关于专插本高等数学知识点和例题
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关于专插本高等数学知识
点和例题
Last revision on 21 December 2020
第一章 极限、连续与间断
本章主要知识点
● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类
● 连续函数的介值定理及应用
一、求极限的七类题型
这里介绍前五类,后两类在相应的章节(洛必达法则,变限积分)再作相应介绍。
(1)题型I ()
()lim
m x n
P x P x ->∞
方法:上下同除以x 的最高次幂 例.1
11313lim
-++-++∞
→x x x x x
解:原式=1
11313lim
-++-++∞
→x x x x x =x
x x x x 11111
313lim
-++-++∞
→=3 例.)214(lim 2x x x x -+-+∞
→
解:原式=x
x x x x 2141lim
2
++-+-+∞
→=2
1
141
1lim
2++-+
-+∞
→x x x x =41- 例.x
x x x
x x x 234234lim --+++∞→
解:原式=x
x x
x x )2
1
()43(1)21()43(1lim
--+++∞→=1 (2)题型II ()
lim
()
m x a
n p x p x → 原式=()(),0()
,
()0,()0()()0
m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧
≠⎪⎪⎪
∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达), 例.1
1lim
3
1--→x x x
解:令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+=2
3
例. 22
32lim 2
21=+-++→x x b
x ax x 解:a+2+b=0,
原式=222)
2)(1()
2)(1(lim )2)(1()2(2lim
2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4
(3)题型III
若0)(lim =→x f a
x ,)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f a
x
例
. 22lim
arccot(sin(1))3
x x x →+∞++ 解:因为
2lim
3x x →+∞+=0,而
2
arccot(sin(1))x +有界,所以 原式=0。 例.202
limln(1tan )cos ()x x x
→+
解:因为 ln(1tan )0x +→(0x →),)2
(cos 2x
有界,所以 原式=0.
例.2006lim
(sin(2006))x x →+∞
解 因为 01111lim 1
lim
3
=++=++∞→∞
→x x x x x
x x x ,2006sin (sin(2006))x 有界;原式=0。
(4)题型IV 1
lim(1)u
u u e →+=
识别此类题型尤为重要,主要特征为∞1未定式.步骤如下: 例.∞
→x lim 32
2(
)1
x x x +-+ 解:原式=∞→x lim (32)
3(1)
1
x x +-++=∞→x lim 3
(32)1
1
3
311x x x x -+++-⎧
⎫
-⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪
+⎝⎭⎪⎪⎩
⎭
=3(32)lim
91
x x x e
e →∞
-+-+=.
例.∞→x lim 221
2
51()23
x x x x x +-+-+ 解:原式=∞→x lim 22
32
(21)
2323
32
232123x x x x x x x x x x --+-+-+--⎧
⎫--⎪⎪⎛
⎫+⎨⎬ ⎪-+⎝⎭⎪
⎪⎩⎭
=2(32)(21)lim
623
x x x x x e
e →∞
--+--+=
例.x
x x x 120
)sin 1(lim +→
解:原式=1)sin 1(lim 1
)
sin(sin 1
2022=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x
x x x x x x x
(5)题型V 等价无穷小替换
替换公式:)0(→x 221~
cos 1x x - x x ~arcsin x x ~arctan x n
x n 1~11-+ x x ~)1ln(+ x e x ~1-
替换原则:乘除可换,加减忌换。