反比例函数对称性研究

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反比例函数的图像与性质

反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质
汇报人:XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$($k$ 为常数,$k neq 0$)的函数称 为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像,可以判断其单调性。当比例系数大于0时,函数图像在第一、三象限内单调递 减;当比例系数小于0时,函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导,通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时,函数单调递增;当导数小于0时,函 数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的 综合应用
在解决某些实际问题时,可以将反比例函数 与一次函数结合起来,例如分段函数中的一 部分为反比例函数,另一部分为一次函数。 通过比较和分析这两个函数的图像和性质, 可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的 综合应用
在某些复杂的问题中,可能需要同时考虑反 比例函数和二次函数的性质。例如,在经济 学中研究成本、收益与产量之间的关系时, 可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数 的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称,即 如果点(x, y)在图像上,那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上,那么点(y, x)和(-y, -x)也在 图像上。

利用反比例函数图像对称性巧解

利用反比例函数图像对称性巧解

实际应用举例
在经济学中,反比例函数常被用来描述成本、收益等经济量之间的关系。利用反比例函数的对称性, 可以分析不同经济量之间的变化关系,为经济决策提供依据。
在物理学中,反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系,如万有引力定律。利用反比例函数的对 称性,可以分析物体之间的相互作用力,解释一些物理现象。
无界性
虽然反比例函数没有周期性,但 它在每个象限内都是无界的,即 随着x的增大或减小,y的值可以 无限接近但永远不会等于0。
03 巧解题方法一: 利用对称性求值
已知函数值求自变量
观察反比例函数图像,确定函数值的对称中心。
利用对称性,找到与已知函数值关于对称中心对 称的点。 根据反比例函数的性质,求出对应自变量的值。
观察图像
通过反比例函数的图像,我们可 以直观地观察到函数在不同区间 上的单调性。
对称性分析
利用反比例函数的对称性,我们 可以判断函数在关于原点对称的 区间上具有相同的单调性。
导数法
通过对反比例函数求导,我们可 以得到其导函数,进而判断函数 的单调性。
最值问题求解
闭区间上最值
如果反比例函数定义在闭区间上,我们可以通过比较端点 值和极值点来确定最值。
通过观察图像,可以直观判断方程的根是否存在,以及根的大致范围。
不等式求解问题
利用反比例函数图像的对称性,可以简化不等式的求解过程。
对于形如 $f(x) > 0$ 或 $f(x) < 0$ 的不等式,可以根据反比例函数的单 调性和对称性,快速确定不等式的解集。
特别是在解决一些复杂的不等式问题时,利用对称性可以避免繁琐的计算 过程,提高解题效率。
利用反比例函数图像对称性 巧解
汇报人:XXX 2024-01-29

反比例函数关于直线对称

反比例函数关于直线对称

反比例函数关于直线对称反比例函数是一种特殊的函数类型,又称为倒数函数。

它的定义域为实数集,但其值域则不包含0。

反比例函数的图像为一个双曲线。

对于任意反比例函数f(x),设其表达式为f(x)=k/x,其中k为常数且不等于0。

设一条直线为y=a(a为常数)。

若f(x)对称于直线y=a,则有:f(x)-a=-[f(2a-x)-a]由此可以推导出:整理得到:x=(k/a+2a-k/x)/2通过移项和通分,得到:化简得到:更进一步,得到:由此,我们得到了关于反比例函数关于直线y=a的对称公式。

这个公式可以帮助我们求出反比例函数在对称轴y=a处的对称点坐标,具有实际的应用价值。

需要注意的是,在反比例函数定义域内,函数值随着自变量的增大而减小。

对于不同的对称轴y=a,反比例函数的图像在对称轴左侧和右侧的形态并不相同。

通过对反比例函数和直线的对称性进行分析,我们可以得到反比例函数关于直线对称的公式,并进一步应用到具体实践当中。

这对于理解和解决相关问题具有重要意义。

反比例函数在实际应用中具有广泛的应用。

在电学中,电路中电阻与电流的关系、电动势与电流的关系都可以表示为反比例函数。

再在经济学中,多种经济指标之间的关系也可以表示为反比例函数。

反比例函数对于经济学和环境学的研究尤为重要。

在资源分配和环境治理方面,反比例函数经常被用来研究经济增长与环境保护之间的关系。

在这个领域中,反比例函数表示了经济增长和环境破坏之间的关系,通过调节其参数可以平衡经济发展与环境保护之间的矛盾。

反比例函数还可以解决诸如汽车保险费用计算、员工工资计算等与相对大小相关的问题。

在这些问题中,反比例函数可以表达出各因素间的等比关系,帮助我们快速准确地计算出相应的数值。

在高中数学教学中,反比例函数也占有重要地位。

反比例函数的图像为双曲线,这对于学生的直观理解十分重要。

反比例函数的定义、性质和应用也是高中数学课程的重要内容之一。

在教学实践中,借助于反比例函数的对称性,可以对学生进行练习和测试,提高学生的数学分析能力。

反比例函数的性质

反比例函数的性质

反比例函数定义一般的,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0),其中k叫做反比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。

k大于0时,图像在一、三象限。

k小于0时,图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

反比例函数图像及性质反比例函数图像:1.反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0,函数值y≠0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴,但不会与坐标轴相交(y≠0)。

反比例函数性质:1.[增减性]当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0;值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交,也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=x y=-x (即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B 两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n^2+4k·m≥(不小于)0。

反比例函数的性质

反比例函数的性质

反比例函数定义一般的,如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y=k/x(k 为常数, k≠0),其中 k 叫做反比例系数, x 是自变量,y 是自变量 x 的函数,x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 ,且y 也不能等于 0。

k 大于 0 时,图像在一、三象限。

k 小于 0 时,图像在二、四象限 .k 的绝对值表示的是 x 与 y 的坐标形成的矩形的面积。

反比例函数图像及性质反比例函数图像:1.反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量 x≠0,函数值 y≠0,所以,它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

2. 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 x 轴、 y 轴,但不会与坐标轴相交( y≠ 0)。

反比例函数性质:1.[ 增减性 ] 当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内, y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而增大。

2.k>0 时,函数在 x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数; k<0 时,函数在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。

定义域为x≠0;值域为y≠ 0。

3.因为在 y=k/x(k ≠ 0) 中, x 不能为 0, y 也不能为 0,所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交,也不可能与 y 轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,过点 P,Q分别作 x 轴, y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为 S1, S2 则 S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x (即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。

反比例函数对称性

反比例函数对称性

反比例函数的定义域为除去使分母为 0的点外的所有实数,即{ x | x ≠ 0 } 。
VS
反比例函数的值域同样为所有非零实 数,即{ y | y ≠ 0 }。
函数的单调性
在各自象限内,反比例函数是单调的。具体来说,在第一、三象限内,随着x的 增大,y值逐渐减小;在第二、四象限内,随着x的增大,y值逐渐增大。
反比例函数对称性
汇报人:XXX
汇报时间:2024-01-22
目录
• 引言 • 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的对称性 • 反比例函数的应用 • 总结与展望
01
引言
函数的定义
01
02
函数是一种特殊的关系,它使得每个输入值对应一个且仅一个输出值 。
函数通常表示为 y = f(x),其中 x 是自变量,y 是因变量,f 表示对 应关系。
推导了反比例函数对称性的数学表达式
基于反比例函数的定义和性质,我们推导出了其对称性的数学表达式。该表达式不仅描述了函数图像关于原点的对称 性,还揭示了函数值在对称点处的数量关系。
探讨了反比例函数对称性的应用
结合实例,我们探讨了反比例函数对称性在解决实际问题中的应用。例如,在物理学、工程学等领域中 ,反比例函数的对称性可用于描述某些物理量之间的关系,从而简化问题的分析和求解过程。
01
工程学
在工程学中,反比例函数可用 于描述某些物理量之间的关系 ,如电阻、电容和电感之间的
关系。
02
生物学
生物学中的一些现象也可以用 反比例函数来描述,如生物体 的新陈代谢速率与生物体大小
之间的关系。
03
社会学
在社会学中,反比例函数可以 描述一些社会现象,如城市人 口密度与生活质量之间的关系

利用反比例函数图像对称性巧解题

利用反比例函数图像对称性巧解题

利用反比例函数图像对称性巧解题林艺彬(福建省漳州市第三中学㊀363000)摘㊀要:反比例函数图像应用的最突出性质就是对称性ꎬ运用函数图像的对称性能够解决大量的数学问题.本文基于反比例函数对称性的描述ꎬ谈利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法.关键词:函数ꎻ图像ꎻ对称性ꎻ解题中图分类号:G632㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2022)35-0023-03收稿日期:2022-09-15作者简介:林艺彬(1982.10-)ꎬ女ꎬ福建省漳州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀反比例函数是初中数学课程中的重要组成部分ꎬ同时对学生而言也是一个学习难点ꎬ其知识内容呈现出较为复杂抽象的特征.学习反比例函数的前提便是画好函数图像ꎬ在此基础上对函数图像的对称性进行研究ꎬ引导学生就函数图像对称性做到综合运用ꎬ对培养学生的数学思维与解题能力有着十分重要的作用.如今ꎬ伴随新课改的持续推行ꎬ针对反比例函数对称性解题的教学方法层出不穷ꎬ总体上都是向细致化与科学化发展ꎬ对教学实践起到了显著的促进作用.在此ꎬ笔者基于个人教学经验ꎬ同时借鉴一些成熟的教学案例ꎬ提出利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法ꎬ仅供参考.1反比例函数图像的对称性要想让学生学好反比例函数ꎬ前提便是能够让学生正确作图.函数作图主要包括三个步骤ꎬ分别是列表㊁描点及连线.反比例函数图像是一个中心对称图形ꎬ其坐标原点即是图形的对称中心ꎬ同时反比例函数也是一个轴对称图形ꎬ对称轴是直线y=x或y=-x.在实际解题过程中ꎬ反比例函数的对称性性质有着十分广泛的应用ꎬ如对于 图形面积的求解 或是 存在性 等相关问题ꎬ便可采用该性质来进行解决.对于反比例函数y=5xꎬ其中说法正确的是?①此函数图像属于轴对称图形ꎻ②此函数图像属于中心对称图形ꎻ③点(5ꎬ-1)是图像上一点ꎻ④在x的正半轴ꎬy随x减小而增大.通过反比例图像可以得出ꎬ反比例既是中心对称ꎬ也是轴对称图形ꎬ在每个象限内ꎬy随x减小而增大.由此可见ꎬ利用反比例函数图像的对称性解决相关类型的题目ꎬ能够实现复杂问题的简单化处理ꎬ有利于提升学生的解题效率.2利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法㊀㊀反比例函数的表达式为y=kx(kʂ0)ꎬ图像是双曲线ꎬ其不仅为轴对称图形ꎬ同时也属于中心对称图形.在平面直角坐标系当中利用反比例函数图像的对称性ꎬ可以帮助学生巧妙地解决相关题目.而关于反比例函数图像的对称性问题ꎬ可主要分成下面的这三种情形.2.1图象为中心对称图形ꎬ对称中心是坐标原点例1㊀如图1ꎬ双曲线y=kx与直线y=mx相交32于A㊁B两点ꎬB点坐标为(-2ꎬ-3)ꎬA点坐标为(㊀㊀).A.(-2ꎬ-3)㊀㊀㊀㊀B.(2ꎬ3)C(-2ꎬ3)D.(2.-3)图1解析㊀由于已知条件双曲线y=kx与直线y=mx相交于A㊁B两点ꎬ可以画出关于原点(0ꎬ0)对称的中心对称图形ꎬ当得知B点坐标为(-2ꎬ-3)ꎬ通过利用中心对称图形的横纵坐标互为相反数的定理ꎬ得到A点坐标为(2ꎬ3).结论1㊀双曲线y=kx与直线y=mx相交于A㊁B两点ꎬ则A㊁B两点关于原点成中心对称ꎬ基于中心对称图形的横纵坐标互为相反数ꎬA点坐标为(aꎬb)ꎬB点坐标则为(-aꎬ-b).2.2图象为轴对称图形ꎬ对称轴为直线y=x或y=-x例2㊀如图3ꎬ点A㊁B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上ꎬ点A与点B关于直线y=x对称ꎬ若点A(1ꎬ2)ꎬ则B的坐标为.图3解析㊀基于点A与点B关于直线y=x对称的已知条件ꎬ可互换横纵坐标ꎬ即(aꎬb)变换为(bꎬa).已知点A的坐标为(1ꎬ2)ꎬ那么点B的坐标为(2ꎬ1).结论2㊀反比例函数图象关于直线y=x对称ꎬ其对称点为A(aꎬb)㊁B(bꎬa)ꎬ呈现出横纵坐标互换的点坐标特征.例3㊀如图4ꎬ圆A和圆B的圆心在反比例函数y=1x上ꎬ且圆A和圆B都与x轴和y轴相切ꎬ求阴影部分的面积?图4解析㊀由圆A和圆B的圆心在反比例函数y=1x上ꎬ且都与x轴和y轴相切可以得出两个圆的半径为1ꎬ由反比例函数对称性得出ꎬ阴影部分面积可以转化为圆A或圆B的面积ꎬ问题就有效解决.结论3㊀反比例函数图象关于直线y=-x对称ꎬ其对称点为A(aꎬb)㊁B(-bꎬ-a)ꎬ呈现出横纵坐标互换且互为相反数的点坐标特征.3反比例函数与几何综合题的方法分析反比例函数与几何综合有着密不可分的关系ꎬ针对于这种类型的题目ꎬ教师可引导学生从以下几种思路来进行处理:一是就关键点处入手ꎬ基于关键点坐标及线段长度的相互转化ꎬ将函数特征和几何特征相结合而展开研究ꎻ二是围绕函数特征与几何特征进行组合㊁转化及列方程求解ꎬ如果能够有效利用反比例函数的模型ꎬ便可快速实现将函数特征向几何特征转化的目的.例4㊀已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1x的图象上ꎬ且点A的横坐标是2ꎬ则矩形ABCD的面积为.解析㊀关于这道题的解答ꎬ首先需要进行图象的绘制(见图5)ꎬ通过分析可知矩形既是轴对称图形同时也是中心对称图形ꎬ那么关于直线y=x轴对称ꎬ需要实现横纵坐标的互换ꎬ而基于原点对称ꎬ便是横纵坐标互为相反数ꎬ已知的A的横坐标2ꎬ便可得到A㊁B㊁C㊁D的坐标ꎬ之后用到两点间的距离公式42A(x1y1)B(x2y2)ꎬAB=(x1-x2)2+(y1-y2)2ꎬAD=(x1+x2)2+(y1+y2)2ꎬ再结合S矩形=AB AD的面积公式ꎬ便可求出具体的图形面积.方法一㊀以上为一种最基本的算法ꎬ具体计算过程为AB=(2-12)2+(12-2)2=322ꎬAD=(2+12)2+(12+2)2=522ꎬS矩形=AB AD=322 522=152.图5㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图6方法二㊀如图6ꎬ得到SΔAOB=S梯形ABEF=158ꎬS矩形=4ˑ158=152.4反比例函数图像对称性解题的教学方法4.1加入实例ꎬ增强学生反比例函数概念认知在实际教学中ꎬ我们发现许多学生的记忆力都是很好的ꎬ可将教师在课堂上讲解的概念内容及时地记忆下来ꎬ但之后由于未能掌握相关学习方法且不愿意动脑ꎬ对数学学习便逐渐丧失了兴趣.数学教育并非是以单纯引导学生记忆数学概念与公式为主要目的ꎬ教师要通过教学让学生感到数学学习是一种乐趣㊁一种享受.如此ꎬ教师便要致力于激活学生的思维能力ꎬ调动学生学习兴趣ꎬ将难懂的反比例函数概念与实例相结合ꎬ帮助学生更好地理解与分析ꎬ减轻知识学习难度.以实际事例展开教学可丰富课堂内容与增强课堂教学的趣味性ꎬ而学生在不断地数学学习中也会实现数学思想的有效掌握ꎬ有利于其综合素养的培养.4.2引导积累ꎬ提升学生学习主观能动性反比例函数对称性的相关理论知识的抽象性与复杂性极强ꎬ并不是仅凭几节课或是一段时间就能让学生完全领悟的ꎬ甚至于到了知识综合应用的解题环节ꎬ更是需要学生拥有较高的知识储备与应用能力.如此ꎬ教师便要引导学生去不断积累知识ꎬ同时做到长时间的坚持不懈ꎬ依照实际教学情境将反比例函数对称性的相关知识很好地融合起来ꎬ不断提升其个人认知ꎬ获知反比例函数对称性的实际价值与意义ꎬ这样一来ꎬ便能很好地提升学生学习的主观能动性.具体教学中ꎬ教师需要为学生提供一个自由㊁独立的学习空间ꎬ鼓励学生进行自主学习ꎬ而方法㊁教师都是其学习中的引导者ꎬ要为其发展提供关键力量.如可采用课题研究的教学模式ꎬ要求学生就反比例函数对称性的问题进行思考与探讨ꎬ将自身的想法与经验表达出来ꎬ同时吸收他人的宝贵意见ꎬ营造出一种团队合作与竞争的氛围.最后ꎬ还要把各个小组的劳动成果进行展示ꎬ先让学生进行自我点评ꎬ然后老师进行引导ꎬ这样不但突出了学生的主体地位ꎬ还实现了教师的引导作用.总之ꎬ反比例函数图象的对称性是学生解题中一个重要的性质ꎬ若灵活运用此性质ꎬ必然能够及时㊁正确地解决题目ꎬ进而为反比例函数相关知识的学习提供很大的方便.对此ꎬ教师应在充分把握反比例函数图象对称性这一性质的基础上ꎬ通过结合实际例题与运用合适的教学方法ꎬ帮助学生更好地理解㊁掌握反比例函数图像的对称性性质ꎬ培养其解题思维ꎬ切实促进初中生数学核心素养的发展.参考文献:[1]刘国强.用反比例函数图象的对称性解题[J].数理天地(初中版)ꎬ2021(4):2.[2]陈天宇.利用对称性求解反比例函数图象问题[J].初中数学教与学ꎬ2018(10X):3.[3]刘国强.反比例函数图象的对称性在解题中的运用[J].初中数学教与学ꎬ2021(1):3.[4]李志英.例说函数对称性在高考数学解题中的运用[J].高中数理化ꎬ2018(20):2.[责任编辑:李㊀璟]52。

反比例函数的图象和性质

反比例函数的图象和性质
奇偶性:反比例函数是奇函数,幂函数则根据指数的不同,可能是奇函 数或偶函数。
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反比例函数的图象和性质
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目录
01 02 03 04
添加目录项标题 反比例函数的图象 反比例函数的性质 反比例函数与其他函数的比较
01
添加目录项标题
02
反比例函数的图象
反比例函数的定义
反比例函数是一种数学函数,其定义为 y = k/x (k为常数且k≠0) 该函数在平面坐标系上的图像为双曲线 双曲线的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限 当k>0时,图像位于第一、三象限;当k<0时,图像位于第二、四象限
反比例函数与二次函数的比较
定义域:反比例函数的定义域为x≠0,而二次函数的定义域为全体实数。
值域:反比例函数的值域为y≠0,而二次函数的值域取决于开口方向和顶点位置。
函数图像:反比例函数的图像位于x轴和y轴之间,而二次函数的图像可能为开口向上或向下的抛 物线。
导数:反比例函数的导数在x=0处不存在,而二次函数的导义域和值域
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根据函数的表达式,在坐标系上 描点并绘制出反比例函数的图象
反比例函数图象的特性
反比例函数的图象是双曲线
反比例函数的图象在各自象限内 单调递减
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双曲线的两支分别位于第二、第 四象限
反比例函数的图象与坐标轴无限 接近但永不相交
反比例函数的奇偶性
奇函数:满足f(-x)=-f(x) 偶函数:满足f(-x)=f(x) 图像特点:关于原点对称 性质推导:利用极限思想推导
反比例函数的极限性质
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反比例函数对称性研究
万安中学 侯来合 2011/11/1
反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形,深刻理解反比例函数对称性,可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。

【反比例函数中心对称性研究】
中心对称:将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍,延长线的端点所组成的图形,叫做与原图形关于点O 成中心对称,点O 叫做对称中心。

在平面直角坐标系中,任意一点M (a,b )关于原点的中心对称点坐标为N (-a,-b )即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标,横坐标互为相反数,同时纵坐标也互为相反数。

在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M (a,b ),那么它关于原点的 中心对称点坐标为N (-a,-b )也一定在反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象上,由中心对称定义可知,反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象双曲线关于点O 成中心对称, 对称中心是坐标原点o,
【例1】已知反比例函数y=x
k (k ﹥0)的图象与y=mx 和 y=nx 相交与A B C D 四点,那么四边形ABCD 是( )
A 梯形
B 平行四边形
C 矩形
D 正方形
分析:因为反比例函数y=x
k (k ﹥0),y=mx ,y=nx 均关于点O 成中心对称,所以交点A 与C , B 与D ,关于点O 成中心对称,所以AO=OC OB=OD ,所以 四
边形ABCD 是平行四边形 故选(B )
【例2】已知:反比例函数y=x k 1与直线y=k 2x 相交与A (-1,m )B(n,3) 求: (1) mn
(2) 反比例函数和正比例函数的解析式
解:∵y=x
k 1与y=k 2x 均关于原点O 中心对称 ∴ A 关于原点O 中心对称与B
∴m=-3 n=1 ∴mn=-3
∴A(-1,-3) ∴-3=
11 k -3=k 2x(-1)
∴k 1=k 2=3
∴两函数的解析式为y=x
3和y=3x 【反比例函数轴对称性研究】
现证明一个结论的正确性,然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。

在平面直角坐标系中,任意一点M (a,b )关于y=x 的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x 的对称点坐标为H (-b,-a)
证明如下:如图,连接OM ON 并过M 做MP ⊥Y 轴 MQ ⊥X 轴
在⊿OPM 和 ⊿OQN 中
OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO
= ∠NQO=900
∴⊿OPM ≌⊿OQN
∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ
又因为Y=X 平分∠XOY
所以∠XOR=∠YOR=45度
所以∠MOR=∠NOR
由等腰三角形三线合一性质
可知 直线y=x 垂直平分MN
所以点M 点N 关于直线y=x
对称
同理可证M 与S 关于直线Y=-X 对称
在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M (a,b ),那么它关于y=x 对称点坐标为N (b,a )也一定在反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象上,由 轴 对称定义可知,反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象双曲线关于y=X 轴对称,同理可证 反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象双曲线关于y=-X 轴对称, 【拓展训练】
如图,直线y=-x+b 与反比例函数y=x
k (k ≠0)相交与M (m,3)N(n,-1) ,直线y=-x+b 与Y 轴, X 轴相交与A B 两点 ,点C (b,b )在第一象限
(1) 直接写出m 和n 的值
(2)求直线y=-x+b 与反比例函数y=x
k 的解析式 (3)求⊿MON 的面积
(4)直接写出x 为何值时反比例函数值大于一次函数值
(5)四边形OACB 是( )A 平行四边形 B 矩形 C 菱形
D 正方形。

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