大学数学概率论及其试验统计 第三版 第二章

1 4 1 4 1 4 1 × （ ） 2 × … （ ） n × 5 5 5 5 5 5 5
14、某射手有５发子弹，每射一发的命中率都是０．７，如果命中目标便停止射击，不中目 标就一直射击到子弹用完为止，试求命中目标所用的子弹数Ｘ的分布律． 解： ｘ １ ２ ３ ４ ５ p 0.7 0.3× ０．７＝０．２１ ０．３ 2 × ０．７＝０．０６３ ０．３ 3 × ０．７＝０．０１８９ ０．３ 4 × ０．７＝０．００５６７
1 2
1 1 1 4 2 4
4、 ８件正品２件次品中随机的抽出３件，所抽出的次品数为Ｘ，试写出Ｘ的分布律
−i 解：令 ｘ＝ｉ， ｉ＝０，１，２， 则 Ｐ（ｘ＝ｉ）＝Ｃ i2 Ｃ 3 8
故 Ｘ ０ １ ２ p
0...................x ≤ 1 0.2...............1 < x ≤ 2 所以 Ｆ（ｘ）＝ 0 . 6 .......... ..... 2 < x ≤ 3 1..................3 < x
(2 ) D=[1,2.5], P(X ∈ D)=P(1 ≤ X ≤ 2.5 ) =P( X ≤ 2.5 )－P(X<1) =P(X=2.5)+P(X<2.5)－P(X<1) =0+F(2.5) －F(1) =0+0.6+0=0.6 ５． 从装有 3 个红球和 1 个白球的口袋中任意取出 2 个球，若以 X 表示其中的红球数，以 Y 表示其中的白球数，试求(X，Y)的分布函数。 解：（Ｘ，Ｙ）的分布律为： Ｐ（Ｘ＝１，Ｙ＝１）＝
6、 某射手的命中率为０．６，相互独立地射击４次，求命中目标的次数Ｘ的分布律 解： 此为二项分布 Ｐ（ｘ＝ｉ）＝Ｃ i4 ０．６ｉ （１－０．６）４－ｉ （ｉ＝０，１，２，３，４）
故 ｘ ０ １ ２ ３ ４ p 0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296
15、从装有３个红球２个白球的口袋中一个一个的取球，共取了４次，取出Ｘ个红球Ｙ个白 球， 若每次取出的球①立即放回袋中， 再取下一个， 或者②不放回袋中接着便取下一个， 试分别写出（Ｘ，Ｙ）的分布律． 解： （１）立即放回袋中时，其分布律为： （Ｘ，Ｙ） （４，０） （３，１） （２，２） （１，３） （０，４） Ｐ （
C33 ⋅ C1 2 2 = 4 C5 5
2 C32 ⋅ C 2 3 = 4 C5 5
16.上一题的口袋中如果还有１个黑球，其它假定不变，试分别写出（Ｘ，Ｙ）的分布律。 解： （１）立即放回袋中时，其分布律为：
1 i 1 j 1 4−i− j ） （ ） （ ） 2 3 6 ｉ，ｊ＝０，１，… …，４ ｉ＋ｊ ≤ ４
3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 ） Ｃ 3 ） （ ） Ｃ 2 ） （ ） Ｃ 1 ）（ ） （ ） 4 4（ 4（ 4（ 5 5 5 5 5 5 5 5
（２） 不放回袋中时，其分布律为： （Ｘ，Ｙ） （３，１） （２，２） p
1 4 1 1 4 3 1 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1 × = × × = × × × = × × × × 1 = 5 5 4 5 5 4 3 5 5 4 3 2 5 5 4 3 2 5
（２）当取出的红球放回时，其分布律为： ｘ １ ２ ３ … ｎ ｐ 7 157 15
1 15
5、 批花生种子的发芽率为０．９，如果每穴播种３粒，试求发芽数Ｘ的分布律． 解：此为二项分布 Ｐ（ｘ＝ｉ）＝Ｃ i3 ０．９ i （１－０．９） 3− i ， （ｉ＝０，１，２，３） 故 Ｘ ０ １ ２ ３ P 0.001 0.027 0.243 0.729
2.50 e −2.5 ＝１－ｅ −2.5 ＝０．９１７９ 0!
12.Ｘ～Ｐ（λ）且Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｐ（Ｘ＝３） ，试求Ｐ（Ｘ＝５） ． 解：Ｐ（ｘ＝２）＝
λ2 ⋅ e −λ λ3 ⋅ e −λ ， Ｐ（ｘ＝３）＝ 2! 3!
3 5 ⋅ e −3 两者相等得： λ ＝ ３，故 Ｐ（ｘ＝５）＝ ＝０．１００８ 5!
(A) a
所以 Ｆ（＋∞）＝ａＦ 1 （＋∞）－ｂＦ 2 （＋∞） 即 １＝ａ－ｂ 故选（Ａ） 4.袋中装有 5 个球，分别标有 1，2，2，3，3，任意取出 1 个球，球上的数值为 X，若 D 为 区间[1，2.5]，试求 X 的分布函数并求 P{X∈D}。 解：Ｘ 的分布列 （１） Ｘ １ ２ ３ P 1/5 2/5 2/5
2 C1 C3 3 ＝０．５，Ｐ（Ｘ＝２，Ｙ＝０）＝ ＝０．５ 2 2 C4 C4
0 .................当 x ≤ 1, 或 y ≤ 0, 或1 ≤ x ≤ 2 , 且 0 ≤ y ≤ 1 0 .5 .............当1 < x ≤ 2 , 且 y > 1 所以 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ 0 . 5 .......... .. 当 x > 2 , 且 0 < y ≤ 1 1 ................当 x > 2 , 且 y > 1
7、 一批种蛋的孵化率为０. ９, 任取１０只进行孵化, 求至少孵出９只小鸡的概率．
i9 解：此为二项分布 Ｐ＝ Ｐ（ｘ＝９）＋Ｐ（ｘ＝１０）＝Ｃ 10 ０．９９ （１－０．９） １ ＋０．９１０ ＝０．７３６１
8、 某射手的命中率为０．０４，相互独立的射击１００次，试计算至少命中２次的概率 解：此题可转化为泊松分布 λ ＝ｎｐ＝１００×０．０４＝４ p(k≥2)=1-p(k<2)=1-p(k=0)-p(k=1)=1－e－4 －4e－4 =0.9084 9、 实验室有自动控制的仪器１０台，相互独立的运行，发生故障的概率都是０．０３．在 一般情况下一台仪器的故障需要一个技师处理，问应配备多少技师，便可以保证在设备 发生故障时不能及时处理的概率小于０. ０５． 解：设应配备 ｍ 名技师，则超过 ｍ 台仪器发生故障的概率应小于 ０．０５ 即 ｐ（ｘ＞ｍ）＜０．０５ λ ＝ｎｐ＝１０×０．０３＝０．３
k = m +1
∑
∞
λk e − λ ＜０．０５ ⇒ k!
k = m +1
∑
∞
0.3 k e −0.. 3 ＜０．０５ k!
查 ｐｏｉｎｓｏｎ 分布表得 ｍ＝１ 10、 生物出现畸形的概率为０．００１，如果在相同的环境中观察５０００例，试按 Ｐｏｉnｓｏｎ分布计算至多有两粒出现畸形的概率． 解： λ ＝ｎｐ＝５， Ｐ（ｋ ≤ ２）＝Ｐ（ｋ＝０）＋Ｐ（ｋ＝１）＋Ｐ（ｋ＝２）＝ｅ −5 ＋５ｅ −5 ＋
2.从一大批产品中任取一件产品进行检验，取出正品时记 X=1，取出次品时记 X=0，若正品 率为 95%，求 X 的分布函数。 解：Ｘ 服从 ０—１ 分布
0.................... x > 0 所以， Ｆ（ｘ）＝Ｐ（Ｘ＜ｘ）＝ 0.05...............0 < x ≤ 1 1...........KKK x > 1
5 2 ⋅ e −5 ＝０．１２４６ 2!
11.救援站在长度ｔ(单位:ｈ)为的时间间隔内，收到救援信号的次数与时间间隔的起点无关， 服从Ｐ(ｔ/２)分布，试求某一天１２时――１７时至少收到一次救援信号的概率． 解：某一天 １２ 时—１７ 时收到支援信号的概念服从 Ｐ（２．５）分布 Ｐ（ｋ ≥ １）＝１－Ｐ（ｋ＜１）＝１－Ｐ（ｋ＝０） ＝１－
3、 抛两枚硬币，若定义Ｙ为正面朝上的个数，试求Ｙ的分布律． 解：Ｙ＝０，１，２
1 1 ＝ 2 4 1 1 1 1 1 1 Ｙ＝１ 时，Ｐ＝Ｃ 1 × ＝ Ｙ＝２ 时，Ｐ＝ × ＝ 2 × 2 2 2 2 2 4
当 Ｙ＝０ 时，Ｐ＝ × 故 Ｙ ０ １ ２ Ｐ
3.设 F1 (X) 和 F2 (X) 分别为随机变量 X1 和 X2 的分布函数， 如果 F(X) = aF1 (X) +bF2(X)是某 一随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取[ ]
3 2 (B) 2 2 (C) a = − 1 , b = 3 (D) a = 1 , b = 3 = ,b = − a = ,b = − 5 5 3 3 2 2 2 2 解：由分布函数性质： Ｆ（＋∞）＝１ ， 又已知 Ｆ（ｘ）＝ａＦ１ （ｘ）－ｂＦ２ （ｘ）
第二章第一节课后习题答案
1、某运动员投篮命中的概率为０. ４，试求他一次投篮名中数ｘ的分布律． 解：为 ０—１ 分布 Ｘ ０ １ Ｐ ０．６ ０．４ 2、 设有一种流行疾病，已知所有表现出某一组特定症状的病人中有１０％患有此疾病，确 诊此病之前需要进行费用昂贵的血液化验．为节省费用起见，先将Ｎ个待确诊的病人血 液混合在一起化验，如果这Ｎ个人都不患有此疾病，则混合血液化验的结果为阴性．倘 若至少有一个人患此疾病，则化验结果为阳性．只有当化验结果为阳性时，才不得不对 这Ｎ个人的血液分别进行化验，已确定是哪一个或那几个人患此疾病，试求化验次数ｘ 的分布律． 解：Ｘ １ ｎ＋１ Ｐ ０．９ n １－０．９ n
Ｐ
C32 ⋅ C 1 6 2 = 4 C6 15
2 C1 3 3 ⋅ C2 = 4 C6 15
1、 求例 1.1 中一维随机变量 X 的分布函数。 解：由题意知，Ｘ 服从 ０—１ 分布
0....................x > 0 所以， Ｆ（ｘ）＝Ｐ（Ｘ＜ｘ）＝ 0.5...............0 < x ≤ 1 1...........KK x > 1
13、袋中装有１个白球４个红球，每次从中任取一球，直到取出白球为止．试写出取球次数 Ｘ的分布律．假定方式为每次取出的红球不再放回，或者为每次取出的红球仍然放回．
解： （１）当取出的红球不放回时，其分布律为： ｘ １ ２ ３ ４ ５ ｐ
j ｐ＝（ｘ＝ｉ，ｙ＝ｊ）＝Ｃ i4 ｃ 4 −i （
（２） 不放回袋中，其分布律为： （Ｘ，Ｙ） （３，１） （３，０） （２，２） （２，１） （１，２）
3 1 C3 ⋅ C2 2 = 4 C6 15 3 C3 1 = 4 C 6 15 2 C32 ⋅ C 2 3 = 4 C6 15