三大守恒定律

推导（以只有两个质点的 质点系为例）：由质点的 角动量定理：
质点系
m2 m1 M 外dt dL dt M dt dL M F 1 1 F 12 dt M dt dL M 2 F2 F 21 M F1dt M F 2dt M F12dt M F 21dt dL1 dL2 dt dL dL d L L dL MF M F1dt 1 2 1 2 2 dt M dt dL MF 1 F2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
F1
F21 F12
F2
八 . 质点系的角动量定理
推导： M dt M dt dL F1 F2 M ) dt dL (M F 1 F2
质点系
M 外dt dL（微分形式） F1 m1 t L dL t M 外 dt L t t M 外dt L2 L1 L （积分形式）
说明：旋转的正方向 z 轴的正向成右螺旋。 4-2应与 4-3
O d
r
F平行
F垂直
F
六. 应用直角坐标系中的投影式时应注意的两个 问题（以力矩为例） z
1. 定理：力矩 M 在
z 轴上的投影
M
Mz
M z F垂直 d
O d
r
F平行
F垂直
F
2. 实际应用中经常不规定轴线的方向，这时可自 行规定一旋转的正方向（逆时针或顺时针）。这 时的力矩在轴线上的投影通常被称为“对轴的力 矩”，这时的角动量定理的直角坐标系中的投影 式通常被称为“对轴的角动量定理”。
定律：当合外力矩为零时，质点系的角动量 守恒。
说明：有时合外力矩不为零，但在某一方向上 的投影（对轴的矩）为零，则质点系的角动量 在该方向上的投影（对轴的总角动量）守恒 （证明略）。
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
例1：证明开普勒第二定律：行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积。
推导（以只有两个质点的质 点系为例）：由质点的动量 定理： 质点系
F外dt dp F1 m2 m1 F1dt F12 dt dp1 F2 dt F21dt dp2 F1dt F2 dt F12 dt F21dt dp1 dp2
1 2 1
3-1 质点和质点系的动量定理
p t dI p dp I p2 p1 p（积分形式）
3-1 质点和质点系的动量定理
一. 冲量
元冲量： dI Fdt
总冲量：
2 1
t I t Fdt
2
说明：当力为大小、方向都不变的恒力时，
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
七. 内力的力矩和冲量矩
质点系 定理：一对内力的力矩之 和和冲量矩之和均为零 （证明略）！
F1
F21 F12
m1
F2
m2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
八 . 质点系的角动量定理
t2 M dt L x t1 x t2 t M y dt Ly 1 t2 M dt L z t1 z
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
五. 合力的力矩和冲量矩
定理：合力的力矩等于各分力的力矩的和，合 力的冲量矩等于各分力的冲量矩的和，当所有 的力都作用在同一质点上时（证明略）！
一. 动量守恒定律
定律：当合外力为零时，质点系的动量守恒。 说明：有时合外力不为零，但在某一方向上的 投影为零，则质点系的动量在该方向上的投影 守恒（证明略）。
3-2 动量守恒定律
3-3 系统内质量移动问题
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3-3 系统内质量移动问题
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一）
4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
d (r p ) 推导： r F dt 定义 1 ：力矩： M r F
定义 2 ：动量矩（角动量）： L r p dL 则得角动量定理：M （导数形式） dt Mdt dL （微分形式） t L t Mdt L dL L2 L1 L（积分形式） t 定义 3 ：元冲量矩和总冲量矩： Mdt t Mdt
2. 积分形式在直角坐标系中的投影式（证明略）：
I x px I y p y I z pz
I t2 F dt x t1 x t2 其中： I y Fy dt t1 t2 I F dt z t1 z
3-1 质点和质点系的动量定理
1
t2
但积分形式只能算出该段时间内的平均力，却算不出 各个时刻的瞬时力！！ t p t Ndt N (t2 t1 ) N t p N t
2 1
3-1 质点和质点系的动量定理
3-2 动量守恒定律 推导：由质点系的动量定理： F外 dt dp 当外力为零时， F外 0 dp 0 p C
第三章 三大守恒定律
dv d (mv ) 推导： F ma m dt dt Fdt d (mv ) 定义 1 ：冲量（元冲量）： dI Fdt 定义 2 ：动量： p mv 则有动量定理： dI dp （微分形式）
t2
O
x
3-1 质点和质点系的动量定理
思考：在中学做本题时常选 t 时 间（或单位时间）内打到墙面上的 水为研究对象，试问这种做法在什 么情况下将不可用？
v
答：当水速为变量时（显然此时冲 击力为变力）。因为中学做法所选 过程为有限过程，必须用动量定理 的积分形式：
O
x
I 外 t Ndt p
m2
对比：质点的 角动量定理：
t Mdt L
t2
1
（积分形式）
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
九. 角动量守恒定律
推导：由质点系的角动量定理：M dt dL 外 当外力矩为零时， M 0 外 LC dL 0
2 2 1 1
3-1 质点和质点系的动量定理
六. 质点系的动量定理：
dI 外 dp I 外 p
质点系
（微分形式）
（积分形式）
F1
F21 F12
m1
F2
m2
对比：质点的动量定理：I p （积分形式）
3-1 质点和质点系的动量定理
例 1：水枪喷出的水柱垂直打在竖直墙面上，并顺 墙面流下，设水柱截面积为 S ,水速为 v ,水的密度 为 。求水柱作用于墙面的冲击力。
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
六. 应用直角坐标系中的投影式时应注意的两个 问题（以力矩为例）
1. 定理：力矩 M 在
z 轴上的投影 （证 明略）
M
z Mz
M z F垂直 d
d ： F垂直 与 z 轴的距离，即“力臂” F垂直 ：F垂直 的真实大小（算术量） ： F垂直 与旋转的正方向相同时取正，反之取负。
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
例 1：证明开普勒第二定律：行星对太阳的位矢在 相等的时间内扫过相等的面积。
证明：有心力：力的作用线始终 通过空间某一点，该点称为有心 力的力心。 重要结论：有心力对力心的力矩为零！
F21 F12
F2
F1dt F2 dt dp1 dp2 d p1 p2 dp
3-1 质点和质点系的动量定理
六. 质点系的动量定理：
推导： F1dt F2 dt dp 质点系 ( F1 F2 )dt dp F2 F21 F外dt dp F12 F1 m2 m1 dI 外 dp （微分形式） t p t dI 外 p dp I 外 p2 p1 p（积分形式）
d ( r v ) dv 推导： r dt dt
dv F ma m dt dv dv d ( r v ) r F r m mr m dt dt dt d ( r mv ) d ( r p ) dt dt
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
四. 质点的角动量定理
dL 1. 定理： M （导数形式） dt Mdt dL （微分形式） t t Mdt L （积分形式）
2 1
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2. 积分形式在直角坐标系中的投影式（证明略） ：
d ( r v ) d r d v 推导： v r dt dt dt dv dv dv 0r v v r r dt dt dt
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
解：取 dt 时间内打到墙面上的水 dm 为研究对象。 用动量定理的微分形式：
dI 外 dp
Ndt 0 ( dm) v ( dm) v ( dV )v ( Sdx)v ( Svdt )v v Sdt
2
v
N v 2 S N v 2 S
2 2 1 1
2
1
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
一. 力矩
M r F
二. 动量矩（角动量）
Lrp
三. 冲量矩
元冲量矩： Mdt (r F )dt r （Fdt )
总冲量矩：

t2
t1
Mdt
px mvx p y mv y pz mvz
四.合力的冲量
定理：合力的冲量等于各分力的冲量的和 （证明略）！
五.内力的冲量
定理：一对内力的冲 量的和为零（证明 略）！
质点系
F1
F21 F12
m1
F2
m2
3-1 质点和质点系的动量定理
六. 质点系的动量定理：
2 2 1 1
F21 F12
F2
m2
2
1
4-2 力矩 转动定律 转动惯量（一） 4-3 角动量 角动量守恒定律（一）
八 . 质点系的角动量定理
质点系
M 外dt dL （微分形式）
t M 外dt L （积分形式）
t2
1
F1
F21 F12
m1
F2
2 1 1
t t I t Fdt F t dt F t2 t1 F t
这表明中学学过的冲量的定义其实是一特例，只 适用于大小、方向都不变的恒力！！！
二. 动量
p mv
3-1 质点和质点系的动量定理
三. 质点的动量定理
1. 定理： dI dp（微分形式） I p （积分形式）