第六章静电场作业例题

L 0
则
UP
q q Ld dx ln 4π 0 LL d x 4π 0 L d
此过程中静电力做功
WP q0 (U U P ) q0 (0
qq0 q Ld Ld ln ) ln 4π 0 L d 4π 0 L d
则外力做功
W外 -WP
y
解：电荷元dq产生的场为：
dq dE 4 0 R 2
dq

d

o
dE
根据对称性有：
dE
y
0
R sin d 4 0 R 2
R
x
则：
E dEx d E sin

0
2 0 R
方向沿
x 轴正向。即:
E
i 2 0 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdq x dEx 4 π 0 ( x 2 r 2 )3 2
qx E 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
y
r
R
dq 2 π rdr
(x r )
2
2 1/2
o
dr
xrdr 2 0 ( x 2 r 2 )3 2
z
x P dE x
q πR
2
o
q
闭合 q / 0
那么，通过该平面的电场强度通量为：
a2
q 60
a
q
* 6-12
如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为
半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r
的P’点的电势是多少？ 解：法一
VP '
法二
R
r
E dr
q 1 1 4 0 r R
作 业
• 6-1 6-3 6-4 6-10 6-6 6-11 6-12
作业解答
*6-1 在边长为a的正方形的四个顶点，依次放置点电荷q，2q， -4q和2q，它的正中放着一个单位正电荷，求这个电荷受力 的大小和方向。 解：根据电荷放置情况可知，两个等量电荷在中心产生场 强抵消，q和-4q产生场强方向相同。
*6-6 真空中长为L的细杆上均匀分布着电量，若将点电荷 q0 由
无穷远处移到距离棒的一端为d的P点，设在 q0 移动过程中细杆
上电荷分布不变，求外力所做的功。 解：由题意建立如图所示坐标系，在杆上距离原点O为x处取
一线元dx ， dq q
dUP
Ldx
，则其在P处的电势为
dq q dx 4π 0 L d x 4π 0 LL d x
F q' E
q ' 所受的电场力的大小
3 3qq' F 4 2 2 2 2 2 8 a 0 4 0 [ a ( 3a) ]
其电势能
方向由 O指向q’ qq' qq' EP 4 4 0 a 2 ( 3a) 2 2 0 a
qq'
* 6-4 一个半径为R的均匀带电半圆形环，电荷的线密度为λ， 求环心处O点的场强E。
P109
例6-2：正电荷 q 均匀分布在半径为R 的圆环上.计算在环的 轴线上任一点 P 的电场强度. 解:
E dE
由对称性有
E Ex i
q R
y dq dl r
o
q ( ) 2π R
x
P
dE
x
1 dl er 2 4π 0 r
z
y
q R
q ) dq dl ( 2π R
（B）对封闭曲面有 （C）对封闭曲面有
E dS 0
S
q
q
q
E dS 0
S
（D）高斯面上场强不为零，但仅与面内电荷有关
*5.在静电场中，下列说法中正确的是 （A）带正电荷的导体其电势一定是正值 （B）等势面上各点的场强一定相等 （C）场强为零处电势也一定为零 （D）场强相等处电势不一定相等 *6.试探电荷具有 和 两个特点。
讨论
q R
q 4π 0 x2
y dq dl r
o

（1） x R
E
z
2 R 2
x
P x
E
（点电荷电场强度）
（2） x 0 ,
E0 0
E
（3）dE 0 , x 2 R dx 2
o
2 R 2
x
拓展思考：均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度. 有一半径为 R ,电荷均匀分布的薄圆盘,电荷面密度为 . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度. 解: 由例１
例：将 q2 从 A 移到 B，点 P 电
场强度是否变化？穿过高斯面 的Φ 有否变化？ e 例：在点电荷
s
q2
A
P*
q2 B
s
q1
q
和 q 的静电场中，做如下的三个闭合面
S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 . q Φe1 E dS q
S1
0
q
习 题
*1. 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处为电势零点， 则 M点的电势为
2q
P
M
a
a
q （A） 2 π 0 a
q （B） 4 π 0 a
q （D） 4 π 0 a
q （C） 8π 0 a
* 2.
某电场的电力线分布如图，一负电荷从 A 点移至 B 点，则
正确的说法为
S2
Φe 2 0
Φe3
q
0
S1
S3
*例: 均匀带电细圆环，总电量为q，半径为R，求圆环轴线 上任一点的电势。 解： 任取电荷元
dq
q
o R
x
r
p x
dq dV 4π 0 r
dq V 由电势叠加原理 4π 0 r q q V 4π 0 r 4π 0 ( R 2 x 2 )1/ 2
第六章 静电场
P109例6-1：求电偶极子轴线延长线上一点的电场强度。 电偶极子的轴
r0
电偶极矩（电矩）
q p qr0
r0
E
p q

q
O
q
r0 2 r0 2
x
E
A
x
q
O
q
r0 2 r0 2
E 1 q i 2 4 π 0 ( x r0 2)
r
o
z
E dEx
l l
x

1 dl dE er 2 4π 0 r
P
x
d l x dE cos 2 4 π 0 r r

2π R
0
xdl qx 3 2 2 32 4π 0 (x R ) 4π 0r
qx E 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
（A）电场强度的大小
E A EB
B
（B）电势
（C）电势能
VA VB
E pA E pB
W 0
A
（D）电场力作的功


* 3.有 N
个电荷均为 q
的点电荷，以两种方式分布在相同半
径的圆周上：一种时无规则地分布，另一种是均匀分布.比较 这两种情况下在过圆心
o 并垂直于平面的 z
）
轴上任一点
xrdr dEx 2 0 ( x 2 r 2 )3 2
E dE x
y
r
dq 2 π rdr
(x r )
2
2 1/2
x 2 0

R0
0
rdr 2 2 3/2 (x r )
z
R
o
dr
x P dE x
q πR2
x 1 1 E ( ) 2 2 2 0 x 2 x R
qq0 Ld ln 4π 0 L d
q2 和 q3 在一直线上，相距均为2R，以 *6-10 三个点电荷 q1 ，
q1 和 q2 的中心O作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个
交点，如图。求：（1）通过该球面的电通量；（2）A点的场 强。 解：(1)由题意，根据高斯定理，有
q1 q2 E dS
x
E
E
A
E
x
1 q i 2 4 π 0 ( x r0 2)
E E E
x r0
2 xr0 2 2 2 i ( x r0 4) 1 2p 1 2r0 q E i 3 3 4 π x 4π 0 x 0 q 4π 0
S
0
(2)根据电场强度叠加原理，有
q3 q1 q2 EA 2 2 4 0 (3R) 4 0 R 4 0 R 2
* 6-11 有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O
点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平
面的电场强度为多少？ 解：设想再加5个相同的正方形平面将q 围在正方体的中心，通过此正方体闭合外 表面的通量为：
VP
q 4 0 R
VP '
q 4 0 r
VP' P
q 1 1 4 0 r R
P
（如图所示）的场强与电势,则有（
(1)场强相等，电势相等. (2)场强不等，电势不等. (3)场强分量 E z 相等，电势相等. (4)场强分量
z
P
Ez 相等，电势不等.
o
x
y
*4. 一封闭高斯面内有两个点电荷，电量为 +q 和 －q，封闭 面外也有一带电 q 的点电荷（如图），则下述正确的是（ ） （A）高斯面上场强处处为零
5q E 2 2 a a 2 0 a 2 4 0 4 0 2 2
q
4q
5q F qE 2 0 a 2
方向指向-4q
*6-3 四个相同的点电荷q分布在一个对角线长为2a的刚性正
方形的四个角上，另一个电量为q‘的点电荷处在正方形周线
上到对角线交点O的距离为，如图所示。求q’所受电场力及其 电势能。 解：由题意