四川大学线性代数期末考试题

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2020-2021学年线性代数期末考试题(含答案)

线性代数20－21学年第二学期期末考试试卷一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共15分）1．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 2．设A 是n 阶矩阵，秩（A ）<n ，且A *≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个数为_____________________.3．若A ，B 均为3阶矩阵，且｜A ｜＝2，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 4．设A 为n 阶矩阵，若行列式｜5E －A ｜＝0，则A 必有一特征值为__________________.5．二次型3223222122x x x x x +--的秩为_____________________. 1．若A ，B 为3阶矩阵，且｜A ｜＝3，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 2．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________. 3．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中a i b i ≠0(i =1,2,3).则秩（A ）＝_______________. 4．设A 为n 阶矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b 的解的个数为_____________________.5.()()===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A R A 则秩设,,3,2,1,321 αββα____________________()==A R A 则秩已知1101001100001100001100101 .1________________________.2224, 4., ,000200011132200233121232221是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵x x x tx x x x f t y x y B x A ++---===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=., ,222252322323121232221==+=+++++=b a y y f x bx x x x ax x x x f 则经正交变换化为标准形．已知二次型二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

【期末试题】2018-2019秋线性代数(理工)

三、证明题（共 19 分）
1. （7 分）证明：向量组 ��1, ��2, ��3 线性无关的充分必要条件是向量组 ��1 + ��2, ��2 + ��3, ��3 + ��1 线性无关. 2.（6 分）设方阵 �� 使得 ��3 = 2��, 证明 ��2 − �� 可逆，并求 ��2 − �� 的逆矩阵. 3.（6 分）设 �� 阶方阵 �� 满足 ��2 = ��. 则 �� 是齐次线性方程组 �� = 0 解的充分必要条件为：存在向量 �� 使得 �� = �� − ��.
0

相似,
则
�� =
__________.
1 2 3 4 0 0 4 y
1 0 0
x
0
0
1
1

110 2. 若存在3维列向量不能由向量组 (0) , (��) , (2) 线性表出，则 �� = __________.
121
1 2 4 ��1 3. 若二次型 (��1, ��2, ��3) (0 2 2) (��2) 正定，则 �� 的取值范围为 __________.
0 0 �� 3 4. 设��为3阶实对称阵,��2 − �� = 2��, ��(��) = 0,则二次型 �� 的规范形为 __________.

四川大学数一二线性代数期末考试试卷

第页共6页1四川大学期末考试试卷科目：《大学数学》（线性代数）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 232323a a ab bb c c c = __abc()_____.2．向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性_______.3．设A =378012002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, A *是A 的伴随矩阵, 则 |15-A*| = _________.4．当t 满足______的条件时, 22212311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5．设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.第页共6页2 二、选择题（每小题3分，共15分）1．设矩阵,23⨯A ,32⨯B 33⨯C , 则下列式子中, ( )的运算可行.(A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -.2．设D=123012247-, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333A A A ++=( ).(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3．设A 为4m ⨯矩阵, 秩(A)=2,123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性无关解向量, 则( )为AX =0的通解.(A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +-(C)1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+4．设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ).(A) 11--=BC A X ; (B) 11--=C BA X ; (C) 11--=A BC X ; (D) 11--=BA C X .5．设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值.(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件三、计算下列各题(每小题10分，共30分)1．计算行列式 11120132.12231420------第页共6页32．解矩阵方程,X B AX +=其中21125111,3001214A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦. X=[-1 5]5/4 2 .-1/2 .-1 3．求向量组]1,3,2,1[1-=α, ]1,10,11,5[2--=α,]9,1,8,3[3-=α, ]19,9,2,0[4-=α的秩与它的一个极大线性无关组.四、解答下列各题(每小题12分，共24分)1．讨论当b取何值时, 非齐次线性方程组123412341234237335135543x x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩有解; 当有解时, 求方程组的通解.第页共6页4第页共6页5232232133),,(x x x x x f +=323121244x x x x x x -++ 化为标准形.第页共6页6 五、证明题(每小题8分, 共16分)1．设12321311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 如果存在三阶矩阵 0,B ≠ 满足AB =0, 试求λ的值,并证明. rank B *=0, 其中B *是B 的伴随矩阵.2．设A 是一个三阶矩阵,向量组123,,()I ααα中的三个向量分别是A 属于特征值0,1,3的特征向量, 向量组)(,,421II ααα线性相关。

四川大学数一二线性代数期末考试试卷A

第页共6页1四川大学期末考试试卷(A )科目：《大学数学》（线性代数）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 232323a a ab bb c c c = __abc()_____.2．向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性_______.3．设A =378012002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, A *是A 的伴随矩阵, 则 |15-A*| = _________.4．当t 满足______的条件时, 22212311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5．设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.第页共6页2 二、选择题（每小题3分，共15分）1．设矩阵,23⨯A ,32⨯B 33⨯C , 则下列式子中, ( )的运算可行.(A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -.2．设D=123012247-, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333A A A ++=( ).(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3．设A 为4m ⨯矩阵, 秩(A)=2,123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性无关解向量, 则( )为AX =0的通解.(A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +-(C)1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+4．设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ).(A) 11--=BC A X ; (B) 11--=C BA X ; (C) 11--=A BC X ; (D) 11--=BA C X .5．设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值.(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件三、计算下列各题(每小题10分，共30分)1．计算行列式 11120132.12231420------第页共6页32．解矩阵方程,X B AX +=其中21125111,3001214A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.X=[-1 5]5/4 2 .-1/2 .-1 3．求向量组]1,3,2,1[1-=α, ]1,10,11,5[2--=α,]9,1,8,3[3-=α, ]19,9,2,0[4-=α的秩与它的一个极大线性无关组.四、解答下列各题(每小题12分，共24分)1．讨论当b取何值时, 非齐次线性方程组123412341234237335135543x x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩有解; 当有解时, 求方程组的通解.第页共6页4第页共6页5232232133),,(x x x x x f +=323121244x x x x x x -++ 化为标准形.第页共6页6 五、证明题(每小题8分, 共16分)1．设12321311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 如果存在三阶矩阵 0,B ≠ 满足AB =0, 试求λ的值,并证明. rank B *=0, 其中B *是B 的伴随矩阵.2．设A 是一个三阶矩阵,向量组123,,()I ααα中的三个向量分别是A 属于特征值0,1,3的特征向量, 向量组)(,,421II ααα线性相关, 证明: 向量组)(,,4321III αααα-线性无关.。

线性代数期末考试题及答案

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

川大线性代数习题册答案1

向量与矩阵的运算一：填空题1112123131121121222323112122331312323331121312232331.2.300.0a a a a d a a a b d a e a d aa a c db e a f b d a e a d λλλλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭4.ad bcad bc -⎛⎫⎪-⎝⎭ 二：选择题 1. CD 2.D三：计算下列矩阵的乘积111112122121222212222333332211012...a x y a x y a x y a x yab c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭----四：求与下列矩阵可交换的矩阵000000111211120..ab c x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭五：计算(1)21211222cos sin 333sin cos 0111001263...n n n nt nt ntnt n n n nnnna a naa a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---六：计算948034041--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭矩阵的运算一：填空题23123123123491262912168504233268430202....B B B B B B B B nE-⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪-+++-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭二：选择题1. C2.C3.A4.D 行列式的性质和定义一：填空题1122332...1,2,1,11241111210100111356(1)......C nn n n a a a a a a -±⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 二：选择题 D 三：计算逆序数25,4,433n(1)24+14+212..k k n n k k ττ=+⎧-⎪==⎨⎪⎩奇排列偶排列，奇排列四：计算逆序数9τ=六：1. 不是2.是，正号3.是，正号七：计算行列式4412363...ad bcaa b ----行列式的展开与计算一：填空题5431223424481371666813123450,0,0.....x y z ab d bc a cd ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭----⎛⎫⎪=== ⎪⎪⎝⎭--二：选择题 1.B 2.C三：利用行列式的性质计算222222333()()31()[()()()]()[()()()]()[()()()].x y z x y z xy yz xz x y z xyzx y z x z x y y z x y z y x y z x z x y z z x z y x y ++++---++-++--+-++--+-++--+-或或或或123434242323..x x x x x x x x x x --- 五：计算行列式111223344344312()(1)..n n na a a a a a ab --+-六：化简，计算行列式112112112342434(1)(1)()()()(123456.7.940...32()()()()()()())()()()()()(()()()()()()()()()().....nnn n n x a x x a x x a x x x x xa b c d b a c a d a c b d b d c a x a x a a x a a a x a a b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d ++-+-----+++-------------------------34)()()a x a x a --。

四川大学线性代数期末试卷

四川大学试卷(A)（2005－2006学年第二学期）一、判断下列命题是否正确，简单说明理由（每小题4分,共12分）1. 若AB=AC,且0≠A 时，则B=C. 2.当44<<-t 时,实二次型3223222132143),,(x tx x x x x x x f +++=为正定二次型.3. 0λ是n 阶矩阵A 的一个特征值的充分必要条件是秩n A E <-)(0λ．填空题（每小题3分，共12分）（将正确答案填在横线上） 1. 设A 是4阶实数矩阵, A*是A 的伴随矩阵,,80|*2|-=A 则|A|=______. 2. 非齐次线性方程组β=AX 有解的充分必要条件是____ ________________________. 设向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，则秩（s ααα,,,21 ）秩（t βββ,,,21 ）．4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=231α是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11111111b A 的一个特征向量,则=b ______.三、选择题（每小题3分，共12分）(将正确选项的字母填入括号内)1. 设)1(>n 阶排列n i i i ,,,21 和n 阶排列121,,,,i i i i n n -的奇偶性相反，则必有（）(A)．，或144-==k n k n；（B ）．122-==k n k n 或； (C). 1424-=-=k n k n 或; （D ）.434k n k n =-=或以上为正整数k ．2. 设A 是一个54⨯矩阵,β是一个4维非零列向量,321,,X X X 是线性方程组 β=AX (1)的线性无关的解,且(1)的任意解都是321,,X X X 的线性组合,则( )正确. (A) 235＝－）＝秩（A ; (B) ）不能确定秩（A ；(C) 方程组的通解为131211,)21(21k X k X k X 其中-++是任意常数; (D)方程组的通解为213223111,),()(kk X X k X X k X -+-+是任意常数.3．设n 阶可逆矩阵A 与对角形矩阵B 相似，则( )不正确. （A ） 1-A 不可以对角化 ; （B ）B 的主对角线上的元素全不为零；（C ） A 有n 个线性无关特征向量；（D ）E A A 532+-可以对角化． 4. 设A,B 都是3阶实对称矩阵, 满足: ,33B A =则有 ( ).（A ） BA = ; （B ）A 与B 合同，但不相似（C ） A 与B 相似 ; （D ）A 与B 的特征值相同，但不相似. 四、计算行列式2264749542732252----- . （本题满分8分）.五、求向量组)1,3,1,2(1-=α，),1,1,1,1(2=α )1,7,1,3(3-=α，),5,3,5(4x -=α的分）．解矩阵方程 X B XA T =+.(本题满分10分).,011113232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=021241012B .讨论含有参数的线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++++-=+-+-=+++2)4(42)5(314531432432143214321x a x x bx a ax x x x x x x x x x x何时无解，何时有唯一解，何时有无穷多解？当有无穷多解时，求出通解（本题满分12分）.312121321843),,(x x x x x x x x f ++=233234x x x ++ 化为标准形，写出所用的正交变换（本题满分12分）.1.设21,αα分别是n 阶矩阵A 的对应于特征值21,λλ的特征向量，且12λλ≠，设向量21ααβ+=.证明: 向量组ββA ,线性无关.2. 设A 为n 阶矩阵, 满足：,01452=-+E A A 证明：秩++)7(E A 秩n E A =-)2(，并且矩阵A 相似于对角形矩阵.。

大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ ααα，，，中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

四川大学线性代数2004级A卷第2学期

一、填空题 2. 设向量组
1 2, 5, 5 , 2 2, 0,1 , 3 2, 3,1 , 4 7, 8,11
线性________________。解：由于向量组中向量的个数多于向量的维数，故向量组必然线性相关。
一、填空题
3 7 8 1 3. 设 A 0 1 2 , A 是A的伴随矩阵，则 A ___。 5 0 0 2
得 r 1 ,2 ,3 ,4 3, 且 1 ,2 ,4 为该向量组的一个极大无关组。
1、讨论当b 取何值时，非齐次线性方程组 x1 2x2 3x3 7 x4 3 四、解答题 x1 3x2 5x3 13x4 5 5x 4x 3x x b 2 3 4 1
二、选择题
1. 设有矩阵 A32 , B23 , C 33 ，则下列式子中，（）的运算
是可行的。
A AC
解根据
B AB C
C CB
D CA BC
矩阵可乘的规则：左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等及矩阵可加减的规则：两矩阵同型可知，唯有第二个答案中的式子的运算是可行的。
3：求向量组
三、计算
1 1, 2,3,1 ,2 5,11, 10,1 , 3 3,8,1,9 ,4 0,2,9, 19
的秩和一个极大无关组。解：将向量组竖写并构成矩阵，对其进行初等行变换
1 5 3 0 1 5 3 0 2 11 8 0 1 2 2 2 1T ,2T ,3T ,4T 3 10 1 9 0 0 0 1 1 9 19 0 0 0 0 1
1 － 1 1 5
－ 1 － 2 － 1 1 3 2 0 － 1 3 5 0 0 － 3 － 2 0 0

线性代数期末考试考核试卷

（答题括号：________）
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵

线性代数期末考试试卷+答案.pdf

一、填空题
1. 5
2.
1
3. s s ， n n
4. 相关
5. A 3E
二、判断正误
1. ×
2. √
3. √
4.
√
5. ×
三、单项选择题
1. ③
2. ③
3. ③ 4.
② 5.
①
四、计算题
1.
xa b
c
d
a xb c
d
a b xc d
a
b
c xd
1b
1 xb (x a b c d)
1b
1b
xabcd b
求 B。
解 . (A 2E)B A
( A 2E) 1
2 11
2 2 1，
11 1
B (A 2E) 1 A
5 22 4 32 22 3
1 10 0
3.
设B
01 00
1 0, 11
00 0 1
求。 X (C B)' E,
2134
C
0 0
2 0
1 2
3 1
且矩阵
0002
满足关系式
4. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？
线性代数期末考试试卷 +答案
大学生校园网— 线性代数综合测试题
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题
2
分，共 10 分）
1 31
1. 若 0 5 x 0 ，则
12 2
__________。
x1 x 2 x3 0
2．若齐次线性方程组 x1 x2 x3 0 只有零解，则应
2 11

(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。

川大线性代数习题册答案3

矩阵特征值、特征向量一．选择题 1．C ２．D ３．C ４．D 二．求下列矩阵的特征值、特征向量１．解：2110101020220(2)1104132323λλλλλλλλλλλλλλ+-----=--=-------2201011(2)110(2)110(2)1102201111λλλλλλλλ--+=-=-=-----2(2)(1)λλ=-+所以，特征值为：2(1λλ==-二重），2λ=时，411411000000411000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得对应的特征向量为： ()1104Tx = ()2140Tx =2λ=对应的特征向量全体可表示为：1122x k x k x =+1λ=-时，111111030010414000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量可表示为： ()101Tx k =2．解：()()11112200111111111111111111111111110010001111111221111121111111211λλλλλλλλλλλλλλλλλ----------=-----------=-=---------()()()()()2231122022112211211211110100221122112112312(2)λλλλλλλλλλλλλλλλλ--=--=-----=--=-+--=-+特征值为：2(),2λλ==-三重2λ=时，11111111111100001111000011110000------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11001Tx = ()21010Tx =()3110Tx =对应的特征向量可表示为：112233x k x k x k x =++2λ=-时， 311111131113131113110404113111310044111331110448--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111301010011000--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-⎪⎝⎭对应的特征向量为: ()1111Tx k =-3．解：()220212(1)(2)4(2)402(2)(1)4λλλλλλλλλλλ--=-----=+--所以，特征值为：2,1,4λλλ=-==2λ=-时，420232232232420044022022011---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232011000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()122Tx k =1λ=时，120120120202042021021021000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()212T x k =-4λ=时，220220232012024000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()221T x k =- 三．解：()()()()312014113421101λλλλλλλ+-+-=+-+-++-()()2145λλλ=-++ 特征值为：1,2,2i i λλλ==-+=--1λ=时，412100100024024024100412412-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100012000⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()021Tx k =2i λ=-+时，1121031030140140141031120122ii i i i i i i i +--+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-→-+-→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1030122000i i -+⎛⎫ ⎪→+ ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()3221Tx k ii =---2i λ=--时，1121031030141120122103014014i i i i i i i i i ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1030122000i i --⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()3221Tx k ii =+-+四．解：2λ=为A 的一个特征值，故3A 的一个特征值为８，312A 的一个特征值为４，1312A -⎛⎫ ⎪⎝⎭的一个特征值为14，所以1312I A -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个特征值为15144+= 五．证明：若λ为A 的任一特征值，00x ≠为对应特征向量，则：()220000A x A Ax Ax x λλ===，而2A E =，所以200A x x =从而有：200x x λ=，所以有：21λ=，所以，1λ=±矩阵相似一．选择题１．D ２．A ３．D二．下列矩阵哪些能对角化，若能，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵１．3111102121112112E A λλλλλλλλ-----=--=------ ()()110101211221112102λλλλλλ-=---=--------()()212λλ=-- 特征值为：2(),1λλ==二重2λ=时，111111111221001001110001000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭特征子空间的维数为１，故A 不能对角化．２．()1101011011111111011011011E A λλλλλλλλλλλ------=--=--=---------()()()()()112102111211011λλλλλλλλλ--=--=-=-+-----特征值为：1,1,2λλλ==-=1λ=时，010111111010010000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量为：()101T x k =- 1λ=-时，210111111111012012012012000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()121Tx k =-2λ=时，110110121011011000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()111T x k =所以，111021111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1100010002P AP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭３．()()2112111020224313413E A λλλλλλλλλλλ+--+-+--=-=-=--+--- ()()()()()()211112121211302λλλλλλλλ--=-+=-+=-+--所以，特征值为：2(,1λλ==-二重）2λ=时，411411000000411000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量：()()12104140TTx x ⎧=⎪⎨=⎪⎩1λ=-时，111111030010414000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量为：()3101T x = 故，111040401P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1200020001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭４．()111110011001111111111111111111111111111E A λλλλλλλλλλλλλλ-----------===------------- ()()10001111111112112121121λλλλλλλλ+--+-=-=--------()()()221101101001211211221212123λλλλλλλλλλλ---=--=--=-+-------()()()()()22321111131331λλλλλλλλ+--=-=-+=-+-所以，特征值为：1(),3λλ==-三重1λ=时，11111111111100001111000011110000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()()()123100*********T T T x x x ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 3λ=-时，31111113131131111131113111131311------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11131113044801120044001104040000------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()41111Tx =--111100110101101P ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 1100010000100003P A P -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 三．解：令()123122221212P x x x -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则，()()12312310023020003AP Ax Ax Ax x x x P ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭所以，1120331005202003300322233A P P -⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎪⎝⎭四．解：3221221(1)1423123E A k k k λλλλλλλλλ--+--=+-=-++---++-+ ()()1221221111012123001k k λλλλλλ--=+-+-=+---++()()211λλ=+-特征值为：1(),1λλ=-=二重，A 可对角化，则：1λ=-时有：()1rank E A λ-=，由42242200422000k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭知，必有0k = 对应特征值为：()()12102,120T Tx x ==-1λ=时，222111020010424000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应特征向量为：()3101T x = 111020201P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1100010001P AP --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭五．证明：B 与A 相似，则存在满秩矩阵P ，使得1B P AP -=，又A 有n 个互异特征值，故存在可逆矩阵M ，使得：11,(,)n M AM diag C λλ-=⋅⋅⋅∴111()A MCM P P MCM ---==，11111()B P AP P MCM P P MCM P -----=== 令11,Q P R P MCM --==，则Q 满秩，,A QR B RQ ==实对称矩阵的对角化一．解：首先将向量组正交化，取 ()111100Tβα==()()2122111(,)1111010110010(,)222TT T αββαβββ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭313233121122(,)(,)1111(,)(,)333Tαβαββαββββββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭单位化：1200,022TTηη⎛⎫⎫== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭3Tη⎛= ⎝⎭二．解：设()1234Tx x x x x =为单位向量，则有：123412341234020x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 其通解为：()4013T x k =-所以，所求单位向量为：0T⎝⎭三．求正交矩阵Q ，使1Q AQ -为对角矩阵１．解：()()2324221842E A λλλλλλ----=--=+---，所以特征值为：1(),8λλ=-=二重1λ=-时，424212212000424000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，特征向量()()12101120TTx x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩8λ=时，52414114128252401894254250189----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭141021000-⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪⎝⎭特征向量：()3212Tx =将12,x x 正交化，令11x β=，2122111(,)112(,)22Tx x βββββ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭将123,,x ββ单位化得：2310323Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1(1,1,8)Q AQ diag -=-- ２．()111110011001111111111111111111111111111E A λλλλλλλλλλλλλλ-----------===------------- ()()10001111111112112121121λλλλλλλλ+--+-=-=--------()()()221101101001211211221212123λλλλλλλλλλλ---=--=--=-+-------()()()23211133λλλλλ+-=-=-+-，特征值为：1(),3λλ==-三重1λ=时，111111111111000011110000111100----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应特征向量为：()()()123100110101100T T T x x x ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 将123,,x x x 正交化，令11x β=，2122111(,)1101(,)22Tx x βββββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)1111(,)(,)333Tx x x βββββββββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭3λ=-时，311111131113131113110404113111310044111331110448---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113010100110000---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，对应特征向量为：()41111Tx =--将1234,,,x βββ单位化得：12100210212Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭四．证明：若,A B 有相同的特征值1,,n λλ⋅⋅⋅，则存在正交矩阵,Q T 使得：1111(,,)(,,)n n Q AQ diag T BT diag λλλλ--⎧=⋅⋅⋅⎪⎨=⋅⋅⋅⎪⎩，从而有1111(,,)n B Tdiag T TQ AQT λλ---=⋅⋅⋅=令1P QT-=，则()()()11111TTTT T P P TQ QT T T TT E -----====所以P 为正交矩阵，即存在正交矩阵P ，使得1B P AP -= 反之，若存在正交矩阵P 使得1B P AP -=，则有：11()E A P E A P E P AP E B λλλλ---=-=-=-故，,A B 有相同的特征多项式，所以,A B 有相同的特征值．五．解：因为3R 的维数为３，321λλ==对应的特征子空间2Φ应该为11λ=-所对应的特征子空间1Φ的正交补空间．所以2Φ的基应与1Φ的基1X 正交．取()()23100,011T TX X ==-，则232,X X ∈Φ，将123,,X X X单位化得：010022022P ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ - ⎝⎭，所以100(1,1,1)001010TA Pdiag P ⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

线性代数期末考试试卷合集(共十一套)

线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ，问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)，由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2．证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个；下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =，则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示，则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202，问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关，求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)，由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)，一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ，此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆，又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ，即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2．证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2，即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ，所以0=A ，故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ，故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

川大02-03年线代期末考试+答案

线性代数期末试题四川大学20032002−.________))((,,.2._____________,,,.1)15(.222的条件是则为同阶方阵设是为等幂矩阵的条件则为同阶等幂矩阵设的矩阵称为等幂矩阵满足条件分填空题一B AB A B A B A B A B A A A −=−++=._______,,0||,,,.3==≠X B AXC AC n C B A 则如果且阶矩阵均为设._______),6,2,4(),2,1,3(),3,1,2(.4321则该向量组线性向量组=−==ααα._____0)(,2)(,5)(,5,.5个向量有的基础解系含则齐次线性方程组秩秩阶矩阵都是设===X AB B A B A .|,,,|4,|,,,|,|,,,|4,,,,,.1)15(.211232321132121321等于（）阶行列式则列式阶行且都是四维列向量若分选择题二ββαααβαααβαααββααα+==n m nm D m n C n m B n m A −−+−+).(,)(),()(,).(则三条直线设,,,.2321332123211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=c c c b b b a a a ααα().)3,2,1,0(),3,2,1(022交于一点的充要条件是其=≠+==++i b a i c y b x a ii i i i 线性无关线性相关秩秩线性无关线性相关2132121321321321,,,,).(),(),,().(,,,)(;,,).(ααααααααααααααααD C B A =件既不充分也非必要的条充分而非必要条件必要二非充分条件充分必要条件角化的可相似对个不同特征值是有阶矩阵).(;).()(;).(().3D C B A A n A n.)().(;)(;).()32),,(.42221321半正定的不定的；半负定的负定的（是二次型D C B A x x x x x f −−=的基础解系。

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五证明题（8 × 2分 ) 五证明题（
1 .设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 − A − 2 E = 0，其中 E 是 n 阶单位矩阵 , 证明：证明： (1) A 和 A − E 均可逆 ; ( 2 ) A + E 和 A − 2 E 不可能同时可逆 .
1(1).由A 2 − A − 2E = 0, 知A( A − E) = 2E, 即： 1 1 A( A − E) = ( A − E)A = E, 故A , A − E均可逆。均可逆。 2 2 2 （2 由 A − A − 2E = 0, 得( A + E)( A − 2E) = 0. ）
2007线性代数期末考试题线性代数期末考试题
一.填空题 ( 3 × 5分)
1.设 A为 3阶方阵， A * 是 A的伴随矩阵 , 若阶方阵， ( 2 A )* = kA * , 则 k = _____ .
2.设A是 4 × 3矩阵， C = AA , 则 | C |= ____ . 矩阵，
T
λ +1 1 1 3.当λ = _____ 时，矩阵 1 2λ + 2 1 不可逆 . λ + 2 λ +1 1
解：方程组的增广矩阵为： b 2 1 1 b 2 1 1 A＝ 1 2b − 1 3 1 → 0 b −1 1 0 ＝ 1 b b + 3 2b − 1 0 0 b + 1 2b − 2
当(b − 1)(b + 1) ≠ 0, 即b ≠ ±1时， rankA = rank A = 3，方程组有唯一解；方程组有唯一解；
答案： 1 答案：.4;2.0;3. − 1;4.3;5.a , a ,L , a
−1 11
−1 22
−1 nn
二.单项选择题 ( 3 × 5分）
1.向量组 α1 , α 2 , L , α s (s > 2)(I )线性无关的充分必要条件是 ______ . ( A )(I )中不含零向量 (B )(I )中任何 s − 1个向量都线性无关 (C)(I )中有一向量不能由其余向量线性表示 ( D)(I )中任何向量都不能由其余向量线性表示
试求正交矩阵 Q.
0 −2 2 − 2 − 3 a , 解：实二次型 f ( x1 .x 2 , x 3 )的矩阵 A = 2 a − 3 2 2
1 由题意 , A相似于对角矩阵 1 , − 8
的二重特征值，因1是 A的二重特征值，故秩 ( E − A ) = 1，由
(B )半正定矩阵 ( D)不定矩阵
答：.D;2.B;3.C;4.D;5.B 1
1.计算行列式
答案： (a 答案： + b + 2)(a + b − 2)(a − b )
2
2.若A, B均为 3阶矩阵 , E为3阶单位阵 , 且有 : 1 0 1 AB + E = A 2 + B, 其中A = 0 2 0 , 求矩阵 B. − 1 0 1
设α 2 = l 1α1 + l 3 α 3 + l 4 α 4 (*)
1 0 (*)的增广矩阵 A → 0 0 l 1 = 3 解 l 3 = 0，得α 2 = 3α1 l = 0 4 1 0 1 −1 0 1 0 0 3 0 , 得(*)的唯一 0 0
证明：证明：设 x1α1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 + x 4 (α 5 − α 4 ) = 0(*)
由于α 1 , α 2 , α 3线性无关 , α1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关 , 从而α 4 可由α1 , α 2 , α 3线性表出，设线性表出， α 4 = k 1α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 , 代入 (*)得 :
0 1 − 1 0 3 1 0 1 解：由(α 1 , α 2 , α 3 ) = → −1 − 3 − 2 1 2 6 1 2 0 1 3 1 0 1 3 1 0 0 1 − 1 0 0 1 − 1 0 0 − 1 1 → 0 0 0 1 , 得 0 0 −1 2 0 0 0 0 rank (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3, α 1 , α 3 , α 4 是一个极大无关组 .
rankA = rank A = 2 < 3, 方程组有无穷多解。方程组有无穷多解。
求特解：求特解： 1 x1 + x 2 + 2x 3 = 1 由得特解 X 0 = 0 x3 = 0 0
求导出组基础解系：求导出组基础解系： − 1 x1 + x 2 + 2x 3 = 0 得基础解系：由得基础解系： X1＝ 1 x 3 = 0 0 于是原方程组通解为：于是原方程组通解为：
解：由题意得： ( E − A ) B = E − A Fra bibliotek 因由题意得：
2
−1 | E − A |= 0 − 1 0 = −1 ≠ 0, 故E − A可逆 , 1 0 0 0 0
2 0 1 B = ( E − A ) −1 ( E − A 2 ) = E + A = 0 3 0 − 1 0 2
0 0 3 1 3 .设有向 (量组 )α 1 = , α 2 = , −3 −1 6 2 1 − 1 1 0 α3 = , α 4 = 1 , −2 1 2 极大无关组，求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余性表示。向量由该极大无关组线性表示。
( D)若n阶矩阵 A有n个互不相同的特征向量 , 则 A可对角化 .
5.设A为n阶实矩阵， A ≠ 0, A = 0, 则矩阵阶实矩阵， B = A A是 ____ .
T
( A )正定矩阵 (C)负定矩阵
三.计算题 (10 × 3分 )
a 1 b 1 1 a 1 b b 1 a 1 1 b 1 a
1 A 当 b = − 1时， → 0 0 −1 −2 0 2 1 0 1 0 , − 4
rankA ≠ rank A , 方程组无解；方程组无解；
1 1 2 1 1 1 2 1 A 当b = 1时， → 0 0 1 0 → 0 0 1 0 , 0 0 2 0 0 0 0 0
故 A + E . A − 2E = 0, 即 A + E , A − 2E 中至少有一个等于 0, 故A + E与A − 2E不可能同时可逆 .
2 .已知 α 1 , α 2 , α 3 线性无关 , α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性相关 , 线性无关。 α 1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关。证明：线性无关。证明： α 1， α 2， α 3， α 5 − α 4 线性无关。
1 2 − 3 x 1 0 0 0 x , 4.二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 − 1 0 1 x 3
的秩为 ____ .
a11 a12 L a1n a 21 L a 2n 可逆，则 5.三角形矩阵 A = 可逆， O M a nn A −1的特征值为 __________ __________ _ .
X = X
0
+ kX
1
1 − 1 = 0 + k 1 0 0
2.设实二次型
f ( x1 , x 2 .x 3 ) = −4x1 x 2 + 4x1 x 3 − 3x + ax 2 x 3 − 3x
2 2 2 3 2 可经过正交变换 X = QY化为标准形 y 1 + y 2 − 8y 2 , 2 3
2 −2 1 a E − A = − 2 4 − 知当 a = 8时，秩 ( E − A ) = 1, 2 a 4 − 2 − 2 的特征值，且当 a = 8时， 8是 A的特征值，故 a = 8. −
2 − 2 1 2 − 2 1 4 − 4 → 0 0 0 , 对特征值1, E − A = 2 − 2 − 4 4 0 0 0 的基础解系：求得(E − A )X = 0的基础解系：
( A )kα (B )kβ (C)k (α − β ) ( D)k (α + β )
4.以下说法中错误的是 ___ .
( A )若n阶矩阵 A的行列式等于 0, 则0是A的特征值 .
(B )若λ 0 是n阶矩阵 A的特征值，则秩 (λ 0 E − A ) < n 的特征值，
( C )若 λ 0 是矩阵 A 的特征值，则 λ20 − 1是矩阵 A 2 − E 的特征值，的特征值
1 − 1 − 3 2 2 − 1 , 单位化： γ 3 = − ，令：单位化： X 3＝ 3 1 2 3
2 2 1 − − 3 5 3 5 1 4 2 Q= 为正交矩阵， − , 则Q为正交矩阵，且： 3 3 5 5 5 2 0 3 3 1 －1 Q AQ＝ 1 －8
－2 2 －2 X1＝ 1 ，X 2＝ 0 ，正交化得 : β1 = X1 = 1 0 1 0
2 1 （X 2，β 1 ）单位化得： β 2＝X 2－ β 1 = 4 , 单位化得： 5 （β 1，β 1 ） 2