第一章_信号及其表述
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测试技术试题 信号及其描述
第一章 信号及其描述一、知识要点及要求(1)了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；(2)掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； (3)掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质；(4)掌握随机信号的特点，了解随机信号的时域统计描述（与周期信号的强度描述相对照），概率密度函数描述，相关函数和功率谱。
二、重点内容及难点(一)信号的分类(二)信号的时域—频域描述信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。
(三)周期信号与离散频谱 周期信号频谱的三个特点：(1)离散性：即周期信号的频谱是离散的。
(2)谐波性：即每条谱线只出现在基频的整数倍上。
(3)收敛性：即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。
(四)非周期信号与连续频谱 非周期信号：(1)准周期信号：但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。
如)2s i n ()s i n ()(00t t t x ωω+=，频谱是离散的。
(2)瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。
频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。
(五)随机信号的描述1、随机信号（又称随机过程），不能用确定的数学关系式来描述，只能用概率统计的方法来描述。
平稳随机过程，其统计特征参数不随时间而变化，是一个常值；否则，非平稳随机过程。
各态历经的随机过程，即在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征；否则，非各态历经的随机过程。
各态历经的随机过程必然是平稳随机过程，而平稳随机过程不一定是各态历经的随机过程。
工程上所遇到的很多随机信号都具有各态历经性，即可以用时间平均来代替集合平均。
2、时域统计特征参数(1)均值⎰∞→=TT x dt t x T)(1lim μ，表示信号的常值分量。
工程测试-第一章 信号及其描述2
式中， 周期， 整数， 式中，Ts—周期，n—整数， 周期 整数 n=0,±1, ±2, ±3,…。 ± 。
L
L
为周期函数， 为周期函数，而ƒs=1/Ts， ， 用傅里叶级数的复指数形式表示： 用傅里叶级数的复指数形式表示：
c o m b (t ) =
1 Cn = Ts
n = −∞
∑
∞
C ne
j 2π nfst
图 具有时移t0的矩形脉冲
如果信号在时域中延迟了时 如果信号在时域中延迟了时 其频谱幅值不会改变， 间t0，其频谱幅值不会改变， 而相频谱中各次谐波的相移而相频谱中各次谐波的相移 2πƒ t0，与频率成正比。 频率成正比。
4. 频移性
如果有 x(t) ↔ X ( f ) 则 x(t)e j 2π f0t ↔ X ( f − f0 ) f0 ——常数。
X ( f ) = X ( f ) e jϕ ( f )
将上式中的 X ( f ) (或 X (ω) ，当变量为ω时） 称非周期信号x(t)的幅值谱， φ(f)（或 φ(ω)）称x(t)的相位谱。
周期和非周期信号幅值谱的区别 非周期信号幅值谱|X 与周期信号幅值谱|Cn|之 非周期信号幅值谱 (ƒ)|与周期信号幅值谱 与周期信号幅值谱 之 间的区别： 间的区别： 为连续频谱， 为离散频谱； ①|X (ƒ)|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱； 为连续频谱 为离散频谱 的量纲和信号幅值的量纲一致， ②|Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振 的量纲和信号幅值的量纲一致 振 的量纲相当于|Cn|/ƒ，为单位频宽 幅)，而|X (ƒ)|的量纲相当于 ， 的量纲相当于 ， 上的幅值， 频谱密度函数” 上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振 （ 频率）。 幅/频率）。 频率
《机械工程测试技术基础》期末试题及答案
第一章 信号及其描述（一）填空题1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、 信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为独立变量。
3、 周期信号的频谱具有三个特点： 离散性 ， 谐波性 ， 收敛性 。
4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬变周期 信号。
5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 关于Y 轴 （偶） 对称，虚频谱（相频谱）总是 关于原点（奇） 对称。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（ √ ）2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（ √ ）3、 非周期信号的频谱一定是连续的。
（ × ）4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（ × ）5、 随机信号的频域描述为功率谱。
（ √ ）（三）简答和计算题1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。
2、 求正弦信号)sin()(0ϕω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。
3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。
4、 求被截断的余弦函数⎩⎨⎧≥<=T t T t t t x ||0||cos )(0ω的傅立叶变换。
5、 求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。
第二章 测试装置的基本特性（一）填空题1、 某一阶系统的频率响应函数为121)(+=ωωj j H ，输入信号2sin )(t t x =，则输出信号)(t y 的频率为=ω ，幅值=y ，相位=φ 。
2、 试求传递函数分别为5.05.35.1+s 和2224.141n n ns s ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
1第一章 信号及其描述 工程测试
4A 1 1 x t sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t 3 5 4A 1 sin n 0 t n1 n 2 n 1,3 ,5 式中 0 T0
工程测试技术与信息处理
第1 章
第一节
信号的分类与描述
1.1 信号的分类与描述
信号的分类主要是依据信号波形特征来 划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波 形的概念。
1.1 信号的分类与描述
信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为 信号的波形
1.1 信号的分类与描述
1.1 信号的分类与描述
（1—14a）
（1—14b)
c0 a0
（1—14c）
x(t ) c0 c n e
n 1
jn0t
cn e
n 1
jn0t
x(t )
n
cn e jn0t （n=0，±1，±2…） （1—15）
1 T2 式中 cn T x t e jn t dt T0 2
为了深入的了解信号的物理实质，将其进行分类研 究是十分有必要的，从不同角度观察信号，可分为：
1 从信号描述上分为 --确定性信号和非确定信号
2 从连续性上分为
--连续信号和离散信号 3 从信号的幅值和能量上分为 --能量信号和功率信号
1.1 信号的分类与描述
1.1.1确定性信号与随机信号
可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。 不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号（随机信号）
例1-1
求下图中周期性三角波的傅里叶级数。
解：由图可得x（t）在一个周期中的表达式为：
1周期信号(2)
复杂周期信号
第一章 信号及其描述 b) 非周期信号： 非周期信号：再不会重复出现的信号。 再不会重复出现的信号。
准周期信号
准周期信号: 准周期信号:由多个周期信号合成， 由多个周期信号合成，但各周期信号的频率不成公 倍数， 倍数，其合成信号不是周期信号。 其合成信号不是周期信号。如：x(t) = sin(t)+sin( t) 瞬态信号
瞬态信号
第一章 信号及其描述 b) 功率信号 在所分析的区间（ 在所分析的区间（-∞，∞ ），能量不是有限值 ），能量不是有限值． 能量不是有限值．此 时，研究信号的平均功率更为合适。 研究信号的平均功率更为合适。
lim
T → ∞
1 2T
∫
T
−T
x 2 (t )dt < ∞
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
x( t ) = a
2 n
0
+
2 n
∑
n+ 1
A
n
sin(
an bn
nω
0
t + φ
n
)
An = a + b
tg φ n =
φn = arctg
bn an
ห้องสมุดไป่ตู้
第一章 信号及其描述
分析： 分析： a） x(t) 展成为富氏级数是一个无穷级数，即 n→∞ 。表明
信号中可能包含无穷多个频率成分。 b） c） 由于 n 是整数，所以相邻频率间隔△ω=ω0=2π/T0 。 若以 ω 为横坐标并绘出各频率下的谱线，就得A—ω与φ—ω
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
第一章 信号及其描述
测试技术-第一章 信号及其描述
2014-4-23
《测试技术》讲义
6
2014-4-23
《测试技术》讲义
7
能量信号和功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。显然，电压信号加到电阻R上， 其瞬时功率 P(t ) x 2 (t ) / R 。当R=1 时， P(t ) x 2 (t ) 。瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号 实际的量纲，而把信号的平方及其对时间的积分 分别称为信号的功率和能量。当 x(t ) 满足 2 x (1—4) (t )dt 时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量 有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰 减指数函数等。
2014-4-23 《测试技术》讲义 5
连续信号和离散信号
连续信号：若信号数学表示式中的独立变量取值 是连续的 (图1—3a)。 离散信号：若独立变量取离散值。图1-3b是将 连续信号等时距采样后的结果，就是离散信号。 离散信号可用离散图形表示，或用数字序列表示。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信 号。 若离散信号的幅值也是离散的．则称为数字信号。 数字计算机的输入、输出信号都是数字信号。
，
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数 函数形式后，可分别以 cn 和 n 作幅 频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实 部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别 称为实频谱图和虚频谱图(参阅例1—2)。 比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复 指数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到 +∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0 到+∞)；两种频谱各谐波幅值在量值上有 A c c0 a0 。双边幅频谱 确定的关系， 2 ， 为偶函数，双边相频谱为奇函数。
机械工程测试技术基础段富海-第一章 信号及其描述
x(t)sintsin 2t
2 2
1
x(t) 0
1
1.993 2 0 0
20
40
60
t
60
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第一节 信号的分类与描述
瞬变非周期信号是一些或在一定时间区间内存 在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。
x(t)x0 e tsin 0 t (0)
2.连续信号和离散信号
若信号数学表示式中的独立变量取值是连续 的，则成为连续信号，否则是离散信号。
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第一节 信号的分类与描述
若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟 信号。
若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信 号。
T0
t0
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第二节 周期信号与离散频谱
S4:周期性三角波的傅立叶级数：
x(t)A 24A 2 cos0t312co3 s0t512co5 s0t.
..
第一节 信号的分类与描述
例：集中参量的单自由度系统做无阻尼自由振动
x(t) x0 sin
kt m
0
T0 2/ k m
0
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第一节 信号的分类与描述
复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率 的正弦信号迭加而成。
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测试技术第一章-信号及其描述PPT课件
0T 0
T0
2
A
anT 2 0 T T 00//22x(t)co ns0td t0
0
2 T0
b n T 2 0 T T 0 0 //2 2 x (t)sn in 0 td T t4 00 T 0 /2 A sn in 0 tdt
n 4Asi2nn2 0 n 4A
n1,3,5, n2,4,6,
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
然而，须要指出的是，实际物理过程往往是很复
杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而
是相互参杂的．
.
13
连续时间信号与离散时间信号
连续时间信号：在所讨论的时间间隔内， 对于任意时间值(除若干个第一类间断点外)都 可给出确定的函数值，此类信号称为连续时 间信号或模拟信号。连续信号的幅值可以是 连续的也可以是不连续的。
.
…
t
37
bn4 n Asin n 2 0 4 n A
n1,3,5,
a0an0
n2,4,6,
将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。
x (t) a 2 0 n 1 ( a n cn o0 ts b n sn in 0 t)
x(t)
n2k1
n4Asinn0t
k1,2,3
4A
这种信号称为功率有限信号，简称功率信号
，但它
例如：简谐信号
.
18
信号的时域描述
定义：我们直接观测或记录的信号一般是随时
间变化的物理量，也就是以时间 t 为独立变量，
描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随
时间变化的关系。这种以时间 t 做为独立变量
的信号的描述方法，称为时域法。 描述方法：波形图：时间为横坐标的幅值变化
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相频谱
幅频谱
1.2.2 非周期信号的表述
1．傅立叶变换
非周期信号可以看成是周期趋于无穷大的周期 信号。当周期延拓时，区间从( T0 / 2, T0 / 2 ）趋于 （ , ），频谱的频率间隔 0 2 /T0 d ，
离散的 n0变成连续的 ，展开式的叠加关系变成积
1.1.3 连续信号和离散信号
模拟信号（信号的幅值与独立变量均连续）
连续信号 一般连续信号（独立变量连续）
信号 一般离散信号（独立变量离散） 离散信号
数字信号(信号的幅值与独立变量均离散)
连续信号
x(t)
离散信号
x(t)
0
t
0
1 2 3 4 5 6 7 b)
t
a)
连续信号和离散信号
1.2 信号的表述
分关系，则（1.11）可以写成下列形式：
T0
lim x(t ) lim
T0
n
C e
n
j n 0 t
1 lim T0 T 0
T0 / 2 x(t )e j n 0 t dte j n 0 t T0 / 2 n
WR ( f ) T sin c(fT )
0 ( f ) arctan sin c(fT )
森克函数以 2 为周期，并随
x 增加而衰减的振荡。
sin c( x) sin(x) / x
2．傅立叶变换的主要
1) 奇偶虚实性
函数 x(t )的傅立叶变换 X ( f )为实变量 f 的复变函数， 即:
f
1.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱 （1）矩形窗(rectangle window)函数的频谱
W ( f ) w(t )e
j2 πft
1 jπfT sin πfT e e jπfT T j2πf πfT
dt
T 2
T 2
e j2 πft dt
工程测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t ) A0 An sin n0t n
n 1 n 1
傅立叶级数的三角函数表达式表明： —周期信号可以用一个常值分量a0和无限多个
谐波分量之和表示；
C0 a0
C n
1 an jbn 2
若令
Cn
1 an jbn 2
则上式可写成
x(t ) C0 Cn e jn0t Cn e jn0t
n 1
傅里叶级数的复指数函数表达形式：
n0t
例1.1 求周期方波（见图1-3）的频谱，并作出频谱图
其频谱为:
t T /2 t T /2
j 2ft
WR ( f ) R (t )e
dt
T /2
T / 2
e j 2ft dt
1 e jfT e jfT j 2f
利用欧拉公式，带入上式后:
sin(fT ) WR ( f ) T T sin c(fT ) fT
cosn0t j sin n0t
j jn0t sin n0t e e jn0t 2
傅立叶变换式可改写为
1 1 jn0t x(t ) a0 an jbn e an jbn e jn0t 2 n 1 2
2 -T0 /2 (-A)sinnω0 t dt+ T0
T0 /2
0
Asinnω0 t dt
-cosnω0 t T0 /2 2A cosnω0 t 0 = + 0 T0 nω0 -T0 /2 nω0 2A = 1-cos(-nω0T0 /2)-cos(nω0T0 /2)+1 nω0 T0 = 4A [1-cos(nω0 T0 /2)] nω0 T0 n=1, 3, 5, L n=2, 4, 6, L
第1章 信号及其表述
本章学习要求： 1 信号的分类 2 信号的描述 3 几种典型信号的频谱
1.1 信号的分类
为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究 是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 从信号描述上分
--确定性信号与非确定性信号； 2 从信号的幅值和能量上
--能量信号与功率信号；
X ( f ) x(t )e
j 2ft
dt
x(t ) cos 2ftdt j x(t ) sin 2ftdt Re X ( f ) j Im X ( f )
由于其实部为变量 f 的偶函数，虚部为变量 f 的 奇函数
Re X ( f ) Re X ( f ) Im X ( f ) Im X ( f )
其傅立叶变换为:
X(f )
X ( f ) 一般是频率的复变函数，可以用实、虚频谱形式
和幅、相频谱形式写为：
X ( f ) Re X ( f ) j Im X ( f ) X ( f ) e j ( f ) （1.21）
两种形式之间的关系为：
X( f )
Re X ( f )2 Im X ( f )2
若 x(t )是实偶函数，则 Im X ( f ) 0 ，( f ) Re X ( f )为实 X 偶函数； 若x(t )为实奇函数，则 Re X ( f ) 0 ， X ( f ) j Im X ( f ) 为虚奇函数。
2）线性叠加性
3）对称性
4）时移特性
5）频移特性——信号调制的数学基础
x(t ) A0
A
n 1
n
sin(n 0 t n )
常值分量
A0 a0
2 2 An a n bn
各谐波分 量的幅值
an n arct an b n
各谐波分量 的初始角
2）复指数展开式
由欧拉公式：
e
jn0t
1 jn0t cos n0t e e jn0t 2
j 2 π f 0t
e
δ( f f 0 )
当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就 成为常值函数，其对应的频域为δ函数。
1.3.3 指数函数的频谱
1. 双边指数衰减函数的频谱
双边指数衰减函数表达式为
e t x(t ) t e
0, t 0 0,t 0
对x(t ) 与y(t ) 的时域卷积取傅里叶变换，则有
F[ x(t ) y(t )] X ( f )Y ( f )
该性质表明：时域乘积对应频域卷积，时域卷积 对应频域卷积。
1.2.3 随机信号的表述
1. 随机过程的概念及分类
随机过程可分为平稳和非平稳过程两类。平稳 随机过程又分为各态历经（又称遍历性）和非各态
4A = nπ 0
因此
1 1 x(t ) (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ) 3 5 4A
根据上式，幅频谱和相频谱分别如图 1.3b 和 c 所示。幅频谱值包含基波和奇次谱波的频率分量，且 谐波幅值以 1/ n 的规律收敛，相频谱中各次谐波的初 相位 n 均为零。
W(f )
T
T sinc(πfT )
3 T
w(t)
1
2 T
1 T (f )
0
1 T
2 T
3 T
f
1 2 3 T T T
-T/2
0
T/2
t
3 2 10 T T T
（2）常值函数(又称直流量) 的频谱
由于
δ(t t0 ) e j 2 ft0
则幅值为1的常值函数的频谱为 f = 0处的δ函数。
(1.16)
d x(t )e j t dt e j t 2 1 x(t )e j t dte j t d 2
在数学上，此式称为傅立叶积分。
严格地说，非周期信号 x(t )傅立叶积分存在的条件是： 1）x(t ) 在有限区间上满足狄里赫利条件； 2）积分 x(t ) dt 收敛，即 x(t )绝对可积。
功率谱密度函数等。
（1）均值、均方值、均方根值和方差 各态历经随机信号 x(t ) 的平均值 x 反映信号的静 态分量，即常值分量，表示为
x
1 lim T T
T
0
x(t ) dt
（1.30）
均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平方 根值称为有效值(RMS)，是信号平均能量的一种表 达。
1.2.1 周期信号的表述
谐波信号是最简单的信号，只有一种频率成分。
一般周期信号可以利用傅立叶级数展开成多个乃至
无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。 1）三角函数展开式 Dirichlet条件（在一个周期内满足） 函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断点； 函数的极值点有限；
函数是绝对可积的；
ò
¥
-
f (t )d(t ? t0 )dt
f (t0 )
3. δ 函数的频谱
( f ) (t )e j 2 ft dt e j 2 f 0 1 （1.49）
其逆变换为： (t) 1 e j 2ft df
(t) 1
(f ) 1
0
t
0
（1.22） (1.23)
Im X ( f ) ( f ) arct an Re X ( f )