第二章+扩散的机制、扩散方程及其解

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材料科学基础_固体中的扩散

驱动扩散的真实动力是自由能
化学位的定义，某溶质i的化学位为
平衡条件是各处的化学位相等。如果存在一化学位梯度，表明物质迁移 dx 距离，系统的能量将变化了。好象有一作用力推动它移动一样，设这个力为 F，所作的功为 Fdx 作为化学位的变化。
称为扩散的驱动力，负号表示推动物质流向化学位较低处
代替 Fick 第一定律的真实法则为：
扩散系数与化学位的关系
如果某组元的浓度提高反而可降低化学位(降低其吉布斯自由能)，则组元会进行上坡扩散。组元的集中降低吉布斯自由能的原因和原子之间的键结合能来决定。所以在分析扩散过程时，应该从化学位来分析，不能单从浓度梯度来分析。
当然在很多情况下，当
菲克定律的表达式是正确的，用它分析可以把问题简化。应用那种模式要具体分析。
数又称禀性扩散系数
N1、N2为组元的摩尔浓度(原子百分比)
代位扩散的方程（Darken方程）
扩散方程：
第三节
扩散中的热力学
• 菲克定律的局限性 • 驱动扩散的真实动力是自由能 • 扩散系数与化学位的关系
菲克定律的局限性
分析菲克定律，结论是扩散中物质的流动是从浓度高处流向浓度低处，如果浓度梯度消失(dC/dx=0)，各处的浓度相等，就不应该再出现物质的传输，在一般的情况下可以解释许多现象。在固体材料中，还有些现象与此相矛盾，物质的迁移(扩散)会出现从低浓度向高浓度处聚集，例如过饱和固溶体的脱溶，从中析出第二相，此外固体电解质中的带电离子在电场或磁场的作用下，发生的扩散迁移也不一定是从高浓度处流向低浓度处，这种反向的扩散称为“上坡扩散”。为了解释上坡扩散的现象，正确分析扩散规律，必需用热力学来讨论扩散过程的实质，因为扩散的自发进行方向也必然是系统吉布斯自由能下降。

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散.

一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

热传导方程与扩散方程

2 ∂u 2 ∂ u 初始问题： ∂t = a ∂x 2 , −∞ < x < +∞, t > 0 u ( x, 0) = ϕ ( x), −∞ < x < +∞
∂u 2 ∂2u 0 < x < l, t > 0 ∂t = a ∂x2 , 混合问题： ux (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x,0) = ϕ(x) 0≤ x ≤l
ut − a 2u xx = 0, 0 < x < L u x | x =0 = 0, u x | x = L = 0 u | = ϕ ( x) t =0
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
T ' /( a 2T ) = X " / X = −λ
X ' ( 0) = X ' ( L ) = 0
t2
交换积分次序 ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∫t1 ∫∫∫ cρ ∂t − ∂x k ∂x − ∂y k ∂y − ∂z k ∂z dxdydzdt = 0 Ω
t2
注意到t1 , t 2 及Ω均是任意的, 则有热传导的齐次方程
分离结果的求解空间方程解出非零解条件非零解时间方程解出
X "+ω 2 X = 0 X ( 0) = X ( L) = 0
T '+ a 2ω 2T = 0
X ( x ) = C cos ω x + D sin ω x X ( 0) = C = 0 X ( L) = D sin ω L = 0
X = cos(wx), w = kπ / L, k = 0,1,2,L, λ = w2

固体扩散机制及扩散动力学方程

固体扩散机制及扩散动力学方程固体扩散是指在固体材料中，粒子（原子、离子、空位等）在热激活作用下从高浓度区域向低浓度区域的传输过程。

固体扩散在材料科学和工程中发挥着重要的作用，影响着材料的性能和性质。

理解固体扩散机制及其动力学方程对于材料设计和加工具有重要意义。

1.空隙扩散：在晶格中有些原子或离子没有封闭的位置可供它们弹性地占据，这些位置称为空位。

空位可以由基体材料的内在缺陷或外界因素引起。

在空位存在的情况下，空位与其他影响物体密度和形状的实际物体存在着扩散。

空位扩散在晶体材料中占有重要地位。

2.晶格扩散：晶格扩散是通过晶格的结构缺陷进行的，它是指固体中离子或原子在晶体结构中通过晶格活动作用的扩散。

晶格扩散主要发生在晶体内部，在晶体中原子或离子通过原子间的活动通过跳跃方式迁移。

3.界面扩散：界面扩散发生在两个或多个固体或固体与气体等介质相接触的界面部分。

在界面扩散中，因为两个相之间存在差异，会引起扩散过程的变化。

界面扩散可以通过晶界、晶体和涂层等实现。

固体扩散可以使用弗里克方程（Fick's Law）来描述。

弗里克方程是描述固体扩散物质流动的微分方程，它建立了扩散通量（J）与浓度梯度（∇C）之间的关系。

在一维情况下，弗里克第一定律可以表示为：J = -D(dC/dx)其中，J为扩散通量，单位是mol/(cm²s)，表示扩散物质单位面积的通量；D为扩散系数，单位是cm²/s，表示物质在单位时间和单位面积上通过的量；dC/dx为浓度梯度，单位为mol/cm³。

在二维或三维情况下，弗里克第二定律可以表示为：∂C/∂t=D(∂²C/∂x²+∂²C/∂y²+∂²C/∂z²)其中，∂C/∂t为浓度变化率，单位是mol/cm³s；∂²C/∂x²，∂²C/∂y²和∂²C/∂z²为浓度在三个坐标方向上的曲率变化率。

扩散方程讲解

扩散方程研究气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等问题所满足的微分方程。

在考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定律和质量守恒定律扩散定律扩散物质在单位时间内沿法线方向n 流过单位面积的曲面的质量与物质浓度(,,,)C x y z t 沿法线方向n 的方向导数C n∂∂成正比。

由扩散定律，扩散物质在时段dt 内沿法线方向n 流过面积为dS 的曲面的质量dm为：(,,)C dm D x y z dS dt n∂=-⋅⋅⋅∂ 其中(,,)D x y z 为扩散系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的一侧渗透。

任取一封闭曲面Γ，它所围区域记为Ω，则从时刻1t 到时刻2t 进入此闭曲面的物质质量为21{(,,)}t t C m D x y z dS dt nΓ∂=∂⎰⎰⎰ 由高斯公式(,,){()()()}C C C C D x y z dS D D D dV n x x y y z z ΓΩ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ， 21{{()()()}}t t C C C m D D D dV dt x x y y z z Ω∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰ 同时，物质渗透到区域Ω内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔11[,]t t 内，浓度由1(,,,)C x y z t 变化为2(,,,)C x y z t ，增加的物质质量为221121((,,,)(,,,))()()t t t t C C C x y z t C x y z t dV dt dV dV dt t t ΩΩΩ∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由质量守恒即有2211{{()()()}}()t t t t C C C C D D D dV dt dV dt x x y y z z t ΩΩ∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是得到扩散方程()()()C C C C D D D t x x y y z z∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ 若扩散系数(,,)D x y z 为常数，则扩散方程为222222()C C C C D t x y z∂∂∂∂=++∂∂∂∂。

扩散原理PPT课件

LnN i
扩散系数热力学因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i
自扩散系数
i 1 D i D i*RT i B
；
Di组分i的分扩散系数，或本征扩散系数
.
16
讨论：
(1)扩散外界条件：u/ x的存在
Di 代表了质点的性质，如半径、电荷数、极化性能等
基质结构：缺陷的多少；杂质的多少
1 Ln i
Jx＝－DCx
J x d xJ x ( J x ) d x D C x x ( D C x ) dx
x x+dx
x
净增 JJ x ＋量 d xJ x x(DC x)dx
J(DC) x x x
又JCC(DC)D2C x t t x x x2
三维表C 达 D (式 2C为 .2C ： 2C)
缺陷的多少
(3) 稳定扩散(恒源扩散)
不稳定扩散
C
C
C
J
C/ x=常数
C/ t0
J/ x 0
t
x
.
t
8
x
三维表达式：
J＝ iJx
jJy
kJz
D(iC j CkC) x y z
用途：
可直接用于求解扩散质点浓度分布不随时间变化的稳定扩散问题。
.
9
二、 Fick第II定律
推导：取一体积元，分析x→x＋dx间质点数在单位时间内 x 方向的改变，即考虑两个相距为 dx 的平行平面。
散，质点所受的力
推导D：
高u
Fi
ui x
Vi 低u Fi
对象：一体积元中多组分中i 组分质点的扩散
i质点所受的力：
Fi

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散

一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。

令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。

第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。

第二章扩散

本体原子
杂质原子
不需要自填隙本体原子来推动扩散过程的进行
3、Fair空位模型：
建立在空位扩散机制的基础上
1）“空位电荷"：中性空位俘获电子，使其带负电；中性空位的邻位原子失去电子，可使空位带正电。 2）空位模型：总扩散率是所有荷电状态的空位的扩散率的加权总和，加权系数是这些空位存在的概率。带电空位的数量总扩散率表达式：
■
硅中杂质的扩散率曲线(低浓度本征扩散)：
■ 中性空位的扩散率：
其中，E0a是中性空位的激活能(eV)；
D00是一个与温度无关的系数，取决于晶格结构和振动频率。(cm2/s)
■
如果必须考虑带电空位的扩散率，则扩散率就是位置的函
数，因而费克第二定律方程必须采用数值方法来求解。
4、费克第二定律的分析解
1、横向扩散：杂质在纵向扩散的同时，也进行横向的扩散
■
一般横向扩散长度是纵向扩散深度的0.75 - 0.85；
横向扩散的存在影响IC集成度，也影响PN结电容。
■
2、内建电场的影响
高温下杂质处于离化状态，杂质离子与电子(空穴)同时向低浓度方向扩散。电子(空穴)扩散速度快，形成空间电荷层，建立一自建电场，使离子运动形式为扩散+漂移。有效扩散系数Deff
费克简单扩散方程 1）第一种边界条件：(预淀积扩散) 在任何大于零的时刻，表面的杂质浓度固定
此时扩散方程的解为：被称为特征扩散长度(pm)； Cs是固定的表面杂质浓度(/cm3) 预淀积扩散又被称为恒定表面源(浓度)扩散；在实际工艺中， Cs的值一般都是杂质在硅中的高浓度，与温度有关。
2、杂质扩散机制
(3) 空位扩散(vacancy-assisted Diffusion Mechanism)

扩散方程 (2)

扩散方程什么是扩散方程扩散方程是一个描述物质扩散过程的数学模型。

它描述的是物质在空间中的传播和分布方式，常用于研究热传导、扩散现象等。

扩散方程最早由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange) 在18世纪末提出，经过后来科学家的不断发展和完善，已经成为物理学、化学、生物学等学科中重要的工具。

扩散方程的一般形式扩散方程的一般形式可以表示为：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = Dabla^2 u\]其中，$u$ 表示物质的濃度，$t$ 表示时间，$D$ 表示扩散系数，$abla^2$ 表示拉普拉斯算子。

这个方程描述了物质濃度随时间变化的规律，即濃度随时间的变化率等于扩散系数乘以濃度的二阶空间导数。

扩散方程的物理意义扩散方程描述了物质在空间中的传播和分布方式。

它的物理意义可以通过对方程的各个因素进行分析得到。

•第一项$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}$ 表示濃度随时间的变化率。

它表示了物质在单位时间内从一地点传播到另一地点的速度。

这个速度与濃度的变化有关，当濃度变化剧烈时，该项的值较大；当濃度变化缓慢时，该项的值较小。

•第二项 $Dabla^2 u$ 表示濃度的二阶空间导数。

它表示了濃度在空间中的变化率。

当濃度在某一地点发生快速变化时，该项的值较大；当濃度在某一地点变化缓慢时，该项的值较小。

根据扩散方程的物理意义，我们可以得到以下结论：•扩散系数 $D$ 越大，物质的传播速度越快，濃度变化越剧烈。

•濃度变化率越大，濃度在空间中的变化越剧烈。

扩散方程的解析解求解扩散方程一般有两种方法：解析解和数值解。

解析解是通过数学方法得到的解，能够精确地描述扩散过程。

而数值解是通过数值计算的方法得到的近似解，适用于复杂情况下无法得到解析解的情况。

对于简单的扩散方程，可以通过分离变量法等数学方法得到解析解。

材料科学基础-第4章-扩散

利用波尔茨曼-吴野平面求D。（略）
25
第二章
固体结构
第二节
一、扩散驱动力
扩散的热力学分析
发现“上坡扩散”（物质从低浓度区向高浓度区扩散），提出扩散驱动力是化学势梯度。设原子i的自由能为μi，存在化学势梯度时，原子受力：
Fi
μi x
式中负号表示驱动力方向与化学位梯度方向相反，即物质向着化学位下降的方向扩散。结论：扩散驱动力是化学位梯度。若△μ=0，则扩散不引起扩散物质的浓度分布改变。
观察者
19
第二章
固体结构
因为式(1)、(2)相等，所以有：
(DA ∂ρA/∂x-D ∂ρA/∂x)/ρA=(DB ∂ρB/∂x-D ∂ρB/∂x)/ρB (DAρB-DρB）∂ρA/∂x=(DBρA-DρA）∂ρB/∂x
假设扩散时晶体密度不变，有：ρA+ρB =常数因此： ∂ρA/∂x+ ∂ρB/∂x=0，即：∂ρA/∂x =-∂ρB/∂x 故：（DAρB-DρB）∂ρA/∂x=（DρA-DBρA）∂ρA/∂x
14
第二章
固体结构
2、高斯解在B 金属长棒一端沉积一极薄层A金属（质量为M），在A金属薄层一端再连接B 金属长棒。加热扩散偶。A原子向两侧金属棒B 中扩散。 ρ 2ρ D 对于方程 t x 2
B A B
初始及边界条件为： t=0 时,x=0,ρ=∞；x≠0,ρ=0 t＞0 时,x=±∞,ρ=0 若D为常数，方程的解为： M x2 t) (x, exp( ) 4Dt 2 πDt
固体结构
2、柯肯达尔效应
Mo丝标记
Cu
JCu
JNi
Ni
钼丝标记位移表明向左和向右越过标记面的扩散原子数目不等。此现象称为柯肯达尔效应。原因：Cu和Ni原子具有不同的扩散系数。其反映了置换固溶体中的互扩散现象。

环境流体力学第二章分子扩散..

M x F( , )0 c Dt Dt
M x c( x, t ) f( ) 4 Dt 4 Dt
c ( x, t ) x =f ( ) M 4 Dt 4 Dt
式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终的解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是[M]
确定待定函数f
第五节一维扩散方程的基本解
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
进一步令 (h ) df ，有 2h f:
dh
d 0 dh
df dh f 2h ln f ln h
1 2
df 2h f k1 即θ =常数k1,因此有：。 dh
ln A
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:
2 df h 2h f 0 它的通解为： f k0e dh
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节一维扩散方程的基本解
1.定解条件一维分子扩散方程：
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：（1）初始条件： c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大，分布曲线愈平坦。

扩散方程 (2)

扩散方程引言扩散方程是描述物质扩散现象的方程之一。

在自然界中，扩散是一种常见的物理现象，例如气体的自由扩散、液体中的溶质扩散以及热量的传导等都可以通过扩散方程来描述。

扩散方程在物理学、化学、工程学等领域都有广泛的应用。

扩散方程的基本概念扩散是指物质由高浓度区域朝向低浓度区域的自发运动。

在数学上，扩散过程可以用扩散方程来描述。

扩散方程是一个偏微分方程，一般形式可以写为：$$ \\frac{{\\partial u}}{{\\partial t}} = D \\cdot \ abla^2 u $$其中，u是描述扩散物质浓度的函数，u是时间，u是扩散系数，uuuu2表示拉普拉斯算子。

上述方程可以解释为：物质的浓度随时间的变化率等于扩散系数和浓度分布的二阶导数之积。

扩散方程的求解方法扩散方程是一个偏微分方程，通常需要采用数值方法来求解。

以下介绍几种常见的求解方法。

有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用方法之一。

基本思想是将求解区域离散化为有限个点，并通过近似求解偏微分方程的导数。

具体步骤如下：1.将求解区域网格化，并给出相应初始条件和边界条件；2.将扩散方程转化为差分格式，例如中心差分格式；3.迭代计算网格中的节点的值，直到达到收敛条件。

有限差分法的优点是简单易行，适用于一维、二维以及三维空间的扩散问题。

但是其精度较低，对网格尺寸和时间步长的选择敏感。

有限元法有限元法是一种广泛应用于求解偏微分方程的数值方法。

其基本思想是将求解区域分割为有限个单元，并在每个单元内逼近解的形式，然后通过拼接所有单元的解来得到整体的解。

具体步骤如下：1.将求解区域分割为有限个单元，并给出相应初始条件和边界条件；2.在每个单元内选择适当的插值函数形式，建立单元内的近似解；3.将各个单元的近似解拼接起来，形成整体的解；4.通过求解线性方程组得到近似解的系数。

有限元法的优点是适用于复杂几何形状的求解区域，精度较高，并且对网格尺寸的选择相对灵活。

固体扩散机制及扩散动力学方程

求解过程
是两根成分均匀的等截面金属棒，设A，B是两根成分均匀的等截面金属棒，长度符合上，是两根成分均匀的等截面金属棒述无穷长的要求。的成分是的成分是C 的成分是C 述无穷长的要求。A的成分是 2，B的成分是 1。将两根的成分是金属棒加压焊上，形成扩散偶。取焊接面为坐标原点，金属棒加压焊上，形成扩散偶。取焊接面为坐标原点，扩散方向沿X方向，扩散偶成分随时间的变化如图5所示，所示，扩散方向沿方向，扩散偶成分随时间的变化如图所示方向求解菲克第二定律。求解菲克第二定律。
1）稳定扩散稳定扩散是指在垂直扩散方向的任一平面上，单位时间内通过该平面单位面积的粒子数一定，即任一点的浓度不随时间而变化， J=const。
∂C = 0 ∂t
2）不稳定扩散不稳定扩散是指扩散物质在扩散介质中浓度随时间发生变化。扩散通量与位置有关。
二、菲克第一定律
1858年，菲克（Fick）参照了傅里叶（Fourier）于 1822年建立的导热方程，获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式。假设有一单相固溶体，横截面积为A，浓度C不均匀，在dt时间内，沿方向通过处截面所迁移的物质的量与处的浓度梯度成正比：
（一）一维稳态扩散作为一个应用的实例，我们来讨论气体通过金属膜的渗透过程。设金属膜两侧气压不变，是一个稳定扩散过程。根据积分得：
x = δ c = s
x = 0
∫
J =
x
dx D
= s
2
− −
c = s
∫
1
Ddc
2
J
s
x
δ
1
氢对金属膜的一维稳态扩散
因为气体在金属膜中的溶解度与气体压力有关，令S=kP，而且通常在金属膜两测的气体压力容易测出。因此上述扩散过程可方便地用通过金属膜的气体量F表示：

金属物理之扩散

2.1
概述
一、扩散的定义
◆ 扩散就是物质中原子或分子的迁移现象，是物质传输的一种方式。实践经验告诉我们，除了一些特殊情况外，一个成分不均匀的单相体系会趋于变成成分均匀的体系。这一均匀化的过程就是原子或分子扩散的过程。其实质是原子无规则布朗运动。人们对气体和液体中的扩散现象并不陌生，如气味飘散，向静水中滴加墨水等，虽然扩散现象在固态物质中不易察觉，但确实存在。金属晶体中的扩散是指原子在晶体中的迁移过程，它与缺陷运动密切相关。与液体或气体一样，金属中扩散的本质也是在热激活缺陷的不断产生和复合过程中，原子不断由一处向另一处作无规则运动。许多材料加工过程就是利用扩散来实现工艺目的的，比如铸件的均匀化退火、金属扩散焊连接、金属表面渗碳、粉末合金烧结、高温蠕变、金属凝固、相变等，都与扩散有密切联系。
一、稳态扩散
所谓稳态扩散，就是扩散的浓度场各处的浓度保持不变时，即浓度场不随时间而变。
稳态扩散通常是在恒边界条件，即在边界浓度保持不变的情况下，有限尺寸的试样经历比较长的时间扩散后达到的一种平衡状态。
当D为常数时：
c 0 2c 0 t
A和B是常数，根据边界条件来确定
1、一维扩散
如果在扩散系统内存在物质的源和阱，那么系统内就有物质的产生和湮灭。根据物质守恒原理，在一个体积元内△v 内，单位时间内流入这体积的物质与流出这体积的物质的差值就等于个体积单元在这一时间段的物质积聚或消失的速度。单位时间内的物质变化量：
J x,y,z J x i J y j J z k
2、按扩散方向与浓度梯度的方向的关系分为
① 下坡扩散下坡扩散是沿着浓度降低的方向扩散，使浓度趋于均匀化（如渗碳）。 ② 上坡扩散沿着浓度提高的方向扩散即为上坡扩散，使浓度发生两极分化。上坡扩散的驱动力也可以是弹性应力梯度、电位梯度或温度梯度。

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散.

可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。

第二章扩散的机制扩散方程及其解

2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
J dm 1
dt 4r2
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
第二十页，课件共有135页
dmD4r2 dC
dt
dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
r2 r1
dmdr C2
dtr2
C1
4DdC
由稳态扩散条件
J
a
H
J
g
H
JH aD aCgaalaC 1D laafaH a i faH 1 a
JH g Dg C2 lgCggaD lgg a fH gg a fH ig
C 1 C 2 分别为H在两相中的浓度;
a a 分别为H在两相中的活度; ag
f a f g 分别为H在两相中的活度系数;
第二十第五二十页五页，，课课件件共共有13有5页135页
x2 x1
ddm t dxCC12
DAdC
扩散物质的流量
d dm tx2x1D AC2C1
dmD AC 2C 1D AC 2C 1
dt
x2x1
l
l ：x1与x2两点间距离
第十第六十六页页，，课课件件共共有有1315页35页
2.1.1 菲克第一定律及其应用
例 8.1 推导欧姆定律
ΔC 引起的电位差 U C K
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
两相层的厚度
a相的厚度为
la
g相的厚度为
lg
设扩散物质为氢 (H)，由于它在
a相与g相中具有一定的溶解度
aa
aa faC1
ag fg C2

扩散方程得解

扩散方程是描述物质分子在浓度梯度下扩散过程的方程。

一般来说，扩散方程是一个偏微分方程，其一维形式可以写作：
∂C/∂t = D ∂²C/∂x²
其中，C是物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。

求解一维扩散方程的一般方法是使用分离变量法或者傅里叶变换等数学方法。

以下是分离变量法的基本步骤：
1. 假设解具有形式C(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)是与空间坐标x有关的函数，T(t)是与时间t有关的函数。

2. 将以上假设带入扩散方程，得到两个方程：
∂C/∂t = X(x) dT/dt
∂²C/∂x² = X''(x) T(t)
3. 将以上两个方程合并，得到两个独立的常微分方程：
X(x) dT/dt = D X''(x) T(t)
4. 根据方程两边等式的常数等于常数的性质，可以得到两个常微分方程：
dT/dt = λ T(t)
X''(x) = λ/D X(x)
5. 解上述两个常微分方程，分别得到T(t)和X(x)的通解。

6. 应用边界条件和初始条件来确定通解中的任意常数，得到特定问题的特解。

通过以上步骤，可以得到一维扩散方程的解。

需要注意的是，在实际应用中，扩散方程往往是一个更加复杂的方程，并可能包含更多的影响因素，求解过程可能更加复杂。

因此，具体问题的求解还需要根据实际情况进行适当的假设和边界条件的处理。

第二章+扩散的机制、扩散方程及其解

材料科学基础_固体中的扩散

扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.

热传导方程与扩散方程

固体扩散机制及扩散动力学方程

扩散方程讲解

扩散原理PPT课件

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散

第二章扩散

扩散方程 (2)

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环境流体力学第二章分子扩散..

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