第二章 液体静力学分解

(x, y dy , z) 2
(x dx , y, z) 2
上下
前后
(x dx , y, z) 2
(x dx , y, z) 2
(x, y, z dz ) 2
(x, y, z dz ) 2
代入泰勒展开式，并略去二阶无穷小量，得各表面 中心点所受的静压强为：
x方向
前
PN
p
1 2
p x
dx
VX
6
x
y
zX
Δz
X
Fy
VY
6
x
y
zY
Y
Fz
VZ
6
x
y
zZ
O
Δy
y
Δx
其中，V
1 xyz 6
Z
x 2009
考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则
z
PPxy
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
Pz Pn cos(n, z) Fz 0
式中，(n, x),(n, y:),(n, z)
斜面法线与三个坐标方向的夹角
Pn＝pn An
Px px Ax
Py py Ay Pz pz Az
x
2009
Δz Ax
n
Ay
O
Δy
y
Δx Az
Fx＝
6
fxxyz
3
f x xAx
Fy＝
6
fyxyz
3
f yyAy
Fz＝
6
fzxyz
3
f z zAz
px
Ax
pnAn cos(n, x)
后
PM
p1 2
p dx x
y方向
P左
p
1 2
p y
dy
P右
p
1 2
p y
dy
z方向
2009
1 p P上 p 2 z dz
1 p P下 p 2 z dz
乘以各表面面积，即得各表面所受的总压力：
2009
表面力
侧面 侧面中心点 压强 面积
总压力
左 （x, y dy , z)
2
（p p dy ) y 2
之间却是静止的、无相对运动的。
2009
静止液体的特点：液体之间一定没有相对运动，液体内 部不存在内摩擦力。流体不呈现粘性。
因此，水静力学中，理想液体和实际液体无区别。 液体静力学得出的结论对理想流体和粘性流体都适用。
2009
2.1 静水压强及其特性
p P A
P
p
lim
A0
A
T
ΔA
ΔP
隧洞闸门
隧洞
2009
表面力
泰勒展开式
f(x)
f ( x0 )
f
1 ' ( x0 )( x x0 ) 2! f
'' ( x0 )( x x0 )2 ...
x x0
x
O x0-δ
x0
x0+δ
2009
设该六面体形心点坐
标为（x，y，z），
压强为P，则六个面 中心点的坐标分别为：
左右
2009
(x, y dy , z) 2
dxdz（p
p y
dy )dxdz 2
右 （x, y dy , z)
2
（p
p
dy )
y 2
dxdz
（p
p y
dy )dxdz 2
前 (x dx , y, z)
2
p p dx x 2
dydz
( p p dx )dydz x 2
后 (x dx , y, z) p p dx dydz ( p p dx )dydz
pc
h
pc
c
c
pc
图 静水压强方向示意
2009
p1
A
p2
p1 = p2
2009
证明 任一点静水压强大小与受压面方向无关
pz ?
＝ 斜面压力
py
px
如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可
2009
如图所示，在静止液体中的点A取一微元四面体，
与坐标轴相重合的边长分别为△x、 △y、 △z，三角形
2009
表面力
ΔPy＝ 左侧面压力
1 2
py Δx Δz
z
Δz
O
Δy
Δx
ΔPx＝ 后侧面压力
1 2
px Δy Δz
pn ΔAn ΔPn＝ 斜面压力
y
1 2
pz Δx Δy
x
ΔPz＝ 底面压力
2009
质量力
z
设 X ,Y , Z 为单位质量力在三个坐标上的分量
那么总质量力在三个坐标上的分量为
Fx
及其坐标间的微分关系 .
2009
在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可， 但六面体方便），正交的三条边分别与坐标轴相平行，其
边长dx、dy、dz，中心点为A（x,y,z），该点的密度为 ，
静压强为p。
z
p p dy y 2
dz
b A fy c
p p dy y 2
dy
dx
y x
六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡
3
f x xAx
0
py
Ay
pnAn
cos(n,
y)
3
Yf yyAy
0
pz
Az
pnAn cos(n, z)
3
f z zAz
0
AAxy
An An
cos(n, cos(n,
x) y)
Az An cos(n, z)
when: x, y, z 0
百度文库
px
Ax
pn Ax
1 3
f x xAx
0
py
Ay
图 静水压强示意
ΔP 为作用于微元面积上的动水压力; p 为静水压强 单位：Pa = N·m-2 或 kN·m-2 ； 量纲：[F·L-2]
2009
2.1.1 静水压强的两个性质
1. 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面
Ⅰ
Ⅰ
dPn
dP
一块平衡流 体，将其分 成两部分
α dPτ
Ⅱ Ⅱ
2009
下块液体的平衡
BCD的面积设为An，各微小平面中心点上的压强分别 为px、py、pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影 分别为fx、fy、fz。
由于流体静止，则作用在该微元四面体上的力平衡，即：
Fx
0
Fy 0
Fz 0
2009
z
px
Δz
pn
py
O
Δy
y
Δx
pz
x
从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡
pn Ay
1 3
f yyAy
0
pz
Az
pn Az
1 3
f z zAz
0
p p p p
2009
x
y
z
n
表明连续介质的平衡液体内，任一点的静水 压强仅是空间坐标的函数,与受压面方向无关，
即 p p (x, y,z)
式中，x, y, z 为液体占据的空间坐标
2009
2.2 液体静力学基本平衡方程
2.2.1 液体平衡微分方程 研究液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力
Ⅱ
2009
Ⅰ
dPn
dP
液体受拉
α dPτ
Ⅱ
下块液体的平衡
Ⅱ
2009
Ⅰ
dPn
dP
dP
α dPτ
Ⅱ
Ⅱ
图 静水压力方向示意
静止液体的表面力：只有法向应力，没有切向应力。 而液体无法承受拉力作用，法向应力为内法向应力，即 压强。 流体作用于固体壁面上的压强，恒垂直于固体壁面。
2009
2. 任一点静水压强大小和受压面方向无关， 各方向液体静压强相等。
第二章 液体静力学
流体学院 王燕
2009
水静力学的任务是研究液体平衡的规律及其实际
应用。
静止状态或平衡
液体平衡
相对平衡状态或相对静止
在研究流体平衡时，通常将 地球选作惯性坐标系
• 静止或平衡状态 液体相对地球没有运动，液体处于静止状态
• 相对平衡或相对静止 液体相对于地球处于运动，但液体相对于运动着的容器