辅导八_锐角三角函数知识点总结与典型例题

锐角三角函数知识点总结与训练

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、

90°特殊角的三角函数值(重要)

5、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

A 90

B 90∠-︒=∠︒

=∠+∠得由B A 对边

邻边 C

6、正切的增减性：

当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，

7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

8、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h

i l

=。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h

i l

α=

=。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），

南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。

:i h l =h

l

类型一：直角三角形求值

例1．已知Rt △ABC 中，,12,4

3

tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

例2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，

⋅=

∠4

3sin AOC 求：AB 及

OC 的长．

例3.已知A ∠是锐角，17

8

sin =A ，求A cos ，A tan 的值

对应训练：

1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为

A ．

5 B ．25 C ．12

D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5

3

，那么tan A 的值等于（ ）.

A ．35

B . 45

C . 34

D . 43

类型二. 利用角度转化求值：

例1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2．

求：sin B 、cos B 、tan B ．

例2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，

和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．

12

B ．32

C ．35

D ．4

5

对应训练:

3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为

3

2

，2AC =，则D C B A O

y

x

第8题图

sin B 的值是（ ）

A

D E

C

B

F

A

．

23

B ．32

C ．34

D ．43

4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )

Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．

例2．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．

求：sin ∠ABC 的值．

对应训练

1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．

3. △ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是

A.23 cm 2

B.43 cm 2

C.63 cm 2

D.12 cm 2

例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．

12 B ．55 C ．1010 D ．255

对应训练：

1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）

A ．

5

5

B.

2 5 5 C.1

2

D. 2 类型五:取特殊角三角函数的值

1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．

2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2

.

3)计算：3－1+(2π－1)0－3

3

tan30°－tan45°

4)．计算：

30tan 2345sin 60cos 221

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．

5)．计算：

tan 45sin 301cos 60︒+︒

-︒

；

类型六：解直角三角形的实际应用

例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） 例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的

C

B

A