中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案.doc

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图（ 9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太

阳能热水器：先安装支架AB 和 CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上 .为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为 1 ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为

2 ，并已知tan

1

1.082 ，

tan

2

0.412 ．如果安装工人确定支架AB 高为25cm，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？

【答案】

【解析】

过

A 作AF CD 于F ，根据锐角三角函数的定义用θ、θ表示出 DF、 EF的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据 DC=DE+EC进行解答即可．

2．在矩形ABCD中， AD＞AB，

点P 是CD边上的任意一点（不

含

C， D 两端点），过点P

作 PF∥BC，交对角线BD 于点F．

（1）如图 1，将△ PDF沿对角线 BD 翻折得到△ QDF，QF 交 AD 于点 E．求证：△ DEF是等腰三角形；

（2）如图 2，将△ PDF绕点 D 逆时针方向旋转得到△ P'DF'，连接 P'C， F'B．设旋转角为α（0°＜α＜ 180°）．

①若 0°＜α＜∠ BDC，即 DF'在∠ BDC的内部时，求证：△ DP'C∽ △ DF'B．

②如图 3，若点 P 是 CD 的中点，△ DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时

tan∠ DBF'的值，如果不能，请说明理由．

【答案】（ 1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 1

或 3 .

2 3

【解析】

【分析】（ 1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠ DFQ=∠ ADF，所以△ DEF是等腰三角

形；

（2）①由于 PF∥ BC，所以△ DPF∽△ DCB，从而易证△DP′F∽′△ DCB；

②由于△ DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行

分类讨论．

【详解】（ 1）由翻折可知：∠ DFP=∠ DFQ，

∵PF∥ BC，∴∠

DFP=∠ ADF，∴∠

DFQ=∠ ADF，

∴△ DEF是等腰三角形；

（2）①若 0°＜α＜∠ BDC，即 DF'在∠ BDC 的内部时，

∵∠ P′ DF∠′=PDF，

∴∠ P′ DF﹣∠′F′ DC=∠PDF﹣∠ F′，DC

∴∠ P′ DC=∠F′ DB，

由旋转的性质可知：△ DP′F≌′△ DPF，

∵P F∥ BC，

∴△ DPF∽ △ DCB，

∴△ DP′∽F△′DCB

∴DC DP ' ，

DB DF '

∴△ DP'C∽ △DF'B；

②当∠ F′ DB=90时°，如图所示，

1

∵D F′ =DF=BD，

2

DF ' 1

∴，

BD 2

DF ' 1

∴tan ∠ DBF ′=；

BD 2

当∠ DBF′=90，°此时 DF′是斜边，即 DF′＞ DB，不符合

题意；当∠ DF′B=90时°，如图所示，

1

∵D F′ =DF=BD，

2

∴∠ DBF ′ =30，°

3

∴tan ∠ DBF ′= .

3

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似

三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定

理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.

3．已知 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°，点 D、 E 分别在 BC、 AC边上，连结BE、 AD 交于点 P，设AC=kBD， CD=kAE，k 为常数，试探究∠ APE的度数：

（1）如图 1，若 k=1，则∠ APE的度数为；

（2）如图 2，若 k= 3，试问（ 1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成

立，求出∠APE的度数．

（3）如图 3，若 k= 3，且 D、 E 分别在 CB、 CA 的延长线上，（ 2）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（ 1） 45°；（ 2）（ 1）中结论不成立，理由见解析；（3）（ 2）中结论成立，理

由见解析 .

【解析】

分析：（ 1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF， BF=AD，进而判断出△F AE≌△ ACD，得出 EF=AD=BF，再判断出∠ EFB=90 °即可得出结论；，

（2）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF， BF=AD，进而判断出

△FAE∽△ ACD，再判断出∠ EFB=90，°即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF， BF=AD，进而判断出

△ACD∽ △ HEA，再判断出∠ EFB=90，°即可得出结论；

详解：（ 1）如图 1，过点 A 作 AF∥ CB，过点 B 作 BF∥ AD 相交于 F，连接 EF，

∴∠ FBE=∠APE，∠ FAC=∠ C=90 ，°四边形 ADBF 是平行四边形，

∴BD=AF，

BF=AD．∵AC=BD， CD=AE，

∴A F=AC．

∵∠ FAC=∠ C=90 ，°

∴△ FAE≌ △ ACD，

∴EF=AD=BF，∠ FEA=∠

ADC．∵∠ ADC+∠ CAD=90 ，°

∴∠ FEA+∠ CAD=90 =°∠ EHD．

∵AD∥ BF，

∴∠ EFB=90．°

∵EF=BF，∴∠

FBE=45，°∴∠

APE=45 ．°

（2）（ 1）中结论不成立，理由如下：

如图 2，过点 A 作 AF∥CB，过点 B 作 BF∥ AD 相交于 F，连接 EF，

∴∠ FBE=∠APE，∠ FAC=∠ C=90 ，°四边形 ADBF 是平行四边形，