实验二+MATLAB矩阵分析与处理

实验二 MA TLAB 矩阵分析与处理（2学时）

一、实验目的

1、掌握生成特殊矩阵的方法。

2、掌握矩阵分析的方法。

3、用矩阵求逆法解线性方程组。 二、实验内容

1、设有分块矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=⨯⨯⨯⨯223

2233

3S O R E A ，其中E 、R 、O 、S 分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+=2

2

S O RS R E

A 。 >> E=eye(3); >> R=rand(3,2); >> O=zeros(2,3); >> S=diag(1:2); >> A=[E,R;O,S] A =

1.0000 0 0 0.4565 0.4447 0 1.0000 0 0.0185 0.6154 0 0 1.0000 0.8214 0.7919 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0

2.0000 >> H=R+R*S; >> D=S^2;

>> A^2 ans =

1.0000 0 0 0.9129 1.3341 0 1.0000 0 0.0370 1.8463 0 0 1.0000 1.6428

2.3758 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 4.0000 >> [E,H;O,D] ans =

1.0000 0 0 0.9129 1.3341 0 1.0000 0 0.0370 1.8463 0 0 1.0000 1.6428

2.3758 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 4.0000

由上述ans=A^2验证了⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+=2

2

S O

RS R E

A 。 2、产生5阶希尔伯特矩阵H 和5阶帕斯卡矩阵P ，且求其行列式的值Hh 和Hp 以及它们的条件数Th 和Tp ，判断哪个矩阵性能更好。为什么？ >> H=hilb(5) H =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667

0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429

0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250

0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 >> P=pascal(5)

P =

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70

>> Hh=det(H)

Hh =

3.7493e-012

>> Hp=det(P)

Hp =

1

>> Th=cond(H)

Th =

4.7661e+005

>> Tp=cond(P)

Tp =

8.5175e+003

答：5阶帕斯卡矩阵P的性能好。矩阵的性能是由条件数决定的，条件数越接近于1其性能就越好。由上机操作求得Th=4.7661e+005，Tp=8.5175e+003。Tp的值更接近于1则其性能要好。所以5阶帕斯卡矩阵P的性能好。

3、建立一个5×5矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。

>> A=[1:5;6:10;11:15;16:20;21:25]

A =

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

>> B=det(A)

B =

>> C=trace(A)

C =

65

>> D=rank(A)

D =

2

>> E=norm(A)

E =

74.2541

4、已知

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=58

8

12520

18629A 求A 的特征值及特征向量，并分析其数学意义。 >> A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5]

A =

-29 6 18 20 5 12 -8 8 5 >> [V ,D]=eig(A) V =

0.7130 0.2803 0.2733 -0.6084 -0.7867 0.8725 0.3487 0.5501 0.4050 D =

-25.3169 0 0 0 -10.5182 0 0 0 16.8351

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的线性变换，它的特征向量（本征向量或称正规正交向量）是这样一个非零的向量v ：当v 经过这个线性变换的作用之后，得到的新向量（长度也许改变）仍然与原来的v 保持在同一条线上。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。如果特征值为正，则表示v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。

5、下面是一个线性方程组：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡52.067.095.06/15

/14

/15/14/13/14/13/12/1321x x x

（1） 求方程的解。

（2） 将方程右边向量元素b 3改为0.53，再求解，并比较b 3的变化和解的相对变化。

（3） 计算系数矩阵A 的条件数并分析结论。 >> format rat

>> A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6] A =

1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1/4 1/5 1/6 >> format