数学建模-不允许缺货的贮存模型
(完整版)建立不允许缺货的生产销售存贮模型
2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数为常数k,x销售速率为常数r，k>r。
在每个生产周期T内，开始的一段时间（0<t<T0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0<t<T)只销售部生产，画出贮存量q(t)的图形。
设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k》r和k≈r的情况。
解：一．模型假设：为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。
根据问题性质作如下假设：（1）产品每天的需求量为常数r，生产率为k。
（2）每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
二．模型建立将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0生产0件，贮存量q(0)=0.在T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。
T0时刻以后，q(t)以需求率r减小，直到q(t)=0。
如图：一个周期内的费用为221()()T TTc c q t dt c q t dt c=++⎰⎰，即()22221()22r T Tk r Tc c c c--=++。
每天的平均费用为()212c r k r T c c T K -=+ （1）（1）式是这个模型的目标函数。
三．模型求解求T 使（1）式的c 最小。
容易看出()()00k r T T T r -=-。
代入可得使c(T)达到最小值的周期()*122c k T c r k r =-四．讨论。
当k 》r 时，*122c T c r =，类似不考虑生产的情况。
当k ≈r 时，*T →+∞，由于产量与需求量相当，无法产生贮存量。
7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下），宽b=0.5m,厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
数学建模存贮论部分
最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量： 最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存 贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分 别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解 已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月 。 由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长 模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需 要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产 速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补 充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P
关于允许不允许缺货问题 数学建模
关于允许不允许缺货问题 1、问题分析工厂生产需要定期地订购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都是一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
根据存贮管理原理以及存贮费、订货费和缺货费的意义可知，为了保持一定的库存，要付出存贮费；为了补充库存，要付出订货费；当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。
这三项费用之间是相互矛盾、相互制约的。
存贮费与物资的数量和时间成正比，如降低存贮量，缩短存贮周期，自然会降低存贮费；但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出；为了防止缺货现象的发生，就要增加安全库存量，这样在减少缺货损失费的同时，增大了存贮费的开支。
2、模型假设为使研究模型简便，本文作如下假设:1)在商品销售过程中，因为32C C ≤，则首先销售租借仓库中的商品，待被销售完后，再销售自己仓库中的商品，这样可以降低存贮费用。
2)每次到货补充商品的过程是瞬间完成的，不考虑交货时间的影响[1]。
3)商品间的销售不存在相关性，互不影响。
4)在计划时段初（0t =时刻），各种商品的总库存量为Q 。
基于以上假设，本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费[2]、库存存贮费和因缺货而减少销售要造成损失费。
3、符号说明表1 变量定义表4、模型建立与求解4.1问题1的解决问题1允许商品缺货，所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况，如图1所示，因此分两种情况进行分析求解，最后进行综合讨论。
模型一：当Lx r时，如图2所示，商品缺货的周期存贮费用通过对图2的分析，建立在0～T 时间段内的总损失费用的模型：t存贮量Q0Q Lt存贮量Q0Q L()()()()1313120130240t t Tt t E C C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt C Q rt dt=++--+---⎰⎰⎰… (1)其中：rQ Q t 01-=r L Q t -=2 r Qt =3 2T t x =+ ()E C =1C +102t Q C +213C ()0Q Q -1t +212C 0Q （3t -1t ）+24C ()r t T 23- 令W=1C +102t Q C +213C ()0Q Q -1t +212C 0Q （3t -1t ） 则()()22443 ()22C C r L E C W T t r W x r=+-=+- 取Lx Z r-=， 总损失费用最小即平均损失费用最小：()2412 E (T)= =W C rZ E C C Q T Z r+⎡⎤⎣⎦+ 令2434231()()()20()C rZ t Z W C rZ dE C dZ t Z +-+==+ 也就是：24342 2 0W C rZt C rZ +-=解得：3LZ x r==- 得到缺货情况下的最优订货点：3L r x t Q rx *⎛=+=+ ⎝…………………………（2） 模型二：当Lx r>时，如图3所示，商品不缺货的周期存贮费用通过对图3的分析，建立了不缺货情况下0～T 时间段内的总损失费用的模型：()()()1112013020t Tt E C C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt =++--+-⎰⎰ (3)即：()1320121122E C C (C C )(Q Q )t C T(Q L rx)=+--++-其中rQ Q t 01-=，x r LQ T +-= 令1023121)t Q )(Q C (C C W --+=，则()212E C W C T(Q L rx)=++-单位周期内的平均总费用为：2222111()[()]()22C C E C T W C T Q L rx W Q L rx T T T r ⎧⎫⎡⎤⎡⎤==++-=+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭令'2222()()02[()]2C C d C WT W r dL T Q L rx -=+=+=-- 解得：222[()]rWQ L rx C --=L Q rx *=+ (4)特殊情况：当Lx r=时，L rx *= 时间t存贮量Q0Q L12T图3 不缺货情况下的存贮量——时间图模型三：将模型一、模型二两种情况综合，其损失费用的数学期望为：()()()0()()L rb a L x x rE C E C P x E C P x ∞===+∑∑说明：()()a b C ,C E E 分别指符合模型一、模型二情况的单位周期内的总损失费用。
数学建模研究——存贮问题
关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。
但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。
存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。
本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。
下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。
2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。
要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。
该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。
其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。
数学建模——存储模型
数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
不允许缺货生产销售存储模型
不允许缺货⽣产销售存储模型不允许缺货⽣产销售存储模型学院：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学指导⽼师：熊思灿作者： 111111222222数学建模结课论⽂不允许缺货⽣产销售存储模型摘要在不允许缺货的情况下，考虑⽣产销售存储模型，建⽴了不允许缺货⽣产销售存储模型，利⽤该模型确定了⼀个最优⽣产周期.⽬标函数即是整个过程中的平均费⽤最少。
先算出⼀个周期内总费⽤，其中包括两⼤部分：⽣产准备费和总产品的存储费。
⽣产准备费是⼀个常数，产品总量与时间相关。
间接地，产品存储费与时间（周期）有关。
因此先建⽴⼀个图形存储量q(t)，存储量随时间变化为线性规划，并且递减速率为r。
画出储存量q(t)的图形。
设每次⽣产准备费是c1，单位时间每件产品储存费是c2，以总费⽤最⼩为⽬标确定最优⽣产周期。
对模型进⾏了合理的理论证明和推导，⼀个周期内的存储t,其中积分恰等于图中三⾓形的⾯积，c2（（k-r）*T0*T）费是c2* T0)(q dt/2,结合公式○2,得到存储费为c2*r*（（k-r）*T＾2）/(2*k) ○3于是在不允许缺货的情况下，⽣产销售总费⽤（单位时间内）包括⽣产准备费c1和存储费两部分。
得出如下：⽬标函数：C（T）=c1/T+c2*r*(k-r)*T/(2*k) ○4然后借助于求微积分⽅程⽅法和Matlab软件，求出当dC/dT=0时，结果为T=（2*c1*k/（c2 *r*(k-r)）＾（1/2）。
○5关键词：⽣产速率；销售速率；存储量；最优周期，简单优化模型⼀、问题重述建⽴不允许缺货的⽣产销售存储模型。
设⽣产速率是常数k，销售速率是常数r，k>r.在每个⽉⽣产周期T内，开始的⼀段时间（0>r和k≈r的情况。
⼆、问题分析从长时间看来，由于不能缺货，所以⼚家应该保证⽣产速率⼤于销售速率。
前⼀段时间，边⽣产边销售，⼀段时间后，由于有⼀定的产品积压，就不⽣产只销售。
将前后两段时间合称为⼀个⽣产周期。
问题1 不允许缺货的存贮模型 不允许缺货模型的存贮量q(t)
结果解释
T 2c1 c2r
Q rT 2c1r c2
C 2c1c2r
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大； 当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小； 当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。 这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系 数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。
因存贮量不足造成缺货因此qt可取负值以需求速率r线性递减直至qt1一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费dt每天平均费用dt模型求解用微分法令即允许缺货时周期和供货量增加周期初的存贮量减少
问题1 不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
C
c1
c2
Q2 2r
c3
(rT Q)2 2r
每天平均费用
C(T ,Q)
c1 T
c2
Q2 2rT
c3
(rT Q)2 2rT
模型求解
求T ,Q满足min
C(T ,Q)
c1 T
c2
Q2 2rT
c3
(rT Q)2 2rT
用微分法 令 C(T ,Q) 0, C(T ,Q) 0
不允许缺货的生产销售贮存模型
不允许缺货的生产销售贮存模型摘要 本文针对不允许缺货的生产销售贮存问题，根据问题要求确定贮存量函数、画出图形，并建立最优生产周期的优化模型。
根据模型确定了最优生产周期，并对模型的合理性进行了讨论。
关键词： 数学模型 优化模型 最优生产周期正文1 问题复述某工厂每次生产时要付生产准备费，当产量大于销售量时，因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现知该工厂生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，且k r >。
在每个生产周期T 内，开始的一段时间()00t T <<一边生产一边销售，后来的一段时间()0T t T <<只销售不生产。
并且已知每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c 。
现要求在不允许缺货的情况下，解决下述问题：问题一 画出贮存量()q t 的图形；问题二 以总费用最小为目标确定最优生产周期，并且讨论k r 和k r ≈两种情形。
2 模型假设（1）考虑连续模型，即设生产周期T 和贮存量()q t 均为连续量；（2）初始贮存量为零，即()00q =。
3 符号说明k 表示生产速率（为常数）；r 表示销售速率（为常数）；T 表示生产周期；()q t 表示t 时刻的贮存量；1c 表示每次生产的准备费；2c 表示单位时间每件产品的贮存费； C 表示一个周期的总费用；C 表示单位时间的平均费用；λ表示一常数，且01λ<<；*T 表示使C 达到最小值的最优生产周期。
3 模型建立与求解3.1 问题一的模型建立与求解在一个周期T 内：情形一 当00t T ≤≤时，贮存量为()()q t kt rt k r t =-=-.情形二 当0T t T <≤时，贮存量为()0q t kT rt =-.则贮存量()q t 的图形如图1所示。
图1 不允许缺货的贮存量()q t3.2 问题二的模型建立与求解3.2.1 模型建立由于一个周期的贮存费是()()202012T c q t dt k r T Tc =-⎰，而一个周期的准备费是1c ，得到一个周期的总费用为()10212C c k r T Tc =+- ① 于是单位时间的平均费用为()()10212c C C T k r T c T T ==+- ② ②式即为问题二的优化模型。
数学建模-不允许缺货的贮存模型
不允许缺货的贮存模型摘要：本文通过建立两个模型，解决在及时满足市场需求的前提下如何设置贮存周期和贮存量使一次性订购费最少问题. 第一个模型是建立在一边生产一边销售的条件下. 第二个模型在建立只销售不生产条件下.通过模型的建立及微分法求解可知，当生产周期满足T =.关键词：微分法 不允许缺货 总费用正文1 问题的复述建立不允许缺货的生产销售贮存模型.设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r.在每个生产周期T 内，开始的一段时间（0<t<0T ）一边生产一边销售，后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量的()q t 图形，设每次生产准备费为1C ,单位时间 每件产品贮存费为2C ，以总费用最小为目标确定最优生产周期.讨论k>>r 和k r ≈的情况.2 模型假设2.1 生产能力有限大，当贮存量降为零时，立即再生产2.2 产品的市场需求量不变2.3 产品每天需求量为常数r2.4 每次生产准备费为1C ，每天每件产品贮存费为2C2.4 一周期的总费用为C ,每天的平均费为C3 模型的建立3.1 在开始的一段时间（0<t<0T ）一边生产一边销售，则()()q t kt rt k r t =-=-3.2 后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，则0()q t kT rt =- 则()q t 与t 的关系图，如图1由图1知0()0r q T T T k =⇒= 一周期的贮存费是2020()()()22T k r T T k r T C q t dt k --==⎰得到一周期的总费用为C =221()2C k r rT C k -+于是每天的平均费用是12()()(1)2C C k r rT C C T T T k -==+ 4 模型求解由（1）式得：当122()C rT k r rC =- （2） 时，C 最小，此时122()C C k r r C k -= 结果解释：当k>>r 时，122C T C r =即不考虑生产的情况当k r ≈时，T →∞此时产量与销售互相抵消，无法形成周期5 模型检验敏感性分析：讨论参数12,,,C C k r 有微小变化对生产周期T 的影响T 对1C 的敏感度记作11111(,),(,)T C dT T S T C S T C C dC T C =≈⋅ 由（2）式得11(,)2S T C = 类似的可得21(,)2S T C =-1(,)2r S T k k r =-⋅-12(,)2k r S T r k r -=-⋅- 即1C 增加1%，T 增加5%，2C 增加1%，T 减少5%当k>>r 时，K 对T 没有影响，与结果一致r 增加1%，T 减少5%当k r ≈时，k 或r 增加对周期T 无影响，因为已经无法形成周期了 6 模型的应用在生产销售过程中，贮存量和贮存周期的设置对厂家的利益有着至关重要的影响，在满足市场需求的情况下，如何设置贮存量才能使利益最大化，此模型提供了一种在生产能力有限的情况下设置贮存周期的方案.在追求利益最大化的现代，越来越多的生产销售需要厂家考虑货物的贮存问题.参考文献[ 1 ] 姜启源等 数学建模（第三版）[M].高等教育出版社,2004.59—79.[ 2 ] 谢芸荪,张志让.数学实验.科学出版社,1999.45-67.[ 3 ] 高惠璇 应用多元统计分析[M].北京大学出版社,2010.234—246。
数学建模实用教程-第2章 连续模型
微积分模型； 解析几何模型； 微分方程模型。
2020/5/14
数学建模实用教程－高教出版社
1
1、微积分模型
不允许缺货的存储模型 森林救火模型 易拉罐的优化设计模型
2020/5/14
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2
2.1.1 不允许缺货的存储模型
1. 问题的提出
已知某工厂装配线能够生产若干种不同的产品， 每轮换一次产品，生产线都需要更换一些必要的设 备，为此，要付出一定量的生产准备费用．
救火速度．显然 x / ，否则无法灭火．
（4）每个消防队员单位时间的费用为 c2 ，于是 每个队员的救火费用为 c2 (t2 t1) ，每个队员的一次 性开支为 c3
2020/5/14
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16
2.1.2 森林救火模型 3.模型的建立与求解
根据假设（2）和（3），火势蔓延程度在 0 t t1
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2、解析几何模型
舰艇的快速会合模型 飞越北极的数学模型
2020/5/14
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2.2.1 舰艇的快速会合模型
1. 问题的提出
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的 飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它 尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速 与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母 汇合。
烧毁森林的损失费用通常与火灾烧毁森林的面 积成正比，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭 火的时间有关。
灭火时间取决于消防队员数量，消防队员越多 灭火越快，即时间越短。
2020/5/14
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2.1.2 森林救火模型
记失火时刻为 t 0 ，消防队员开始救火时刻为 t t1 ，火灾被熄灭的时刻为 t t2 ．设 t 时刻烧毁森
存储模型(参考)
模型一：备货时间很短，不允许缺货
模型假设： （1）当存储降到零时，可以实现瞬时补充。即备货时间 可以近似为 0； （2）需求是连续均匀的，设需求速度 C (单位时间的需求 量)为常数 R2 ； （3）每次订货量不变，订货费不变，设订货费为 C3 ； （4）单位时间内单位存储费不变，设单位存储费为 C1 ； （5）不允许缺货，设单位缺货费为 C2 ， C2 为无穷大； （6）采用 t －循环策略，即补充时间间隔为 t ，每次补充 量为 Q ； 下面分别讨论此存储模型的各项费用。
解得： t
*
2C3 C1 R2
2C3 R2 C1
（8.2.3）
所以最佳补充量
Q R2t
* *
（8.2.4）
此时最小的平均总费用
C * C (t * ) 2C1C3 R2 PR2
（8.2.5）
Q 可见货物的单价 P 与最佳补充量 Q 无关。 称为经济订购批量
(Economic 略去，从而
C C C 解： 由条件知， 1 = 150 ×16% = 24， 3 = 100， 2 = 200， R2 = 2000×12 = 24000，所以
2C2C3 R2 S C1 (C1 C2 )
最大缺货量为
2 200 100 24000 423 (件) 24 (24 200) 2 24000 24 100 50 (件) 200 (24 200)
解： 由题目条件知，R1 = 3000，R2 = 18000/12 = 1500，C1 = 1.5，
C3 = 5000，由 E.O.Q（8.2.11）计算公式得：
2C3 R2 R1 Q C1 ( R1 R2 )
(不)允许缺货的存储模型
A
t 0 T 考察一个订货周期T 考察一个订货周期T 的总费用 C’ :
2T
T
t
其值恰为图中 阴影部分面积A 阴影部分面积A A=QT/2
C’=订货费用C1 + 订货费用C1
C 存储费? 存储费? 2 ∫0 q (t ) dt
1 1 1 C′ = C1 + C2 Q T = C1 + C2 rT T = C2 r T 2 + C1 ... … …(2) 2 2 2
T ′ → T , Q′ → Q
合理吗? 合理吗?
2010-9-22
新余高等专科学校 数学建模教练组
14
Mathematical Model
&
Mathematical Modeling
The End! Thank You!
新余高等专科学校 数学建模教练组
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C 3 ∫T | q (t ) | dt
1
A
t
B
考察一个订货周期T 考察一个订货周期T 的总费用 C’ :
C’=订货费用C1 + 订货费用C1
C 存储费? 存储费? 2 ∫0 q (t ) dt
T
+ 缺货费
T
1 1 C ′ = C1 + C 2 Q T1 + C3 r (T T1 ) 2 2 2
符合常识! 符合常识!
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9
Mathematical Model
&
Mathematical Modeling
二. 允许缺货的存储模型
简化假设
考查一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题. 考查一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题.设 某市场对某种商品的需求量是确定和已知的,但是允许缺货 某市场对某种商品的需求量是确定和已知的,但是允许缺货.缺货时因失 允许缺货. 去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用, 去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用,称 缺货费.于是对”不允许缺货的存储模型”中的第3条假设做修改为: 缺货费.于是对”不允许缺货的存储模型”中的第3条假设做修改为:
存贮问题建模
数学建模
模型结果分析
❖如果缺货损失非常大，以至于可以忽略存储费c2 ， 则一般不允许缺货。
❖从数学角度，即令 c3 ，则
T*
2c1 c2r
c2 c3 c3
T0*
2c1 c2r
Q*
2c1r c2
c3 c2 c3
Q0*
2c1r c2
❖ 不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例
数学建模
模型结果分析
数学建模
问题分析与模型假设
问题分析 ❖ 最佳以进企货业周的期总取支决出于最企小业为的目利标润来或决损定失进的货大周小期。 ❖ 只有产品的存储与缺货信息，没有明确的销售信息。 模型假设 ❖ 1）进货周期为T，最大存储量为Q，产品销售速度
为r，每周期进货费为c1，单位时间单位产品存储费 为c2、缺货损失费为c3； ❖ 2）销售至T1 (<T)时库存不足，出现缺货，但所缺货 物将在下周期订货时补足； ❖ 3）时刻t（0<t<T）时货物存储量为q(t)。
模型求解
❖根据二元函数极值必要条件，令 C 0, C 0
T
Q
❖解得最优解 T * 2c1 c2 c3 , Q* 2c1r c3
c2r c3
c2 c2 c3
❖于是每周期的最优订货量 R* rT * 2rc1 c2 c3
c2 c3
❖ 易见，T与进货费c1成正比，与存储费c2、缺货损失 费c3及销售速度r成反比，这些均与一般常识吻合。
q
存
Q0
储
r
量
A
匀
O
T0
t
图1.9 不允许缺货时的货物存储量 q(t)
速 减 少
数学建模
模型建立与求解
允许缺货模型（经济订货批量）不允许缺货的存储模型
允许缺货模型 (经济订货批量)不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型如：某工厂平均每天需要某种原料20吨，已知每吨原料每天的保管费用为0.75元，每次的订货费用为75元，如果工厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充，请为该工厂做出最佳决策：即多长时间订一次货，每次订多少货才能使每天所花费的总费用最少。
一、模型假设（1）进货费用：包括订货费用C1元（固定费用）与货物成本费用C元/吨，与订货数量有关（是可变费用）。
（2）单位时间内的存储费用：C2元/吨。
总费用T=T1+T2，其中T1为进货费用，T2为存储费用。
二、建立模型设每隔t天订一次货，每次订货数量为x，每次订货费用为C1，单位时间内每单位货物存储费用为C2，每天内对货物的需求量为R.在上述条件下有x Rt，每次的进货费用为：C1 C x C1 C RtC1t则平均每天的进货费用为：T1 每天的平均库存量为则每天的总费用为T(t) 三、模型求解C1tx2R Cx212，平均库存费为T2 C2C2RtR CC2Rt2制定最优存储方案，就归结为确定订货周期t，使T(t)达到最小值。
因为dT(t)dtC1t2123C2R，令dT(t)dt=0，得驻点t2C1RC2，而T’’ 2C1RC2C2R2C13x Rt，所以，每批最佳订货量为上式即为经济学中著名的经济订货批量公式，它表明订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；存储费用越高，则每次订货批量应越小。
四、模型应用代入数值t02 750.(经济订货批量)不允许缺货的存储模型75 203.1623（天）x0 63.246（吨）百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。
数学建模存贮论部分
货单位发货期间，每天发货量为10件。试求：
（1）最佳订货批量及最大缺货量；
（2）年最小费用。
解：本题属于“允许缺货、补充需要一段时间”的存贮模型
由题设可知：
R76件天， P10件天， C1133.7050元件天
2021/6/16
C23205元 0 件天， C35元 0
23
271050(13.7525)
1( t
t1
(
0
P
R
)u
du
t
R(
t1
t
u
)
du
)
1 t
(
1 2
Pt12
1 2
Rt2 Rt t1 )
t1Rt P
1
Rt
R2
t
2
2P
其中t1 t1
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3
于是单位时间内总的平均费用为
C(t)C31C1(RR2)t
t2
P
求t的取值，使 C (t) 达到最小。
模型求解
ddC (tt)C t231 2C1(RR P2)
Ru J(u)(PR)(t2u)
, ,
0ut1 t1ut2
0
, t2ut
于是 [ 0 , t ]时间内的平均缺货量为
1 t 0 tJ ( u )d 1 u t 0 t1 R u d u t t 1 2 (P R )t2 ( u )d 0 u
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1 t[1 2Rt1 21 2(PR)(t2t1)2]
货物的价值（成本）。
该模型的存贮状态图为
Q
A
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0 B
t1 t
T
5存储模型
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产 批量为56件。
四、模型三
模型三——允许缺货，生产时间很短。模型一、 二是在不允许缺货的情况下推导出来的，模型三是 允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。
这里除假设允许缺货，其余条件与模型一相同，
设单位时间每缺一件的损失为 c3 。
一、存贮问题的基本要素
一般的存贮问题通常包含下面5个基本要素。
（一）需求
需求是存贮系统的输出，需求量可以通过供 销渠道获得，它可以是确定的，如自动生产线上 每个班组对某种零件的需求量；它也可以是随机 的，如市场每天对某种商品的销售量。
（二）补充（订货或生产）
补充是存贮系统的输入，存贮物品的补充可以 由工厂生产获得，也可以通过订货得到。从订货到 货物入库，通常需要一段时间，称为滞后时间。由 于滞后时间的存在，管理者为了能及时补充，就必 须提前订货，所提前的时间称为提前时间。滞后时 间可以是随机的，也可以是确定的。
假设每隔T天订货Q，而货物在 t T1 时用完，有 一段时间，即T T1 长时间地缺货（这时需求速度仍
为 r ）（如图），则在T时刻的订货量 Q rT1
T时间内的存贮量 T1
t
(rT1
rx)dx
12rT12
；存贮费
1 2
rT12c2
T时间内的缺货量为
T
(rT1 rx)dx
则缺货损失费为
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费
为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT
T时间内的存贮 量（如图）为
T
0
(rT
rt)dt
(数学建模课件)2.3存贮模型
Q
Ar
t
0
T
2T一个订货周期总费用订货费 C1贮存费 C 2
T 0
q(t)dt
1 2
C2QT
1 2
C 2 rT
2
即
C（T）
C1
1 2
C2 rT
2
一个订货周期平均每天的费用 C(T ) 应为
C(T )
C(T ) T
C1 T
1 2
C2
rT
问题归结为求T 使 C(T ) 最小。
模型求解：
令
dC dT
0
，不难求得
T 2C1 rC 2
从而
Q 2C1r C2
（经济订货批量公式，简称 EOQ公式）
模型分析： 若记每吨货物的价格为 k ，则一周期的总费用C
中应添加 kQ，由于 Q rT ，故 C 中添加一常数项 kr，求 解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。
从结果看，C1越高，需求量 r 越大，Q 应越大；C2
模型一、不允许缺货的存贮模型 模型假设： 1、每次订货费为 C1，每天每吨货物贮存费 C2 为已知； 2、每天的货物需求量 r 吨为已知； 3、订货周期为T 天，每次订货 Q 吨，当贮存量降到零 时订货立即到达。
模型建立：
订货周期T ，订货量 Q 与每天需求量 r 之间满足
Q rT 订货后贮存量 q(t) 由 Q 均匀地下降，即 q(t) Q rt 。
模型建立：
缺货时贮存量 q 视作负值，q(t) 的图形如下，货物
在 t T1时售完，于是 Q rT1 。
.
.q
Q
r
A
0
T1 B T
t
一个订货周期内总费用如下
数学建模 生产与存贮问题的探讨
生产与存贮问题的探讨摘 要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。
我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。
数学建模——存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
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不允许缺货的贮存模型
摘要：本文通过建立两个模型，解决在及时满足市场需求的前提下如何设置贮存周期和贮存量使一次性订购费最少问题. 第一个模型是建立在一边生产一边销售的条件下. 第二个模型在建立只销售不生产条件下.
通过模型的建立及微分法求解可知，当生产周期满足T =.
关键词：微分法 不允许缺货 总费用
正文
1 问题的复述
建立不允许缺货的生产销售贮存模型.设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r.在每个生产周期T 内，开始的一段时间（0<t<0T ）一边生产一边销售，后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量的()q t 图形，设每次生产准备费为1C ,单位时间 每件产品贮存费为2C ，以总费用最小为目标确定最优生产周期.讨论k>>r 和k r ≈的情况.
2 模型假设
生产能力有限大，当贮存量降为零时，立即再生产
产品的市场需求量不变
产品每天需求量为常数r
~
每次生产准备费为1C ，每天每件产品贮存费为2
C
一周期的总费用为C ,每天的平均费为C
3 模型的建立
在开始的一段时间（0<t<0T ）一边生产一边销售，则()()q t kt rt k r t =-=- 后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，则0()q t kT rt =- 则()q t 与t 的关系图，如图1
由图1知
0()0r q T T T k =⇒= 一周期的贮存费是2020()()()22T k r T T k r T C q t dt k --==⎰
得到一周期的总费用为C =2
21()2C k r rT C k -+
*
于是每天的平均费用是
12()()(1)
2C C k r rT C C T T T k -==+ 4 模型求解
由（1）式得：当122()C r
T k r rC =- （2） 时，C 最小，此时
122()C C k r r C k -= 结果解释：当k>>r 时，1
22C T C r =
当k r ≈时，T →∞此时产量与销售互相抵消，无法形成周期
5 模型检验
敏感性分析：讨论参数12,,,C C k r 有微小变化对生产周期T 的影响
T 对1C 的敏感度记作
1
1111(,),(,)T C dT T S T C S T C C dC T C =≈⋅ 由（2）式得
11(,)2S T C = 类似的可得21(,)2S T C =-
;
1(,)2r S T k k r =-⋅-
12(,)2k r S T r k r -=-⋅- 即1C 增加1%，T 增加5%，2C 增加1%，T 减少5%
当k>>r 时，K 对T 没有影响，与结果一致
r 增加1%，T 减少5%
当k r ≈时，k 或r 增加对周期T 无影响，因为已经无法形成周期了 6 模型的应用
在生产销售过程中，贮存量和贮存周期的设置对厂家的利益有着至关重要的影响，在满足市场需求的情况下，如何设置贮存量才能使利益最大化，此模型提供了一种在生产能力有限的情况下设置贮存周期的方案.在追求利益最大化的现代，越来越多的生产销售需要厂家考虑货物的贮存问题.
参考文献
[ 1 ] 姜启源等 数学建模（第三版）[M].高等教育出版社,—79.
[ 2 ] 谢芸荪,张志让.数学实验.科学出版社,.
[ 3 ] 高惠璇应用多元统计分析[M].北京大学出版社,—246。