第一章第三节

共轴球面系统
轴向放大率α
由转面公式微分得：dl2=dl1’,dl3=dl2’,… dlk=dlk-1’ 所以：α = dlk’/dl1= （dl1’/dl1）（dl2’/dl2）… （dlk’/dlk）= α1α2α3 … α k ’
α与β的关系为： α =（n1’/n1）β12（n2’/n2）β22…（nk’/nk） βk2 =（nk’/n1）β 2
轴向放大率讨论
与垂轴放大率的关系是α = （n'/n）β2 轴向放大率恒为正，当物点沿轴向移动时，其像点也 沿光轴同方向移动。 轴向放大率与垂轴放大率不等，空间物体成像要变形。
近轴折射成像的放大率-角放大率
一对共轭光线与光轴的夹角u’与u之比值，用 γ来表示，即 γ = u’/u 由l’u’ = lu，得 γ = l/l’ = (n/n’)(1/β) 角放大率表示折射球面对光束变宽或变细的能 力。 角放大率只与共轭点的位置有关，而与光线的 孔径角无关。
共轴球面系统
共轴球面光学系统示意图
共轴球面系统ຫໍສະໝຸດ Baidu
共轴光学系统近轴光路过渡公式：
n2=n1' , n3=n2', , nk=n'k-1 u2=u1' , u3=u2' , , uk=u'k-1 y2=y1' , y3=y2' , , yk=y'k-1 后一面的物距与前一面的物距之间关系由图可得：
近轴光线的光路计算
在近轴区内有：l’u’ = lu = h 利用此式和上述近轴光路的计算公式，n(l–r) u/r = n’(l’–r)u’/r，消去l,l’整理可得：
n(1/r–1/l) = n’(1/r–1/l’) = Q (*1) n’u’–nu = h(n’–n)/r (*2) n’/l’–n/l = (n’–n)/r (*3)
l2=l1’-d1,l3=l’2-d2,…..lk=l’k-1-dk-1 光线入射高度的转面公式：
利用l’u’ = lu = h，有h2=h1-d1u’1 ,h3=h2-d2u’2……
hk=hk-1-dk-1u’k-1。
共轴球面系统
拉赫公式：将单球面拉赫公式作用于每一个球面有 n1u1y1 = n1’u1’y1’ n2u2y2 = n2’u2’y2’ ………… nkukyk = nk’uk’yk’ 根据转面公式有 n1u1y1= n2u2y2=……=nkukyk=nk’uk’yk’=J 拉赫不变量J是一个系统不变量，可以利用此式对计 算结果进行校对（n1u1y1= nk’uk’yk’）
单个折射面实际光路计算
大多数光学系统都是由折、反射球面或平面组成的共 轴球面系统，平面可以看成是球面半径r=∞的特例， 反射则是折射在n’=-n时的特例，可见单个折射球面成 像理论具有普通意义。因此，我们首先讨论光线经过 单个折射球面折射的光路计算问题，然后再逐面过渡 到整个光学系统，光线通过光学系统时是逐面折、反 射，设计计算也是逐面依次进行，故首先讨论单个折 射面。 单个折射球面的光路计算，就是在已知结构参数 （r,n,n′）及物方截距L和孔径角U的基础上，求像 方的截距L′和孔径角U′。
共轴球面系统
横向放大率β
由横向放大率定义有：β =yk’ / y1 再由转面公式 y2 = y1’, y3 = y2’,…,yk’ = yk-1得： β =yk’ / y1=（y1’ / y1）（y2’ / y2）…（yk’ / yk） β = β1β2β3 …… βk 由单球面放大率公式β = n l’ / n’ l 得： β = （n1l1’/n1’l1）（n2l2’/n2’l2）…（nklk’/nk’lk） β =（n1l1’ l2’… lk’）/（nk’l1l2…lk） 由拉赫公式有β=yk’/y1=n1u1/nk’uk’
球面近轴反射成像
令n’=-n，即可由折射面的成像结论得出球面 反射面成像的特性。
球面近轴反射成像
将n’ = -n代入n’/l’–n/l = (n’–n)/r，得球面反 射镜的物像关系： 1/l’+1/l = 2/r 凸面镜（r>0）和凹面镜（r<0），如上图所示。
球面近轴反射成像
反射球面焦距
f’=f=r/2
符号规则
光轴与法线的夹角：（ϕ）如由光轴以锐角方 向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。 折射面间隔：（用d来表示）由前一面的顶点 到后一面的顶点，顺光线传播方向为正，逆光 线传播方向为负。 这里，符号的规则是人为规定的，但一经规定， 必须严格遵守，这样才能使推导的一系列公式 具有普通意义。图中各量均用绝对值（正值） 来表示，因此，凡具有负值的量，图中量的符 号前都要加一负号。
基本概念
结构参数：单个折射球面的性质可由n、n ′、r三个参量所确定。
由折射定律可知，入射光线AE、入射点法线CE 和折射光线EA′在子午面内。 入射光线AE和折射光线EA′、折射光线EA′位 置分别由物方截距、物方孔径角和像方截距、 像方孔径角决定。 约定：对于像方空间的量值，常用于物方相应 值相同的字母并在右上方加撇来表示。
光路计算与近轴光学系统
基本概念 符号规则 单个折射面实际光路计算 近轴光线的光路计算
基本概念
基本概念
光轴：通过球心C的直线 顶点：光轴与球面的交点O 子午面：通过物点和光轴的截面 物方截距：顶点O到光线与光轴的交点A的距离，用L表示， 即L=OA。 像方截距：顶点O到光线与光轴的交点A′的距离，用L′表 示，即L=OA ′。 物方孔径角：入射光线与光轴的夹角用U来表示，即U= ∠ OAE。 像方孔径角：出射光线与光轴的夹角用U′来表示，即U′ =∠OA′E。
球面反射镜成像特点
若β>0，即l与l’异号，物像异侧，成正像， 虚实相反；反之，相反。 由α=-β2可知，球面反射镜的轴向放大率 α<0，当物体沿光轴移动时，像总是以相 反的方向移动。 当物体位于球心时，γ=1，即反射、入射 光线孔径角相等。通过球心的光线沿原光 路反射，仍会聚于球心。
共轴球面系统
一些基本概念：光轴、顶点、子午面、物方截 距、物方孔径角、像方截距、像方孔径角 符号规则：一距离、两轴、三角 单折射面实际光路计算（结合光路图能推导像 方截距和像方孔径角公式），不完善成像。 单折射面近轴光路计算，是一种完善成像。 阿贝不变量： n(1/r–1/l)=n’(1/r–1/l’) = Q n’/l’–n/l = (n’–n)/r
共轴球面系统
角放大率γ
γ = （uk’/u1）= (u1’/u1)(u2’/u2)…(uk’/uk) = γ1 γ2 … γk γ =（n1/n1’）(1/β)（n2/n2’）(1/β)… （nk/nk’） ’ ’ … ’ (1/β) =（n1/nk’）(1/β)
近轴折射成像的放大率-拉赫不变量
垂轴放大率、轴向放大率、角放大率三者的关 系为： αγ = (n’/n)(β2)(n/n’)(1/β) = β 由β = y’/y = nl’/n’l = nu/n’u’得 nuy = n’u’y’ = J 该式被称为拉格朗日- 赫姆霍兹不变量，简称 拉赫不变量。说明实际光学系统在近轴区成像 时，nuy的乘积是一个恒定量。 拉赫不变量是表征光学系统的重要指标。
通过相邻两个球面之间的光路关系，分析整个 光学系统的成像性质。 对于一个包含多个面的系统，某一面的像方空 间就是其后面的物方空间，因此该面的像就是 其后面的物。 设一个共轴球面光学系统由k个面组成，其成 像特性由下列结构参数确定：
各球面的曲率半径r1,r2…..rk. 相邻面顶点间的距离d1,d2……dk 各面之间介质的折射率n1,n2,…..nk.
i = (l–r)u/r I’ = ni/n’ u’ = u+i-I’ l’ = r(1+I’/u’)
近轴光线的光路计算
由上述公式可推出：l’=I’nr/(n’l-nl+nr) 由此公式可以知道，对给定l值，无论u值大小， l’是一个固定值，这表明轴上物点在近轴区以 细光束成像是完善的。这个像被称为高斯像， 通过高斯像点且垂直于光轴的平面被称为高斯 像面，其位置由l’决定。 这样一对构成物像关系的点称为共轭点。
共轴球面系统
对于宽光束的计算公式，只需将相应的小写字 母改写为大写字母：
L2=L’1-d1, L3= L’2-d2,…,LK=L’K-1-dK-1 U2=U1’, U3=U2’,...,UK=U’K-1 Y2=Y1’, Y3=Y2’,...,YK=Y’K-1 n2=n1’, n3=n2’,…,nK=n’K-1
近轴折射成像的放大率-垂直放大率
实物成实像
实物成虚像
虚物成实像
虚物成虚像
近轴折射成像的放大率-轴向放大率
物点沿光轴作微小移动dl时，所引起的像点移 量dl’与物点移动量dl之比，用来表示轴向放 大率，即α = dl’/dl。
近轴折射成像的放大率-轴向放大率
将成像公式两边微分，得：-n’dl’/l’2 +ndl/l2 = 0，于是轴向放大率： α = dl’/dl = nl’2/n’l2。
以上即为子午面内实际光线经过单个折射球面 时的光路计算公式。给出L和U，即可算出相 应的L’和U’。 以A为顶点、2U为顶角的圆锥面光线均会聚于 点A ‘。 由以上推导可知， L’=f(L，U)，当L一定， U 变化时，L’值也变。说明同心光束经折射后， 出射光束不再是同心光束，单个折射面对轴上 物点成像是不完善的，即“球差”存在。
符号规则
沿轴线段：（如L、L′、r）规定以折射面顶点O为原点， 由原点到光线与光轴交点的方向和光线传播方向相同者 取值为正，反之为负。又规定光线传播方向为自左向右， 所以，自原点向右为正，向左为负。 垂轴线段：（如光线矢高h）以光轴为基准，在光轴上 为正，在光轴下为负。 光线与光轴夹角：（如U、U′）用光轴转向光线所形成 的锐角度量，顺时针为正，逆时针为负。 光线与法线的夹角：（如I、I′、I″）由光线以锐角 方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。
单个折射面实际光路计算
单个折射面实际光路计算
sin(180-I)/(r-L)=sin(-U)/r →sinI=(L-r)sinU/r sinI’=n sinI/n’ ϕ =U+I=U’+I’→U’=U+I-I’ sinI’/(L’-r)=sinU’/r→L’=r(1+sinI’/sinU’)
单个折射面实际光路计算
球面近轴反射成像
成像放大率，把n’=-n代入折射面放大率公式：
β = y'/y = -l'/l α= dl’/dl = -l’2/l2 = -β2 γ = u/u’ = -1/β
当物点位于球心时，放大率公式
β = -1 α= -1 γ = 1
拉赫不变量uy = -u’y’ = J
球面近轴反射成像
近轴折射成像的放大率-垂直放大率
垂直放大率仅取决于共轭面的位置。 若β > 0，即y与y’同号，表示成正立像，反之， 表示成倒立像。 若β > 0，即l与l’同号，物像虚实相反，反之， 物像虚实相同。 若|β| > 1，则 |y| < |y’|，成放大的像，反之， |y| > |y’|，成缩小的像。
近轴光线的光路计算
上式(*1)表明，单个折射球面的物方和像方的 一些参数具有不变的形式。用Q来表示，称为 阿贝不变量。Q值只与共轭点的位置有关。 式(*2)表明了物、像方孔径角的关系 式(*3)表明了单个折射球面的近轴物、像位置 关系，已知物体位置l，即可求出其共轭像的 位置l’。反之亦然。
小结
单个折射面实际光路计算
n’ n
A
O
A’
轴上点成像不完善性
同心光束经折射后，出射光束不再是同心光束， 单个折射面对轴上物点成像是不完善的。这种 现象称为“球差”。
近轴光线的光路计算
近轴区：当孔径角U很小时，I,I’,和U’都很小， 这时光线所在的区域。 近轴光线：近轴区内的光线。 对大L计算公式用弧度值代替正弦值。并用小 写字母表示。
近轴球面成像系统
近轴折射成像的放大率 球面近轴反射成像 共轴球面系统
近轴折射成像的放大率
垂直放大率β
近轴折射成像的放大率-垂直放大率
垂直于光轴，大小为y的物体经过折射球面所 成的像，若其大小为y’，则y与y’之比，用字母 β表示，称为垂直放大率或横向放大率，即: β = y’/y。 由于△ABC 相似于△A'B'C'则有： -y'/y = (l'–r)/(r–l) 利用阿贝不变量，可得：(l’–r)/(r–l) = -nl’/n’l， 从而： β = y'/y = nl'/n'l