关于允许不允许缺货问题数学建模

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数学建模章绍辉第七章作业答案

1. 对于不允许缺货的确定性静态库存模型，做灵敏度分析，讨论参数1p 、2p 和r 的微小变化对最优订货周期T *和最优订货量Q *的影响. 解答因为最优订货周期T *=111111(,)22p TS T p p p T***∂===∂22211(,)22p TS T p p p T***∂==-=-∂11(,)22TrS T r rr T***∂==-=-∂可见，1p 增加1%，T *增加0.5%；2p 或r 增加1%，T *都减少0.5%. 所以参数1p ，2p ，r 的微小变化对T *的影响是很小的.因为最优订货量Q *=，所以111111(,)22p QS Q p p p Q***∂===∂22211(,)22p QS Q p p p Q***∂==-=-∂11(,)22QrS Q r rr Q***∂===∂可见，1p 或r 增加1%，Q *都增加0.5%；2p 增加1%，Q *减少0.5%. 所以参数1p ，2p ，r 的微小变化对Q *的影响是很小的.2. 某配件厂为装配线生产若干种部件. 每次轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）. 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付库存费. 今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，库存费每日每件1元. 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，请制定最优生产计划.解答依题意，每生产一次该种部件因更换设备而产生的生产准备费为15000p =元，每天每一个部件的库存费为21p =元，该种部件的日需求量为r =100件. 用EOQ 公式计算，得：最优生产周期10T *=天，每次生产1000Q *==件.3. 某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收，每天能产生5包，在商场后院存放的费用是每包每天10元. 另一家公司负责将这些纸包运送到回收站，要收取固定费用1000元租装卸车，外加运输费每包100元. 请制定运送纸包到回收站的最优策略.解答依题意，每运送一次纸包的固定费用为11000p =元，每天每一个纸包的库存费为210p =元，每天需要运送的纸包为r =5包. 用EOQ 公式计算，得：最优运输周期6T *=天，每次运送5630Q *=⨯=包.4. 某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗. 旅馆每天有600条脏毛巾要洗，清洗店定期上门来收取这些脏毛巾，并换成洗好的干净毛巾. 清洗店清洗毛巾的标准收费每条2元，但是如果旅馆一次给清洗店至少2500条毛巾，清洗店清洗毛巾的收费为每条1.9元. 清洗店每一次取送服务都要收取上门费250元. 旅馆存放脏毛巾的费用是每天每条0.1元. 旅店应该如何使用的清洗店的取送服务呢？解答依题意，清洗店每一次取送服务固定收取上门费1250p =元，旅馆存放脏毛巾每天每条的费用是20.1p =元，每天需要洗的脏毛巾数目为r =600条. 记旅馆每次给清洗店清洗的脏毛巾数目为Q 条，则清洗店清洗毛巾的价格（元/条）为：100022 , 25001.9, 2500p Q p p Q =<⎧=⎨=≥⎩如果2500Q≥，则取送服务的周期5TQ r =≥天. 因此，每天的总费用为11201022+, 1,2,3,42+, 52p p rT p r T T C p p rT p r T T ⎧+=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩ 用列表法及图示法，解得：每5天使用一次清洗店的取送服务，每天平均费用为1340元，达到最小值.MATLAB 脚本：p01=2; p02=1.9; p1=250; p2=0.1; r=600;f1=@(t)p01*r+p1./t+p2*r*t/2; f2=@(t)p02*r+p1./t+p2*r*t/2; c=[f1(1:4),f2(5:10)]fplot(f1,[1,4],'k'), hold onfplot(f1,[4,10],'k:'), fplot(f2,[1,5],'k:'), fplot(f2,[5,10],'k') plot(c,'ko'), hold off, axis([0,11,1300,1550])text(1.3,1450,'p_0=2元'), text(1.8,1340,'p_0=1.9元')xlabel('取送服务的周期（天）'), ylabel('每天的总费用（元）')计算结果为： c =Columns 1 through 51480 1385 1373.3 1382.5 1340 Columns 6 through 101361.7 1385.7 1411.3 1437.8 146501234567891011取送服务的周期（天）每天的总费用（元）。

数学建模存贮论部分

最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量：最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月。由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P

关于允许不允许缺货问题数学建模

关于允许不允许缺货问题 1、问题分析工厂生产需要定期地订购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。

无论是原料或商品，都是一个怎样存贮的问题。

存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。

因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。

根据存贮管理原理以及存贮费、订货费和缺货费的意义可知，为了保持一定的库存，要付出存贮费；为了补充库存，要付出订货费；当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。

这三项费用之间是相互矛盾、相互制约的。

存贮费与物资的数量和时间成正比，如降低存贮量，缩短存贮周期，自然会降低存贮费；但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出；为了防止缺货现象的发生，就要增加安全库存量，这样在减少缺货损失费的同时，增大了存贮费的开支。

2、模型假设为使研究模型简便，本文作如下假设:1)在商品销售过程中，因为32C C ≤，则首先销售租借仓库中的商品，待被销售完后，再销售自己仓库中的商品，这样可以降低存贮费用。

2)每次到货补充商品的过程是瞬间完成的，不考虑交货时间的影响[1]。

3)商品间的销售不存在相关性，互不影响。

4)在计划时段初（0t =时刻），各种商品的总库存量为Q 。

基于以上假设，本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费[2]、库存存贮费和因缺货而减少销售要造成损失费。

3、符号说明表1 变量定义表4、模型建立与求解4.1问题1的解决问题1允许商品缺货，所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况，如图1所示，因此分两种情况进行分析求解，最后进行综合讨论。

模型一：当Lx r时，如图2所示，商品缺货的周期存贮费用通过对图2的分析，建立在0～T 时间段内的总损失费用的模型：t存贮量Q0Q Lt存贮量Q0Q L()()()()1313120130240t t Tt t E C C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt C Q rt dt=++--+---⎰⎰⎰… (1)其中：rQ Q t 01-=r L Q t -=2 r Qt =3 2T t x =+ ()E C =1C +102t Q C +213C ()0Q Q -1t +212C 0Q （3t -1t ）+24C ()r t T 23- 令W=1C +102t Q C +213C ()0Q Q -1t +212C 0Q （3t -1t ）则()()22443 ()22C C r L E C W T t r W x r=+-=+- 取Lx Z r-=，总损失费用最小即平均损失费用最小：()2412 E (T)= =W C rZ E C C Q T Z r+⎡⎤⎣⎦+ 令2434231()()()20()C rZ t Z W C rZ dE C dZ t Z +-+==+ 也就是：24342 2 0W C rZt C rZ +-=解得：3LZ x r==- 得到缺货情况下的最优订货点：3L r x t Q rx *⎛=+=+ ⎝…………………………（2）模型二：当Lx r>时，如图3所示，商品不缺货的周期存贮费用通过对图3的分析，建立了不缺货情况下0～T 时间段内的总损失费用的模型：()()()1112013020t Tt E C C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt =++--+-⎰⎰ (3)即：()1320121122E C C (C C )(Q Q )t C T(Q L rx)=+--++-其中rQ Q t 01-=，x r LQ T +-= 令1023121)t Q )(Q C (C C W --+=，则()212E C W C T(Q L rx)=++-单位周期内的平均总费用为：2222111()[()]()22C C E C T W C T Q L rx W Q L rx T T T r ⎧⎫⎡⎤⎡⎤==++-=+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭令'2222()()02[()]2C C d C WT W r dL T Q L rx -=+=+=-- 解得：222[()]rWQ L rx C --=L Q rx *=+ (4)特殊情况：当Lx r=时，L rx *= 时间t存贮量Q0Q L12T图3 不缺货情况下的存贮量——时间图模型三：将模型一、模型二两种情况综合，其损失费用的数学期望为：()()()0()()L rb a L x x rE C E C P x E C P x ∞===+∑∑说明：()()a b C ,C E E 分别指符合模型一、模型二情况的单位周期内的总损失费用。

数学建模——存储模型

数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。

在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。

模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。

本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。

首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。

这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。

其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。

根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。

此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。

总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。

关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。

现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。

不允许缺货的生产销售贮存模型

不允许缺货的生产销售贮存模型摘要本文针对不允许缺货的生产销售贮存问题，根据问题要求确定贮存量函数、画出图形，并建立最优生产周期的优化模型。

根据模型确定了最优生产周期，并对模型的合理性进行了讨论。

关键词：数学模型优化模型最优生产周期正文1 问题复述某工厂每次生产时要付生产准备费，当产量大于销售量时，因积压资金、占用仓库要付贮存费。

现知该工厂生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，且k r >。

在每个生产周期T 内，开始的一段时间()00t T <<一边生产一边销售，后来的一段时间()0T t T <<只销售不生产。

并且已知每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c 。

现要求在不允许缺货的情况下，解决下述问题：问题一画出贮存量()q t 的图形；问题二以总费用最小为目标确定最优生产周期，并且讨论k r 和k r ≈两种情形。

2 模型假设（1）考虑连续模型，即设生产周期T 和贮存量()q t 均为连续量；（2）初始贮存量为零，即()00q =。

3 符号说明k 表示生产速率（为常数）；r 表示销售速率（为常数）；T 表示生产周期；()q t 表示t 时刻的贮存量；1c 表示每次生产的准备费；2c 表示单位时间每件产品的贮存费； C 表示一个周期的总费用；C 表示单位时间的平均费用；λ表示一常数，且01λ<<；*T 表示使C 达到最小值的最优生产周期。

3 模型建立与求解3.1 问题一的模型建立与求解在一个周期T 内：情形一当00t T ≤≤时，贮存量为()()q t kt rt k r t =-=-.情形二当0T t T <≤时，贮存量为()0q t kT rt =-.则贮存量()q t 的图形如图1所示。

图1 不允许缺货的贮存量()q t3.2 问题二的模型建立与求解3.2.1 模型建立由于一个周期的贮存费是()()202012T c q t dt k r T Tc =-⎰，而一个周期的准备费是1c ，得到一个周期的总费用为()10212C c k r T Tc =+- ① 于是单位时间的平均费用为()()10212c C C T k r T c T T ==+- ② ②式即为问题二的优化模型。

数学建模课后习题答案

第一章课后习题6.利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：)()0(mg M x =由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程M x x dtdx=-=)0(,λ （1）原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。

由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程：0)0(,=-=y y x dtdyμλ （2）方程（1）可转换为：tMe t x λ-=)(带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμλλ----=将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得：t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t针对孩子求解，得：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=；致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987=课后习题7.对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。

解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μut e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---=1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dtdzt 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t用matlab 画图:图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。

数学建模存贮模型

利用(8)式 Q rT1 ，得到每天的平均费用是
C(T , Q)
(10)
c1 T c2Q 2 2rT c3 rT Q2 2rT
(10)式为这个优化模型的目标函数，是
T 和 Q 的二元函数。
模型求解
用微分法求 T 和 Q 使 C(T,Q)最小。解方程组
C

T

C
问题分析
• 总结：生产周期越长，产量越多，会使平均每天费用中的贮存费变大，生产准备费变小。所以必存在最佳生产周期，使每天的平均费用最小。
• 为了得到准确的结论，应该建立优化模型，研究每天的平均费用和生产周期、产量、需求量、生产准备费、贮存费之间的关系，求出最优解。
问题分析
• 把以上问题一般化，考察如下的不允许缺货的存贮模型：假设产品需求稳定不变，生产准备费和每天每件产品的贮存费均为常数，生产能力无限，不允许缺货，确定生产周期和产量，使每天的平均费用最小。
q (t ) rt Q ， Q rT1 (8)
模型建立
在T1 到 T 这段缺货时段内，需求率 r 不变，q(t)按原斜率继续下降。由于假设 3a 规定缺货量需补足，所以在 t＝T 时数量为 R 的产品立即到达，使下周期初的贮存量恢复到 Q．
模型建立
一个周期 T 内的贮存费是
3131存贮模型存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型问题提出问题提出在有些情况下用户允许短时间的缺货虽然缺货会造成损失但是缺货期间没有贮存费而且由于延长了生产周期从而降低了一次性生产准备费分摊在每天的费用所以如果缺货损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费可以采用允许缺货的策略
第3章简单的优化模型

数学建模习题

超市进货策略一家大型超市每天需要存储大量物品以满足顾客的需要。

现在只考虑其中一种物品的销售和进货情况。

1、假设需求是随机的，在不考虑缺货损失的情况下，确定最佳进货策略。

2、确定在考虑缺货损失的情况下的最佳进货策略。

3、可进一步考虑有替代品的情况下的最佳进货策略。

解答：（1）不允许缺货:1、问题分析：超市需要有一定量的存货以保证每天正常销售供应，一次性进货过多，存储时间会很长，虽然供应销售满足啦，但是储存费用也相应的增加，影响超市开销的还有每次进货的固定花费。

每天销售商品的综合开销（如雇工费、营业费等）稳定不变，可视为常数，对进货策略无影响，故不予考虑。

2、模型假设：①、每日需求量均相等为常数n，进货周期为T，每次进货数量为R,每件货物进货价格为K；②、每次进货费用（费货物本身费用）为，每天每件商品存储费用为；③、当存储量将为0时可以立即进货补充而不出现缺货情况。

3、模型建立：将存储量表示为时间（天）的函数f（t）；t=0是存储R件，即f（0）=R，f（t）以需求率n件/天。

递减至f（t）=0；如下图：其中R=nT一个周期内的存储费用为=RT/2;又因为每一次进货费用为所以每一个进货周期总的花费为=+RT/2+RK=+n/2+RK；每天的平均费用为=/T=/T+nT/2+nK;即为优化目标函数4、模型求解：求使得最小，根据韦达定理可知= R== +nK5、结果分析：（变大）则T，R （变大）（变大）则T，R （变小）n（变大）则T（变大）、R（变小）上述分析均符合常识。

（2）、允许缺货：1、问题分析：允许短时间缺货，虽然会造成一定的损失，但是如果损失小于不允许缺货情况下进货费用和存储费用之和，则允许一段时间内缺货。

2、模型假设：①、每日需求量均相等为常数n，进货周期为T，每次进货数量为R每件货物进货价格为K；②、每次进货费用（费货物本身费用）为，每天每件商品存储费用为；③、缺货状态下，每天每件商品缺货损失为，缺货数量可以在下次进货时不足。

(不)允许缺货的存储模型

A
t 0 T 考察一个订货周期T 考察一个订货周期T 的总费用 C’ :
2T
T
t
其值恰为图中阴影部分面积A 阴影部分面积A A=QT/2
C’=订货费用C1 + 订货费用C1
C 存储费? 存储费? 2 ∫0 q (t ) dt
1 1 1 C′ = C1 + C2 Q T = C1 + C2 rT T = C2 r T 2 + C1 ... … …(2) 2 2 2
T ′ → T , Q′ → Q
合理吗? 合理吗?
2010-9-22
新余高等专科学校数学建模教练组
14
Mathematical Model
&
Mathematical Modeling
The End! Thank You!
新余高等专科学校数学建模教练组
15
C 3 ∫T | q (t ) | dt
1
A
t
B
考察一个订货周期T 考察一个订货周期T 的总费用 C’ :
C’=订货费用C1 + 订货费用C1
C 存储费? 存储费? 2 ∫0 q (t ) dt
T
+ 缺货费
T
1 1 C ′ = C1 + C 2 Q T1 + C3 r (T T1 ) 2 2 2
符合常识! 符合常识!
新余高等专科学校数学建模教练组
9
Mathematical Model
&
Mathematical Modeling
二. 允许缺货的存储模型
简化假设
考查一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题. 考查一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题.设某市场对某种商品的需求量是确定和已知的,但是允许缺货某市场对某种商品的需求量是确定和已知的,但是允许缺货.缺货时因失允许缺货. 去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用, 去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用,称缺货费.于是对”不允许缺货的存储模型”中的第3条假设做修改为: 缺货费.于是对”不允许缺货的存储模型”中的第3条假设做修改为:

存贮问题建模

数学建模
模型结果分析
❖如果缺货损失非常大，以至于可以忽略存储费c2 ，则一般不允许缺货。
❖从数学角度，即令 c3 ，则
T*
2c1 c2r
c2 c3 c3
T0*
2c1 c2r
Q*
2c1r c2
c3 c2 c3
Q0*
2c1r c2
❖ 不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例
数学建模
模型结果分析
数学建模
问题分析与模型假设
问题分析 ❖ 最佳以进企货业周的期总取支决出于最企小业为的目利标润来或决损定失进的货大周小期。 ❖ 只有产品的存储与缺货信息，没有明确的销售信息。模型假设 ❖ 1）进货周期为T，最大存储量为Q，产品销售速度
为r，每周期进货费为c1，单位时间单位产品存储费为c2、缺货损失费为c3； ❖ 2）销售至T1 (<T)时库存不足，出现缺货，但所缺货物将在下周期订货时补足； ❖ 3）时刻t（0<t<T）时货物存储量为q(t)。
模型求解
❖根据二元函数极值必要条件，令 C 0, C 0
T
Q
❖解得最优解 T * 2c1 c2 c3 , Q* 2c1r c3
c2r c3
c2 c2 c3
❖于是每周期的最优订货量 R* rT * 2rc1 c2 c3
c2 c3
❖ 易见，T与进货费c1成正比，与存储费c2、缺货损失费c3及销售速度r成反比，这些均与一般常识吻合。
q
存
Q0
储
r
量
A
匀
O
T0
t
图1.9 不允许缺货时的货物存储量 q(t)
速减少
数学建模
模型建立与求解

允许缺货模型（经济订货批量）不允许缺货的存储模型

允许缺货模型 (经济订货批量)不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型如：某工厂平均每天需要某种原料20吨，已知每吨原料每天的保管费用为0.75元，每次的订货费用为75元，如果工厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充，请为该工厂做出最佳决策：即多长时间订一次货，每次订多少货才能使每天所花费的总费用最少。

一、模型假设（1）进货费用：包括订货费用C1元（固定费用）与货物成本费用C元/吨，与订货数量有关（是可变费用）。

（2）单位时间内的存储费用：C2元/吨。

总费用T=T1+T2，其中T1为进货费用，T2为存储费用。

二、建立模型设每隔t天订一次货，每次订货数量为x，每次订货费用为C1，单位时间内每单位货物存储费用为C2，每天内对货物的需求量为R.在上述条件下有x Rt，每次的进货费用为：C1 C x C1 C RtC1t则平均每天的进货费用为：T1 每天的平均库存量为则每天的总费用为T(t) 三、模型求解C1tx2R Cx212，平均库存费为T2 C2C2RtR CC2Rt2制定最优存储方案，就归结为确定订货周期t，使T(t)达到最小值。

因为dT(t)dtC1t2123C2R，令dT(t)dt=0，得驻点t2C1RC2，而T’’ 2C1RC2C2R2C13x Rt，所以，每批最佳订货量为上式即为经济学中著名的经济订货批量公式，它表明订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；存储费用越高，则每次订货批量应越小。

四、模型应用代入数值t02 750.(经济订货批量)不允许缺货的存储模型75 203.1623（天）x0 63.246（吨）百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。

数学建模存贮论部分

货单位发货期间，每天发货量为10件。试求：
（1）最佳订货批量及最大缺货量；
（2）年最小费用。
解：本题属于“允许缺货、补充需要一段时间”的存贮模型
由题设可知：
R76件天， P10件天， C1133.7050元件天
2021/6/16
C23205元 0 件天， C35元 0
23
271050(13.7525)
1( t
t1
(
0
P
R
)u
du
t
R(
t1
t
u
)
du
)
1 t
(
1 2
Pt12
1 2
Rt2 Rt t1 )
t1Rt P
1
Rt
R2
t
2
2P
其中t1 t1
2021/6/16
3
于是单位时间内总的平均费用为
C(t)C31C1(RR2)t
t2
P
求t的取值，使 C (t) 达到最小。
模型求解
ddC (tt)C t231 2C1(RR P2)
Ru J(u)(PR)(t2u)
, ,
0ut1 t1ut2
0
, t2ut
于是 [ 0 , t ]时间内的平均缺货量为
1 t 0 tJ ( u )d 1 u t 0 t1 R u d u t t 1 2 (P R )t2 ( u )d 0 u
2021/6/16
19
1 t[1 2Rt1 21 2(PR)(t2t1)2]
货物的价值（成本）。
该模型的存贮状态图为
Q
A
2021/6/16
0 B
t1 t
T

建立不允许缺货的生产销售存贮模型(最新整理)

2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数为常数k,x 销售速率为常数r，k>r。

在每个生产周期T内，开始的一段时间（0<t<T0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0<t<T)只销售部生产，画出贮存量q(t)的图形。

设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。

讨论k》r和k≈r的情况。

解：一．模型假设：为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。

根据问题性质作如下假设：（1）产品每天的需求量为常数r，生产率为k。

（2）每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

二．模型建立将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0生产0件，贮存量q(0)=0.在T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。

T0时刻以后，q(t)以需求率r减小，直到q(t)=0。

如图：（1）不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a.b.c.d.u.w.θ.之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算θ=0，θ=30时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算α=30时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图(考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？解：一．模型假设：将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h二．模型建立：模型一：（1）不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，雨速也是均匀下落，由人体为长方体可知，该人淋到雨的表面积s=2ab+2ac+bc，跑步距离为d=1000m，则该人在雨中的淋雨时间为t=d/vm，且降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s所以，总淋雨量为Q=s*t*w模型二：（2）当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间即t1=d/v，可知淋雨量总量为Q1=s1*t1*w*cosθ。

数学建模-微积分模型

实际应用这个模型时，都是已知常数，由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是的函数，记作，经济学中称之为效用函数。的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动，的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数，即无差别曲线族已经完全确定了。
经济学中称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：
条件A：
所确定的一元函数是单调递减的，且曲线是呈下凸的。
（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3。缺货时存贮量q看作负值，的图形如图4.2，货物在时送完。
一个供货周期内的总费用包括：订货费，存贮费，缺货费，借助图4.2可以得到
一个周期总费用为
每天的平均费用
（4.4）
利用微分法，令
可以求出最优的值为
（4.5）
记
通过与不允许缺货的模型相比较得到
在这个模型的基础上可以讨论当某种商品的价格改变，或者消费者购买商品的总资金改变时均衡状态的改变情况。

数学建模作业

习题一在节存储模型中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。

证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来一样。

一、不允许缺货的存储模型问题分析若生产周期短、产量少，会使存储费用小，准备费用大，货物价格不变；而周期长、产量多，会使存储费大，准备费小，货物价格不变。

所以必然存在一个最佳周期，使总费用最小。

显然，应建立一个优化模型。

模型假设为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q为连续量。

根据问题性质作如下假设：（1）产品每天的需求量为常数r。

（2）每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3.（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当存储量降为零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

模型建立将存储量表示为时间t的函数q（t），t=0生产Q件，存储量q(0)=Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0，如图，显然有：Q=rT图（1）不允许缺货模型的存储量q（t）一个周期内的存储费是c2∫q(t)dt,其中积分恰好等于图中三角形面积QT/2，因为一个周期的准备费是c1，购买每件货物的费用为c3，得到一个周期的总费用为：C=c1+c2QT/2+r Tc3=c1+c2 r T2/2+ r T c3则每天的平均费用是C(T)=c1/T+r c3+c2 r T/2上式为这个优化模型的目标函数。

模型求解求T使上式的C最小。

容易得到T=√2c1/（c2r）则Q=√2c1r/c2二、允许缺货的存储模型(1) 模型假设产品每天的需求量为常数r。

(2) 每次生产费用为c1，每天每件产品存储费为c2，购买每件货物所需费用为c3.(3) 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件损失费为c4,但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足。

，模型建立因存储量不足造成缺货时，可以认为存储量函数q(t)为负值，如图所示，周期仍记为T,Q是每周期初的存储量，当t=T1时q(t)=0,于是有 Q=r T1图（2）允许缺货模型的存储量q(t)在T1到T这段时间内需求率r不变，q(t)按原斜率继续下降。

仓储问题(不允许缺货)

仓储问题（不允许缺货）
一、问题提出
通常工厂要订购各种原材料存在仓库里供生产用、商店要成批地购进各种商品供零售用；
那么每隔多长时间订货一次、每次订货量为多少最合算？
二、模型假设
1．每隔T 天订货一次，即订货周期为T 天.
2．每次订货量为Q吨 .
3．每次订货费用为C1元（不包括买货费用，与Q无关）.
4．每天对货物的需求量为r吨 .
5．货物每吨每天的库存费用为C2元.
6．t------时间，q--------库存量，C------总费用.
三、建模与求解
每当库存量降至0时就立即补足，此时不存在缺货费。

当0≤t ≤T 时，平均库存量为Q /2,从而库存费为C 2TQ /2 ∴总费用C = C 1+ C 2TQ /2
日均费用，
∵t=T 时 q=0
∴Q =rT 即T =Q /r
∴ 2
21Q C Q r C C += (Q>0) 令02221
=+-='C Q
r C C ，解出驻点 21*2C r C Q =，0231>="Q r C C ，驻点*Q 就是最小值点，从而2
1*
*2rC C r Q T == ∴*Q 为最佳订货周期，*T 为最佳订货量。

称为EOQ （Economic Ordering Quantity ）公式。

数学建模——存储模型

存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。

在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。

模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。

本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。

这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。

其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。

根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。

此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。

现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

数学建模例题及报告-库存问题

2011年济南大学大学生数学建模选拔赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： B甲0215所属学校（请填写完整的全名）：济南大学参赛队员(打印并签名) ：1.宋彪2. 戴砚超3. 尚姗姗指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011年 6 月11日库存问题数学模型摘要：本文主要针对某商店在鱼竿经营过程中，各方面因素对利润和成本的影响进行了综合分析。

在鱼杆销售过程中，商店的利润由多方面原因组成：市场需求量的变化，订货费用，进货成本，库存费用以及厂家给的优惠条件等等。

通过建立合理的模型，对库存问题建立合理的订货方案。

对于问题一，给定一组一年中各个月鱼杆的需求量值，由于在哪个月份订货，一年的订货次数，每次的订货量、库存都是不确定的，而且不同月份一个批量的订货费不同，每支鱼杆每月还需一定的贮存费，所以需要设出所有变量，通过建立数学函数表达式得到数学模型，最后在LINGO中实现，找到合理的订货方案。

对于问题二，在问题一的基础上，对其进行优化，由题意可得，增加了一个约束条件即如果鱼杆的订货数量超过250支，厂家将给予优惠，每支鱼杆的购置费降至120元，这是就需要通过设置0、1变量，根据订货数量的多少来确定每支鱼杆的购置费用，然后利用LINGO对目标函数进行优化，求出订货方案。

最后将此订货方案与问题一中的订货方案进行比较，若在此约束条件下，成本降低了，则说明可以采取此订货方案，反之，则不采用此方案。

确定型库存模型

物流运筹学
物流运筹学
确定型库存模型
1.1不允许缺货的订货批量模型
数量
Q
O
t
T
时间

1.2允许缺货的生产批量模型
1.3允许缺货的订货批量模型
1.4 不允许缺货的生产批量模型
订货批量模型假设存储的补货是瞬时到货，这种假设不符合企业生产过程的实际，显然是一种理想状态。一般来说，在进行某种产品生产时，成品是逐渐生产出来的。也就是说，当生产率大于需求率时，存储是逐渐增加的，不是一瞬间补上去的。要使存储不致无限增加，当存储达到一定量时，应该停止生产一段时间。由于生产系统调整准备时间的存在，在补充成品存储的生产中，也有一个一次生产多少的最经济的问题，这就是经济生产批量问题。经济生产批量(Economic Production Lot，EPL)模型又称经济生产量(EconomicProduction Quantity，EPO)模型。

关于允许不允许缺货问题 数学建模

数学建模章绍辉第七章作业答案

数学建模存贮论部分

关于允许不允许缺货问题 数学建模

数学建模——存储模型

不允许缺货的生产销售贮存模型

数学建模课后习题答案

数学建模 存贮模型

数学建模习题

(不)允许缺货的存储模型

存贮问题建模

允许缺货模型（经济订货批量）不允许缺货的存储模型

数学建模存贮论部分

建立不允许缺货的生产销售存贮模型(最新整理)

数学建模-微积分模型

数学建模作业

仓储问题(不允许缺货)

数学建模——存储模型

数学建模例题及报告-库存问题

确定型库存模型

关于允许不允许缺货问题数学建模

关于允许不允许缺货问题数学建模

数学建模存贮模型