数学模型与数学建模

2、蜂巢
自
然
离
不
消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格
开
3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形
数
学
4
问题/应用
来自数学的贡献
核磁共振成像技术(MRI) 计算机辅助成像(CAT)
积分几何
空中交通管制
控制论
期权定价
Black-Scholes期权模型和Monte Carlo模拟
店主桥
铁匠桥
木桥
普雷盖尔河
内福夫岛
蜜桥
绿桥
“馋嘴” 吉布莱茨桥
高桥
新河道 旧河道
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B
欧拉在草纸上勾画出示意图。在他
看来，问题是否有可行的方案，与
岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头
的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将
D
A
半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将 各个小桥代之以线。
现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D
设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时
间为
1 ＝2.4 1＋1
（小时）
46
11
A
弧度制是对角大小的另一种度量
方式，弧度制的基本原理与平面
A
相似形有关。
1
扇形 AOB 相似于扇形 AOB
O
B
B
AB OA
AB OA
AB AB OA OA
因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。
π 比如，当扇形的弧长与半径之比为 2
数学模型与数学建模
主要内容
1.什么是数学模型？
——1.1基本概念 ——1.2特点和分类
2.如何数学建模？
——2.1方法和步骤 ——2.2示例
3.为什么数学建模？
—— 3.1现实意义 —— 3.2个人收获
2
1.什么是数学模型？
数学 模型 数学模型
3
பைடு நூலகம்
1、圆形蜘蛛网是一个简单漂 亮的数学创造
——著名数学家 华罗庚
任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即 显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。
马克思教导我们： 一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！ 6
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
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我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一 块。问大马、小马、马仔各几何。
解 设大马，小马，马仔分别为
x y z 100
分别消去
3x
2y
1 2
z
100
x, y, z z和y
匹，应有
可得
y
5 3
(20
x)
z
2 3
(100
x)
这是一个不完全方程组的求整数解问题——丢番图问题。
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数学模型
一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世 界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据 特有的内在规律，做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… …
~ 符号模型
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我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… …
~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、
抽象、提炼出来的原型的替代物，集中反映了原型中
数据采掘、模式识别、算法 数据采掘、组合学、统计学
数
Seiberg- Witten方程(弦论)
宇宙数据的解释
学
复合材料的设计系统
几何学 数据采掘、建模、奇点理论 控制论、计算、偏微分方程
地震的分析和预测
过程控制中的统计学
动力系统/湍流
建模
5
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形” 的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形） 的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化 等问题都离不开数学作为语言工具 。
全局勘察、信号处理、图象处理、
数据采掘
社
应急用储备物资的管理 复杂网络的稳定性
运筹学、最优化理论 逻辑、计算机科学、组合学
会
机密和完整性
数论、密码学/组合学
离
大气和海洋的建模
小波、统计学、数值分析
敏捷制造、自动制造、可视化、机器人 过程质量控制中的几何学、控制论
不
设计和训练
模拟、建模、离散数学
开
人类基因组分析 合理的药物设计
那些我们所熟知的数学模型
“点”、“面”、“线”——抽象化的数学模型
哥尼斯堡七桥问题
1726年，瑞士数学家欧拉（1701－1783）受聘于沙俄科学院，后来 出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯 堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请 教的是下面一个问题。
C
之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现
线路重复呢？
类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。
作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是 奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点．
图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行 的一笔画问题。
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什么是数学模型、数学建模
人们需要的那一部分特征。
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模型的分类
模型
物质模型（形象模型）
直观模型 物理模型
理想模型（抽象模型）
思维模型 符号模型 数学模型
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那些我们所熟知的数学模型
“1”是最简单的数学模型。
例 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第
一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二 台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台 抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？
布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校 园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后， 学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。
有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通 过一次呢？
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哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前 哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒， 成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之 间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。
时，对应的圆心角是直角；
当扇形的弧长与半径之比为 π 时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）.
弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后 面再加量纲（名数）。 引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数 学模型恰是关于几何图形的数学模型。
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那些我们所熟知的数学模型
“3x＋1＝10” 方程是表现等量关系的数学模型