高中数学竞赛知识点

不等式块

1．排序不等式（又称排序原理）

设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ

则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和）

jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和）

1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和） 其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列n j j j ,,,21Λ）成立.

2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：

设有n 个正数n a a a ,,,21Λ的算术平均数和几何平均数分别是

此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到 n n a a a n

H 11121+++=Λ，

和平方平均（在统计学及误差分析中用到） n

a a a Q n n 22221+++=Λ这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.

柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则

等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i Λ=时成立.

4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤Λ21，n b b b ≤≤≤Λ21，

则.21212211n

b b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ΛΛΛ 例题讲解

1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++

2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a c b a abc c b a ++≥

3．：.222,,,3

33222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+

求证 4．设*21,,,N a a a n ∈Λ，且各不相同， 求证：.3213121

1223221n

a a a a n n ++++≤++++ΛΛ. 5．利用基本不等式证明.222ca bc a

b

c b a ++≥++

6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥

+b a 7．利用排序不等式证明n n A G ≤

8．证明：对于任意正整数R ，有.)111()11(1+++<+

n n n n 9．n 为正整数，证明：.)1(131211]1)1[(111

----<++++<-+n n n n n n

n n Λ 例题答案：

1.证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++Θ

评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将2

2b a + )(ca bc ab ++-配方为])()()[(2

1222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.

2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.

不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且c b b a ,， c

a 都大于等于1. 评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.

（2）本

题可作如下推广：若≥=>n a n a a i a a a n i a ΛΛ2121),,,2,1(0则.)

(2121n a a a n n a a a +++ΛΛ （3）本题还可用其他方法得证。因a b b a b a b a ≥，同理c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,，

另c b a c b a c b a c b a ≥，4式相乘即得证.

（4）设.lg lg lg ,0c b a c b a ≥≥≥≥≥则例3等价于,lg lg lg lg a b b a b b a a +≥+类似例4可证.lg lg lg lg lg lg lg lg lg a c b b c a a c c b b a c c b b a a ++≥++≥++事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：

设有两个有序数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ΛΛ2121,，则n n b a b a b a +++Λ2211（顺序和）

n j n j j b a b a b a +++≥Λ2121（乱序和）

1111b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和）

其中n j j j n ,,2,1,,,21ΛΛ是的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号成立.

排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如

c

c b b a a a c c b b a c b a a c c b b a a c c b b a 111111;2222222222

22⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅⇔++≥++⋅+⋅+⋅≥.

3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 不妨设a b c c b a c b a 111,,2

22≥≥≥≥≥≥则，则b

c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和），同理b

c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）c

c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组ab ac bc c b a 111333≥≥≥≥及，仿上可证第二个不等式. 4.分析：不等式右边各项221i

a i a i i ⋅=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 设n n a a a

b b b ,,,,,,2121ΛΛ是的重新排列，满足n b b b <<<Λ21， 又.1312112

22n >>>>Λ