不允许缺货生产销售存储模型

不允许缺货生产销售存储模型

学院：数学与信息科学学院 专业：信息与计算科学 指导老师：熊思灿 作者： 111111

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数学建模结课论文

不允许缺货生产销售存储模型

摘要

在不允许缺货的情况下，考虑生产销售存储模型，建立了不允许缺货生产销售存储模型，利用该模型确定了一个最优生产周期.目标函数即是整个过程中的平均费用最少。先算出一个周期内总费用，其中包括两大部分：生产准备费和总产品的存储费。生产准备费是一个常数，产品总量与时间相关。间接地，产品存储费与时间（周期）有关。因此先建立一个图形存储量q(t)，存储量随时间变化为线性规划，并且递减速率为r。画出储存量q(t)的图形。

设每次生产准备费是c1，单位时间每件产品储存费是c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。对模型进行了合理的理论证明和推导，一个周期内的存储

t,其中积分恰等于图中三角形的面积，c2（（k-r）*T0*T）费是c2* T0)(q dt

/2,结合公式○2,得到存储费为

c2*r*（（k-r）*T＾2）/(2*k) ○3

于是在不允许缺货的情况下，生产销售总费用（单位时间内）包括生产准备费c1和存储费两部分。得出如下：

目标函数：

C（T）=c1/T+c2*r*(k-r)*T/(2*k) ○4

然后借助于求微积分方程方法和Matlab软件，求出当dC/dT=0时，结果为T=（2*c1*k/（c2 *r*(k-r)）＾（1/2）。○5

关键词：

生产速率；销售速率；存储量；最优周期，简单优化模型

一、问题重述

建立不允许缺货的生产销售存储模型。设生产速率是常数k，销售速率是常数r，k>r.在每个月生产周期T内，开始的一段时间（0>r和k≈r的情况。

二、问题分析

从长时间看来，由于不能缺货，所以厂家应该保证生产速率大于销售速率。前一段时间，边生产边销售，一段时间后，由于有一定的产品积压，就不生产只销售。将前后两段时间合称为一个生产周期。根据理论，生产周期短，会使存储费小，准备费大；生产周期长，会使存储费大，准备费小。所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小，显然，应该建立一个优化模型。

一般地，考察这样的不允许缺货生产销售存储模型：生产准备费和产品存储费为常数、生产能力有限、不允许缺货，确定生产周期。使总费用最小。

三、模型假设

1、当t=0时，产品存储量为0；

2、当t=T时，产品存储量可以为0；

3、生产能力有限，但当存储量降到零时，产品立即生产出来，即不允许缺货。

四、模型建立与求解

将存储量表示为时间t的函数q(t)，t=0时，存储量为0，即q(0)=0 ，在0-T0时间段，q(t) q(t) 以速率r递减。

依据图形显然得出

（k-r）T0=r(T-T0) ○1

T0=(r/k)T ○2

t,其中积分恰等于图中三角形的面一个周期内的存储费是c2* T0)(q dt

积，c2（（k-r）*T0*T）/2,结合公式○2,得到存储费为

c2*r*（（k-r）*T＾2）/(2*k) ○3

于是在不允许缺货的情况下，生产销售总费用（单位时间内）包括生产准备费c1和存储费两部分。得出如下：

目标函数：

C（T）=c1/T+c2*r*(k-r)*T/(2*k) ○4

dC/dT=- c1/T+c2*r*(k-r)/(2*k) ○5

dC/dT=0 ○6

对于○5，○6用matlab编程如下：

function y=ill(T,x)

a=c1;b=c2;c=k;d=r;

y=-c1/T+c2*r*(k-r)/(2*k);

T=0:50;

x0=[0];

[t,x]=ode45('I ll',T,x0);[t,x]

plot(x(:,1)),grid,

求出解为T= √2*c1*k/ (c2*r*(k-r)) ○7

易得函数C（T）在T处取得最小值，即最优周期为

T= √2*c1*k/ (c2*r*(k-r))

当k>>r时，T≈√2*c1/c2*r, 相当于不考虑生产情况。当k≈r时，T ∞，此时产销抵消，无法形成存储量。

五、结果解释

从计算可以得出，当准备费c1增加时，生产周期变大;当每件产品存储费c2增加时，生产周期变小；当生产速率k增加时，销售速率r减小时，周期变大，当生产速率k减小时，销售速率r增加时，周期变小。这些定性结果都是符合常识的。但有些定量关系是无法猜出的，只能由数学建模得到。

六、敏感性分析

讨论参数c1,c2有微小变化时对生产周期T的影响。

用相对改变量衡量结果对参数的敏感性程度，T对于c1的敏感程度记作S（T，c1）,定义为

S（T，c1）=(△T/T)/(△c1/c1) ≈(dT/dc1)/(c1/T)

由（7）式容易得到S（T，c1）=1/2。作类似定义并可得到S（T，c2）=-1/2，即c1增加1%，T增加0.5%，而c2增加1%，T减少0.5%。由此可以看到c1,c2的微小变化对生产周期的影响是很小的。

七、模型评价

该模型中考虑到了生产，销售是同时进行，注意到了产品的存储的影响，同时针对特殊的问题进行了讨论，具有更广泛的意义。由于该模型中考虑的生产速率，销售速率为一个平均值，是一个常数；生产周期较容易得到，以该模型还可以在此基础上作进一步改进：生产，销售速率是一个关于时刻t 的函数，允许缺货的情况，而且考虑到销售的随机性，这样模型的应用范围将更加广泛。