大学高等数学-函数ppt
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大学高等数学课件 1.2 函数概念
记作 y f (x) , x D .
因变量 自变量 定义域 , 记为 D( f )
值域 R( f ) {y y f (x), xD( f )}
全体函数值的集合 f 在点 x 处的函数值
注意：在函数的定义中 , 对于 x D( f ) , 对应的函数值
y f (x)是唯一的 ; 但对于 y R( f ) , 其自变量不一定唯
g(
x)
2x2
1,
x 2
的定义域，并作其图形.
解
x 2 或 x 2
2 x 4
4 x 4
x [4, 2) (2, 4];
x 2 x [2, 2];
由于分段函数定义域是各段定义域的并集，
故 g 的定义域为
D(g) [4,2) (2,4] [2,2] [4,4]
y
4 2 O 2 4 x
一.
例如： y x2
x R , R( f ) y y 0.
对于每一个函数值 y R( f ) , 对应的自变量有两个: x y 和 x y.
函数的两个要素：定义域 D( f ) 和对应法则f .
约定：如无特别指出，定义域是自变量所能取的使表达式 有意义的一切实数．
例如: y 1 x2 , D : 1,1 .
实际的含义，此时定义域的确定需根据实际情况来确定 .
比如在圆面积公式S πr2中， r 表示圆半径 , 它必是正数， 故此函数的定义域为(0,) .
若不考虑实际意义,则上述函数的自然定义域 为 (,).
P.8 练习1.2 2（1）；4（1）；3（1）
2. 分段函数
有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即 用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数.
高等数学函数的概念.ppt
一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,
把几何问题化成代数问题 , 给出了几何问题的统一
作图法, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法,
恩格斯把它称为数学中的转折点.
2020-6-17
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5
华罗庚(1910～1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
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3
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
主讲教师：陈殿友 2020-6-17
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总课时：114 24
二、函数
1. 函数的概念
定义2. 设有两个变量x和y，如果对于x所考虑范围内 的每一个值，y按一定的规则对应着一个确定的值，则称y 是x的函数，记作y=f(x).
定义3. 对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y 有一个确定的值y 0与之对应，我们称函数在点x0处是有定 义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化 范围）称为函数的定义域。
第一讲 函数的概念
主讲教师： 2020-6-17
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总课时：11 24
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
恩格斯
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
大学课程《高等数学》PPT课件：6-2 多元函数的基本概念
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显然，点集E的内点一定属于 E ；点集E的外点一定 不属于 E； E 的边界点可能属于E ，也可能不属于 E． 如果点集 E的每一点都是 E的内点，则称 E为开集.
点集 E1 x, y | 0 x2 y2 1 是开集，
E2 x, y | x y 1 不是开集．
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面 点集，
记作 E (x, y) | (x, y)具有某种性质P .
目录内所有点的
集合是 C (x, y) | x2 y2 r2 .
如果以点 P 表示 (x, y) ，OP 表示 P 点到原点 O 的距
Rn中点 P x1, x2, , xn 与点 Q y1, y2, , yn
之间的距离定义为 PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 ．
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平面点集中的一系列概念，均可推广到n维空间中去。
例如，P0 Rn， 是某一正数，则
U P0, P | PP0 , P Rn 就称为 Rn 中点 P0 的
称为
P0 (x0 ,
y0 ) 的去心邻域，记作
o
U
(
P0
,
)
，即
o
U (P0 , ) P 0 PP0
(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
如果不需要强调邻域的半径 ，
则用 U (P0 ) 表示点 P0 的某个邻域，
o
用 U (P0 ) 表示 P0 (x0, y0 ) 的某个去心邻域．
如前面讲的 E1是开区域．
开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．
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开区域 E 连同它的边界 E 构成的点集，称为闭区域
显然，点集E的内点一定属于 E ；点集E的外点一定 不属于 E； E 的边界点可能属于E ，也可能不属于 E． 如果点集 E的每一点都是 E的内点，则称 E为开集.
点集 E1 x, y | 0 x2 y2 1 是开集，
E2 x, y | x y 1 不是开集．
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面 点集，
记作 E (x, y) | (x, y)具有某种性质P .
目录内所有点的
集合是 C (x, y) | x2 y2 r2 .
如果以点 P 表示 (x, y) ，OP 表示 P 点到原点 O 的距
Rn中点 P x1, x2, , xn 与点 Q y1, y2, , yn
之间的距离定义为 PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 ．
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平面点集中的一系列概念，均可推广到n维空间中去。
例如，P0 Rn， 是某一正数，则
U P0, P | PP0 , P Rn 就称为 Rn 中点 P0 的
称为
P0 (x0 ,
y0 ) 的去心邻域，记作
o
U
(
P0
,
)
，即
o
U (P0 , ) P 0 PP0
(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
如果不需要强调邻域的半径 ，
则用 U (P0 ) 表示点 P0 的某个邻域，
o
用 U (P0 ) 表示 P0 (x0, y0 ) 的某个去心邻域．
如前面讲的 E1是开区域．
开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．
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开区域 E 连同它的边界 E 构成的点集，称为闭区域
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
高等数学PPT课件：函数的极限
若 0, 0, 当 0 x x0 时, 恒有
f (x) A
称x x0时函数f ( x)有极限A,
lim f ( x) A
x x0
12
函数的极限
注 (1) 定义中的 0 x x0 表示 x x0 ,
x x0时, f (x)有没有极限与在点x0 是否有定义无关.
(2) 定义中 标志x接近x0的程度,
x
y y sin x x
O
x
sin x 0 sin x 1 ,只要 1
x
x |x|
|x|
即
|
x
|
1
,
取
X
1,
当|
x
|
X时, 有
sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
9
函数的极限
结 论
如果lim f (x) C, 直线 y C x
是函数y f ( x) 图形的 水平渐近线
试证
lim
x
x2 x2
1 1
1.
证 当x 0时,
x2 1 x2 1 1
2 x2 1
2 x2
,
0, 要使
x2 1 x2 1 1 ,
只要
2 x2
,
即 x
2
,
取
X
2 , 当 x X时,有
x2 1
2
x2 1
x2
1 1
x2
lim
x
x2
1
1.
10
函数的极限
二、函数在一点的极限
用数学语言刻划 x x0 ,
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有
f (x) A
称x x0时函数f ( x)有极限A,
lim f ( x) A
x x0
12
函数的极限
注 (1) 定义中的 0 x x0 表示 x x0 ,
x x0时, f (x)有没有极限与在点x0 是否有定义无关.
(2) 定义中 标志x接近x0的程度,
x
y y sin x x
O
x
sin x 0 sin x 1 ,只要 1
x
x |x|
|x|
即
|
x
|
1
,
取
X
1,
当|
x
|
X时, 有
sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
9
函数的极限
结 论
如果lim f (x) C, 直线 y C x
是函数y f ( x) 图形的 水平渐近线
试证
lim
x
x2 x2
1 1
1.
证 当x 0时,
x2 1 x2 1 1
2 x2 1
2 x2
,
0, 要使
x2 1 x2 1 1 ,
只要
2 x2
,
即 x
2
,
取
X
2 , 当 x X时,有
x2 1
2
x2 1
x2
1 1
x2
lim
x
x2
1
1.
10
函数的极限
二、函数在一点的极限
用数学语言刻划 x x0 ,
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有
同济大学高等数学第七版§1.10--闭区间上连续函数的性质ppt课件
几何意义:
连续曲线弧y=f(x)与水平直 线y=C至少有一个交点
y
yf(x)
B
C P1 P2 P3
A O a 1 2 3
bx
完整版ppt课件
12
定理3(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得
f()C, (a,b).
证 设(x)=f(x)-C 则(x)在闭区间[a b]上连续
且 (a )f(a )C
(b )f(b ) C
零点定理
(a ) (b ) 0 ,(a,b)使 ,
()0,即 () f() C 0 ,f()C.
完整版ppt课件
13
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M与最小值 m之间的任何值(不会有任何遗漏).
几何意义:
y
M yf(x)
C
P1 P2 P3
a x1
O
1 2 3 x2 b x
m
完整版ppt课件
14
例 证 明x3方 8x 程 10在 区 (0,1)内 间 至 少 有 . 一 根
证 令 f(x)x38x1,则f(x)在[0,1]上连, 续
又 f(0 )10 , f(1)60, 由零点定理,
但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．
y y=x
Oa
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
完整版ppt课件
5
定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的 函数在该区间上一定有最大值 和最小值．
注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)1_1 函数-PPT精选文档
⑶半开区间 a,b x | a x b，a,b x | a x b ⑷无限区间 a, x | x a， ,b x | a x b，
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B
大学高等数学函数ppt
有界性
若函数在某点的极限存在，则该函数在该 点的值是有界的。
局部四则运算性质
若两个函数的极限都存在，则它们的和、 差、积、商的极限也存在，且分别等于它 们各自极限的和、差、积、商。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值无限趋近于0。
无穷大量
在自变量趋近某一值时，函数值无限增大。
无穷小量与无穷大量的关系
定积分的概念
定积分定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上积分和的极限。定积分实 际上是一个数，而不像不定积分 那样是一种函数。
几何意义
定积分的值可以看作是曲线与x轴 所夹的面积，即“以直代曲”的 思想。
计算方法
通过微积分基本定理，可以将定 积分转化为求解原函数在区间端 点处的值之差。
定积分的性质
根据函数的定义域，函数可以分为实数函数、复数函数、离散函数等；根据函数的值域，函数可以分为常数函数、 一次函数、二次函数等；根据函数的特性，函数可以分为连续函数、可导函数、有界函数等。
02
函数的极限
极限的定义
极限的描述性定义
当自变量趋近某一值时，函数值无限接 近于某一常数，称该常数为函数的极限 。
两者之间可以相互转化。例如，当$x to infty$时，$frac{1}{x}$由无穷小量转化为无穷大量；当$x to 0^+$时，$x^2$由无穷小量转化为无穷大量。
03
导数与微分
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，表示函数在该点附近的小变化所引起的函数 值的大小的变化率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx，其中Δx是自变量
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.5 函数的微分
故 = ′ (0 ) ⋅ + ⋅ .
当 → 0时，第一项 ′ (0 ) ⋅ 是的线性函数，第二项 ⋅ 是当
→ 0时比高阶的无穷小量.所以就近似等于 ′ (0 ) ⋅ ,即
∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ .
例5 当一块正方形金属薄片受到温度变化的影响时，其边长会发生
例1 已知函数 = 2 ，求当 = 1， = −0.01时的微分与增量.
解
= ′ |=1 ⋅ = 2|=1 ⋅ = 2 × 1 × (−0.01) = −0.02.
= (1 − 0.01)2 − 12 = −0.0199.
可见 ≈ .
2．微分的几何意义
利用公式∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ ，得到金属薄片面积的改变量
∆ ≈ ′ 0 ⋅ = 20 × 0.1 = 2cm2 .
2
近似计算( + )
由 = (0 + ) − (0 )可得
0 + ∆ − (0 ) ≈ ′ (0 ) ⋅ ，
第二章 导数与微分
第五节 函数的微分
在实际问题中，我们经常要计算当自变量有一微小增
量 时，相应的函数的增量 的大小. 如果函数比较复
杂，那么计算函数的增量 = (0 + ) − (0 )也会很
复杂.能否找到一个既简单，又有较高精确度的计算近
似值的方法，就是我们即将要讨论的微分.
(13) ( ) =
( )′
=
1
1
1
1−
1
1+ 2
1
( ) =
1 + 2
′
2
− 2
(15) ( ) =
(12) ( ) = −
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
大学数学课件-高等数学函数单项式运算与复合函数
3 乘法
单项式相乘时，将它们的系数相乘，并将它 们的指数相加。
4 除法
单项式相除时，将被除数的系数除以除数的 系数，并将被除数的指数减去除数的指数。
一元多项式的定义
一元多项式是一种包含一个变量和对应的多个单项式的代数表达式，例如3x^2 + 2xy - 5。
多项式的基本运算法则
1
加法
多项式相加时，将相同次幂的每一个单项式相加。
2
减法
多项式相减时，将相同次幂的每一个单项式相减。
3
乘法
多项式相乘时，将每个单项式乘以另一个多项式的每个单项式，并将结果相加。
4
除法
多项式相除时，采用长除法的方法进行计算。
多项式除余定理
多项式除余定理是指当一个多项式除以另一个多项式时，余数的次数一定小 于除数的次数。
函数的复合运算
函数的复合运算是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数的定义
复合函数是由两个函数组成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数的运算规则
嵌套
复合函数可以嵌套多层。
顺序
复合函数的计算顺序从右往左。
代入
将内层函数的输出代入外层函 数。
反函数的定义及性质
反函数是指对于原函数的输出，存在一个唯一的输入与之对应。
实例分析及练习
通过实例分析和练习，深入理解函数单项式运算与复合函数，并解决实际问 题。
高等数学函数单项式运算 与复合函数
本课程介绍函数单项式的运算与复合函数的概念及规则，以帮助学习者深入 理解数学中的高级概念和运算法则。
函数单项式的定义
函数单项式是Βιβλιοθήκη 种仅包含一个变量的代数表达式，例如3x^2或2xy。
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高等数学Ⅲ
微积分
自我介绍
姓 名：张智勇 地 点：四教西305室 E-mail : zzy@
课程介绍
课程名称：微积分 学 分：4 学分 学 时：64 学时（1周-16周） 课程内容：1. 函数、极限与连续
2. 导数与微分 3. 中值定理与导数应用 4. 不定积分 5. 定积分及其应用
考核及要求
1. 期末总评成绩的计算
期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。
平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。
2. 考勤
不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。
3. 作业
要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹
潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取
消该次成绩。
4. 答疑
时间：
地点：四教西305
y 14
3
y = [x] = n, n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1,± 2, … 其定义域为D( f )＝(－∞,+∞),
2
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
值域为Z( f )＝Z.
阶梯曲线
可以证明：对于任何实数x, 有不等式 [x] ≤x < [x] + 1.
y f (x)
因变量
自变量
定义域：数集D叫做这个函数的定义域, 记作 D( f )
值 域：函数值全体组成的数集, 即 {y | y f (x), x D( f )}，记作Z或者Z( f ).
(1)、函数的定义域
1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值, 这种定义域称为函 数的自然定义域.
oa
b
x
◆半开区间：
{x a x b} 记作 [a,b)
oa
b
x
{x a x b} 记作 (a,b]
oa
b
x
◆区间长度
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 区间的划分：1.有限区间 2.无限区间
{x x b} 记作(,b)
ob
x
4、邻域 设x0与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x x0 }称为点x0的 邻域 , 点x0叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
大体分为以下几种： a)偶次方根号 b)分式的分母 c)对数的真数 d)三角函数（正切余切）和反三角函数， e)以上情况的复合等
2.实际应用 时间，高度，热度等等
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
x
x x
x0 x0
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝[0, +∞).
（4）分段函数：在自变量的不同变化范围中,对 应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函 数. 注意：
(1) 分段函数的定义域是其各段定义域的并集；
(2) 分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而不 是几个函数.
二.函数的基本特性
1、函数的奇偶性
设D关于原点对称，若对于 x D, 且
f (x) f (x)
y
y x
o
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝{－1, 0, 1}. 可以证明：对于任何实数 x, 下列关系成立:
x sgn x x
(3) 取整函数
设 x 为任一实数, 不超过x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 [x]. 即
无 理数
虚 数
2、数的几何表示：数轴
实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。
3、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. ◆开区间： {x a x b} 记作 (a,b)
oa
b
x
◆闭区间： {x a x b} 记作[a,b]
解：(1) ∵函数的定义域为(－∞, +∞), 且
f ( x) ln[ x 1 ( x)2 ] ln( x 1 x2 )
( x 1 x2 )(x 1 x2 ) ln
x 1 x2
ln
1
ln(x 1 x2 )
x 1 x2
则称 f (x)为偶函数 ；
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f (x) f (x)
则称 f ( x)为奇函数.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
例 判断下列函数的奇偶性：
f (x) ln(x 1 x2 );
= -f (x)
∴f (x)是奇函数.
2、函数的周期性
设函数f (x)的定义域为 D，如果存在一个不为零 的 数 T，使得对于 x D, (x T ) D且 f (x T ) f (x)恒 成立. 则称f (x)为周期函数，T 称为f (x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.
课程特点与学习方法
特点：1. 课堂大 2. 时间长 3. 进度快
方法: 1. 课前预习 2.重点听讲 3. 简记笔记 4. 整理咀嚼 5. 后作练习 6. 答疑
第一章 函 数
函数的概念及基本特性 预备知识
1、数的扩张：
自负然整记作 U( x0 , ) { x || x x0 | } { x x0 x x0 }.
x0
x0
x0
x
去心邻域：
0
点x0的去心的 邻域, 记作U (x0 , ).
0
U (x0, ) {x 0 x x0 } (x0 , x0 ) (x0 , x0 ).
其中( x0 , x0 )称为 x0 的左邻域,
( x0 , x0 )称为 x0 的右邻域。
函数概念
若x与y是两个变量，D是一个非空的实数集合。设有一个 对应规则 f，使每一个 x D,都有一个确定的实数 y与之对 应，则称这个对应法则 f 为定义在 D上的一个函数关系， 或称y是x的函数，记作
3l 2
l 2
l 2
微积分
自我介绍
姓 名：张智勇 地 点：四教西305室 E-mail : zzy@
课程介绍
课程名称：微积分 学 分：4 学分 学 时：64 学时（1周-16周） 课程内容：1. 函数、极限与连续
2. 导数与微分 3. 中值定理与导数应用 4. 不定积分 5. 定积分及其应用
考核及要求
1. 期末总评成绩的计算
期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。
平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。
2. 考勤
不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。
3. 作业
要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹
潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取
消该次成绩。
4. 答疑
时间：
地点：四教西305
y 14
3
y = [x] = n, n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1,± 2, … 其定义域为D( f )＝(－∞,+∞),
2
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
值域为Z( f )＝Z.
阶梯曲线
可以证明：对于任何实数x, 有不等式 [x] ≤x < [x] + 1.
y f (x)
因变量
自变量
定义域：数集D叫做这个函数的定义域, 记作 D( f )
值 域：函数值全体组成的数集, 即 {y | y f (x), x D( f )}，记作Z或者Z( f ).
(1)、函数的定义域
1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值, 这种定义域称为函 数的自然定义域.
oa
b
x
◆半开区间：
{x a x b} 记作 [a,b)
oa
b
x
{x a x b} 记作 (a,b]
oa
b
x
◆区间长度
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 区间的划分：1.有限区间 2.无限区间
{x x b} 记作(,b)
ob
x
4、邻域 设x0与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x x0 }称为点x0的 邻域 , 点x0叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
大体分为以下几种： a)偶次方根号 b)分式的分母 c)对数的真数 d)三角函数（正切余切）和反三角函数， e)以上情况的复合等
2.实际应用 时间，高度，热度等等
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
x
x x
x0 x0
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝[0, +∞).
（4）分段函数：在自变量的不同变化范围中,对 应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函 数. 注意：
(1) 分段函数的定义域是其各段定义域的并集；
(2) 分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而不 是几个函数.
二.函数的基本特性
1、函数的奇偶性
设D关于原点对称，若对于 x D, 且
f (x) f (x)
y
y x
o
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝{－1, 0, 1}. 可以证明：对于任何实数 x, 下列关系成立:
x sgn x x
(3) 取整函数
设 x 为任一实数, 不超过x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 [x]. 即
无 理数
虚 数
2、数的几何表示：数轴
实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。
3、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. ◆开区间： {x a x b} 记作 (a,b)
oa
b
x
◆闭区间： {x a x b} 记作[a,b]
解：(1) ∵函数的定义域为(－∞, +∞), 且
f ( x) ln[ x 1 ( x)2 ] ln( x 1 x2 )
( x 1 x2 )(x 1 x2 ) ln
x 1 x2
ln
1
ln(x 1 x2 )
x 1 x2
则称 f (x)为偶函数 ；
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f (x) f (x)
则称 f ( x)为奇函数.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
例 判断下列函数的奇偶性：
f (x) ln(x 1 x2 );
= -f (x)
∴f (x)是奇函数.
2、函数的周期性
设函数f (x)的定义域为 D，如果存在一个不为零 的 数 T，使得对于 x D, (x T ) D且 f (x T ) f (x)恒 成立. 则称f (x)为周期函数，T 称为f (x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.
课程特点与学习方法
特点：1. 课堂大 2. 时间长 3. 进度快
方法: 1. 课前预习 2.重点听讲 3. 简记笔记 4. 整理咀嚼 5. 后作练习 6. 答疑
第一章 函 数
函数的概念及基本特性 预备知识
1、数的扩张：
自负然整记作 U( x0 , ) { x || x x0 | } { x x0 x x0 }.
x0
x0
x0
x
去心邻域：
0
点x0的去心的 邻域, 记作U (x0 , ).
0
U (x0, ) {x 0 x x0 } (x0 , x0 ) (x0 , x0 ).
其中( x0 , x0 )称为 x0 的左邻域,
( x0 , x0 )称为 x0 的右邻域。
函数概念
若x与y是两个变量，D是一个非空的实数集合。设有一个 对应规则 f，使每一个 x D,都有一个确定的实数 y与之对 应，则称这个对应法则 f 为定义在 D上的一个函数关系， 或称y是x的函数，记作
3l 2
l 2
l 2