第一章_信号及其表述

图1－3 （a）
解：
在一个周期内可表示成
0 t T0 / 2 A x (t ) A T0 / 2 t 0
因 x(t )是奇函数，而函数在对称区间积分值为0， 所以
a0 0
an 0
2 bn = T0 2 = T0

T0 /2
-T0 /2 0
x(t)sinanω0 t dt

C0 a0
C n
1 an jbn 2
若令
Cn
1 an jbn 2
则上式可写成
x(t ) C0 Cn e jn0t Cn e jn0t
n 1



傅里叶级数的复指数函数表达形式：
n0t
例1.1 求周期方波（见图1-3）的频谱，并作出频谱图
若 x(t )是实偶函数，则 Im X ( f ) 0 ，( f ) Re X ( f )为实 X 偶函数； 若x(t )为实奇函数，则 Re X ( f ) 0 ， X ( f ) j Im X ( f ) 为虚奇函数。
2）线性叠加性
3）对称性
4）时移特性
5）频移特性——信号调制的数学基础
第1章 信号及其表述
本章学习要求： 1 信号的分类 2 信号的描述 3 几种典型信号的频谱
1.1 信号的分类
为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究 是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 从信号描述上分
--确定性信号与非确定性信号； 2 从信号的幅值和能量上
--能量信号与功率信号；
3 从连续性 --连续时间信号与离散时间信号；
1.1.1 确定性信号和非确定性信号
确定性信号的典型例子，单自由度无阻尼质量－弹簧振动 系统，如图1-1所示。其位移信号 x(t ) 可以写为
k
X(t)
图1-1.单自由度振动系统
k x(t ) A cos( t 0 ) m
1.1.2 能量信号和功率信号
工程测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t ) A0 An sin n0t n
n 1 n 1

傅立叶级数的三角函数表达式表明： —周期信号可以用一个常值分量a0和无限多个
谐波分量之和表示；
W(f )


T
T sinc(πfT )
3 T
w(t)
1
2 T
1 T (f )
0
1 T
2 T
3 T
f

1 2 3 T T T
-T/2
0
T/2
t
3 2 10 T T T
（2）常值函数(又称直流量) 的频谱
由于
δ(t t0 ) e j 2 ft0
则幅值为1的常值函数的频谱为 f = 0处的δ函数。
X ( f ) x(t )e


j 2ft
dt

x(t ) cos 2ftdt j x(t ) sin 2ftdt Re X ( f ) j Im X ( f )
由于其实部为变量 f 的偶函数，虚部为变量 f 的 奇函数
Re X ( f ) Re X ( f ) Im X ( f ) Im X ( f )

cosn0t j sin n0t

j jn0t sin n0t e e jn0t 2
傅立叶变换式可改写为


1 1 jn0t x(t ) a0 an jbn e an jbn e jn0t 2 n 1 2
1.2.1 周期信号的表述
谐波信号是最简单的信号，只有一种频率成分。
一般周期信号可以利用傅立叶级数展开成多个乃至
无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。 1）三角函数展开式 Dirichlet条件（在一个周期内满足） 函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断点； 函数的极值点有限；
函数是绝对可积的；
功率谱密度函数等。
（1）均值、均方值、均方根值和方差 各态历经随机信号 x(t ) 的平均值 x 反映信号的静 态分量，即常值分量，表示为
x
1 lim T T

T
0
x(t ) dt
（1.30）
均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平方 根值称为有效值(RMS)，是信号平均能量的一种表 达。
相频谱
幅频谱
1.2.2 非周期信号的表述
1．傅立叶变换
非周期信号可以看成是周期趋于无穷大的周期 信号。当周期延拓时，区间从( T0 / 2, T0 / 2 ）趋于 （ , ），频谱的频率间隔 0 2 /T0 d ，
离散的 n0变成连续的 ，展开式的叠加关系变成积
x(t ) A0
A
n 1

n
sin(n 0 t n )
常值分量
A0 a0
2 2 An a n bn
各谐波分 量的幅值
an n arct an b n
各谐波分量 的初始角

2）复指数展开式
由欧拉公式：
e
jn0t
1 jn0t cos n0t e e jn0t 2
其傅立叶变换为:

X(f )
对x(t ) 与y(t ) 的时域卷积取傅里叶变换，则有
F[ x(t ) y(t )] X ( f )Y ( f )
该性质表明：时域乘积对应频域卷积，时域卷积 对应频域卷积。
1.2.3 随机信号的表述
1. 随机过程的概念及分类
随机过程可分为平稳和非平稳过程两类。平稳 随机过程又分为各态历经（又称遍历性）和非各态
历经两类 .
若随机过程的统计特征参数不随时间变化，则 称为平稳随机过程。如果平稳随机过程的任何一个 样本函数的时间平均统计特征均相同，且等于总体
统计特征，则该过程叫各态历经过程。
2. 随机过程的主要统计参数
通常用于描述各态历经随机信号的主要统计参数 有：均值、方差、均方值、概率密度函数、相关函数、
其频谱为:

t T /2 t T /2
j 2ft
WR ( f ) R (t )e

dt

T /2
T / 2
e j 2ft dt
1 e jfT e jfT j 2f


利用欧拉公式，带入上式后:
sin(fT ) WR ( f ) T T sin c(fT ) fT
X ( f ) 一般是频率的复变函数，可以用实、虚频谱形式
和幅、相频谱形式写为：
X ( f ) Re X ( f ) j Im X ( f ) X ( f ) e j ( f ) （1.21）
两种形式之间的关系为：
X( f )
Re X ( f )2 Im X ( f )2
1.1.3 连续信号和离散信号
模拟信号（信号的幅值与独立变量均连续）
连续信号 一般连续信号（独立变量连续）
信号 一般离散信号（独立变量离散） 离散信号
数字信号(信号的幅值与独立变量均离散)
连续信号
x(t)
离散信号
x(t)
0
t
0
1 2 3 4 5 6 7 b)
t
a)
连续信号和离散信号
1.2 信号的表述
4A = nπ 0
因此
1 1 x(t ) (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ) 3 5 4A
根据上式，幅频谱和相频谱分别如图 1.3b 和 c 所示。幅频谱值包含基波和奇次谱波的频率分量，且 谐波幅值以 1/ n 的规律收敛，相频谱中各次谐波的初 相位 n 均为零。
ò
¥
-
f (t )d(t ? t0 )dt
f (t0 )
3. δ 函数的频谱
( f ) (t )e j 2 ft dt e j 2 f 0 1 （1.49）


其逆变换为：
(t ) 1 e j 2ft df


(t) 1
(f ) 1
0
t
0
2 -T0 /2 (-A)sinnω0 t dt+ T0

T0 /2
0
Asinnω0 t dt
-cosnω0 t T0 /2 2A cosnω0 t 0 = + 0 T0 nω0 -T0 /2 nω0 2A = 1-cos(-nω0T0 /2)-cos(nω0T0 /2)+1 nω0 T0 = 4A [1-cos(nω0 T0 /2)] nω0 T0 n=1, 3, 5, L n=2, 4, 6, L
WR ( f ) T sin c(fT )
0 ( f ) arctan sin c(fT )
森克函数以 2 为周期，并随
x 增加而衰减的振荡。
sin c( x) sin(x) / x
2．傅立叶变换的主要
1) 奇偶虚实性
函数 x(t )的傅立叶变换 X ( f )为实变量 f 的复变函数， 即:
（1.22） (1.23)
Im X ( f ) ( f ) arct an Re X ( f )
例1.3 求矩形窗函数R (t ) 的频谱，并作频谱图。
ωR (t)
1
WR(f) T -1/T 1/T 2/T f
-T/2
O
T/2
t
-2/T
解：矩形窗函数 R (t )的定义为
1 R (t ) 0
f
1.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱 （1）矩形窗(rectangle window)函数的频谱
W ( f ) w(t )e
j2 πft
1 jπfT sin πfT e e jπfT T j2πf πfT
dt
T 2
T 2
e j2 πft dt
(1.16)
d x(t )e j t dt e j t 2 1 x(t )e j t dte j t d 2
在数学上，此式称为傅立叶积分。
严格地说，非周期信号 x(t )傅立叶积分存在的条件是： 1）x(t ) 在有限区间上满足狄里赫利条件； 2）积分 x(t ) dt 收敛，即 x(t )绝对可积。
6）积分、微分特性
7）时间尺度特性（比例特性）
8）卷积特性
时域 卷积 特性 频域 卷积 特性
卷积定义：
卷积计算适用交换率，结合率，分配律：
x(t ) y(t ) y(t ) x(t ) x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )] [ x1 (t ) x2 (t )] x3 (t ) x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )] x1 (t ) x2 (t ) x1 (t ) x3 (t )
方差表达了信号的波动情况：
（2）概率密度函数 概率密度函数表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。
x(t) x+x x
0
t1 t2 t3 t4
x
t T
0
p(x)
1.3 几种典型信号的频谱
1． δ 函数的定义 δ函数: 是一个理想函数，是物理不可实现信号。
2．δ 函数的性质
ò
¥
-
f (t )d(t )dt = f (0)
j 2 π f 0t
e
δ( f f 0 )
当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就 成为常值函数，其对应的频域为δ函数。
1.3.3 指数函数的频谱
1. 双边指数衰减函数的频谱
双边指数衰减函数表达式为
e t x(t ) t e
0, t 0 0,t 0

以上傅立叶变换的4个重要公式可用符号简记为：
x(t ) F X ( ) X ( ) F x(t )
wenku.baidu.com1
x(t ) F X ( f ) X ( f ) F x(t )
1
数学表达式和时、频域图中常用“ 立叶变换的对应关系：
”表示傅
x(t ) X ( ) x(t ) X ( f )
分关系，则（1.11）可以写成下列形式：
T0
lim x(t ) lim
T0
n
C e
n

j n 0 t
1 lim T0 T 0

T0 / 2 x(t )e j n 0 t dte j n 0 t T0 / 2 n