) 及 f ( x0 0) 均存在,
若
称 x0为可去间断点.
若
称 x0为跳跃间断点.
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
3. 左、右连续
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
.
解 f (1 0) 2, f (1 0) 2,
2
lim f ( x) 2 f ((11)), 2 x1
y2 x 1
x 1 为函数的第一类 间断点.
O1
x
且是可去间断点(removable discontinuity).
则
f (x)
2
x,
0 x 1, 在x 1处连续.
1 x, x 1,
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
5
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续,尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
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函数的连续性与间断点
例 函 数f ( x) 1 , x
f ( x)在点x0处无定义,
则称 x0为f ( x)的间断点.
由于函数 f ( x)在x 0处无定义, y
且 lim f ( x) , lim f (x)
x0
x0
f (x) 1 x
皆不存在.
O
x
故x 0为f(x)的第二类间断点. 且是无穷型间断点.
x0
所以极限 lim f (x) 不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 x0 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象 我们称x0
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
例 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
x2 1 y
x 1
26
• 间断点练习
练例习4
设函数
y
f
(x)
x 1
2
x 1 x1
因为 lim f (x) lim x 1 f (1) 1
x1
x1
2
f (1) 1 2
lim f (x) f (1)
x1
所以x1是函数f(x)的间断点
如果改变函数f(x)在x1处的定义 令f(1)1 则函数
在x1成为连续 所以x1也称为此函数的可去间断点
27
函数的连续性与间断点
• 间断点练习 练例习5 设函数 f (x) 0x1 x 1
x0 x0 x0
因为 lim f (x) lim (x1)1
x0
x0
lim f (x) lim (x1)1
x0
x0
lim f (x) lim f (x)
x0
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
15
函数的连续性与间断点
例如,有理整函数(多项式)
P( x) a0 a1x an xn
x0
(
,
),
lim
x x0
P(x)
P(
x0 )
第五节中已证
因此有理整函数在( , )内是连续的.
有理分式函数 R( x) P( x) Q( x)
只要 Q( x0 )
6
函数的连续性与间断点
lim y 0
例 证明函数 y sin x在区间(,)内连x续0.
证 任取 x (,),
y sin(x x) sin x
2 sin
x 2
cos( x
x ) 2
2
x
2
1
sin x x
22
x x 0 0 即 lim y 0 cos( x x) 1
x 0