全等三角形辅助线中的中位线--讲义--学生版

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

中位线的应用

【例10】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1

3

AE AC =．

F

A D

E C

B

【例11】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，

求证2CD EC =．

E

C

B A

例题精讲

全等三角形中的中位

线

【巩固】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证

CD =2CE

E D

B C

A

【例12】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC

于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．

N

M G

F

E

D

C

B

A

【例13】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1

2

AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：

AE EB ⊥且AE BE =．

E

D

C

B

A

【例14】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．

E

D

F

C

B

A

【例15】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，

过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．

L

P

M

D C

B

A

【例16】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，

使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：

(1) DEM FDN ∆∆≌； (2) PAE PBF ∠=∠．

A

E

F

E

【例17】 已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求

证：PM ＝PN (1991年泉州市初二数学双基赛题)

【例18】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长

线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．

A C

D

M F

E N

B

【巩固】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆

的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．

F

图3

图2

图1

F N M

D

C

E B A

N

M

D

C

E B

A

H

F (N )D

M C E B

A

⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．

⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

【例19】 如图，AE ⊥AB ，BC ⊥CD ，且AE =AB ，BC =CD ，F 为DE 的中点，FM ⊥AC ．证明：FM =

1

2

AC ． H A

E M

F

E

D

C

B

A

【巩固】(2004全国数学联赛试题)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方

形ABGE 和正方形DCHF ． 设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ． 求证：点M 为EF 的中点．

E

G

l

M

G

H

F

E

D

C

B

A

【习题3】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

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