反比例函数对称性研究
反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称 为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像，可以判断其单调性。当比例系数大于0时，函数图像在第一、三象限内单调递 减；当比例系数小于0时，函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函 数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的 综合应用
在解决某些实际问题时，可以将反比例函数 与一次函数结合起来，例如分段函数中的一 部分为反比例函数，另一部分为一次函数。 通过比较和分析这两个函数的图像和性质， 可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的 综合应用
在某些复杂的问题中，可能需要同时考虑反 比例函数和二次函数的性质。例如，在经济 学中研究成本、收益与产量之间的关系时， 可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数 的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即 如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上，那么点(y, x)和(-y, -x)也在 图像上。
利用反比例函数图像对称性巧解
实际应用举例
在经济学中，反比例函数常被用来描述成本、收益等经济量之间的关系。利用反比例函数的对称性， 可以分析不同经济量之间的变化关系，为经济决策提供依据。
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，如万有引力定律。利用反比例函数的对 称性，可以分析物体之间的相互作用力，解释一些物理现象。
无界性
虽然反比例函数没有周期性，但 它在每个象限内都是无界的，即 随着x的增大或减小，y的值可以 无限接近但永远不会等于0。
03 巧解题方法一： 利用对称性求值
已知函数值求自变量
观察反比例函数图像，确定函数值的对称中心。
利用对称性，找到与已知函数值关于对称中心对 称的点。 根据反比例函数的性质，求出对应自变量的值。
观察图像
通过反比例函数的图像，我们可 以直观地观察到函数在不同区间 上的单调性。
对称性分析
利用反比例函数的对称性，我们 可以判断函数在关于原点对称的 区间上具有相同的单调性。
导数法
通过对反比例函数求导，我们可 以得到其导函数，进而判断函数 的单调性。
最值问题求解
闭区间上最值
如果反比例函数定义在闭区间上，我们可以通过比较端点 值和极值点来确定最值。
通过观察图像，可以直观判断方程的根是否存在，以及根的大致范围。
不等式求解问题
利用反比例函数图像的对称性，可以简化不等式的求解过程。
对于形如 $f(x) > 0$ 或 $f(x) < 0$ 的不等式，可以根据反比例函数的单 调性和对称性，快速确定不等式的解集。
特别是在解决一些复杂的不等式问题时，利用对称性可以避免繁琐的计算 过程，提高解题效率。
利用反比例函数图像对称性 巧解
汇报人：XXX 2024-01-29
反比例函数关于直线对称
反比例函数关于直线对称反比例函数是一种特殊的函数类型，又称为倒数函数。
它的定义域为实数集，但其值域则不包含0。
反比例函数的图像为一个双曲线。
对于任意反比例函数f(x)，设其表达式为f(x)=k/x，其中k为常数且不等于0。
设一条直线为y=a（a为常数）。
若f(x)对称于直线y=a，则有：f(x)-a=-[f(2a-x)-a]由此可以推导出：整理得到：x=(k/a+2a-k/x)/2通过移项和通分，得到：化简得到：更进一步，得到：由此，我们得到了关于反比例函数关于直线y=a的对称公式。
这个公式可以帮助我们求出反比例函数在对称轴y=a处的对称点坐标，具有实际的应用价值。
需要注意的是，在反比例函数定义域内，函数值随着自变量的增大而减小。
对于不同的对称轴y=a，反比例函数的图像在对称轴左侧和右侧的形态并不相同。
通过对反比例函数和直线的对称性进行分析，我们可以得到反比例函数关于直线对称的公式，并进一步应用到具体实践当中。
这对于理解和解决相关问题具有重要意义。
反比例函数在实际应用中具有广泛的应用。
在电学中，电路中电阻与电流的关系、电动势与电流的关系都可以表示为反比例函数。
再在经济学中，多种经济指标之间的关系也可以表示为反比例函数。
反比例函数对于经济学和环境学的研究尤为重要。
在资源分配和环境治理方面，反比例函数经常被用来研究经济增长与环境保护之间的关系。
在这个领域中，反比例函数表示了经济增长和环境破坏之间的关系，通过调节其参数可以平衡经济发展与环境保护之间的矛盾。
反比例函数还可以解决诸如汽车保险费用计算、员工工资计算等与相对大小相关的问题。
在这些问题中，反比例函数可以表达出各因素间的等比关系，帮助我们快速准确地计算出相应的数值。
在高中数学教学中，反比例函数也占有重要地位。
反比例函数的图像为双曲线，这对于学生的直观理解十分重要。
反比例函数的定义、性质和应用也是高中数学课程的重要内容之一。
在教学实践中，借助于反比例函数的对称性，可以对学生进行练习和测试，提高学生的数学分析能力。
反比例函数的性质
反比例函数定义一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
k大于0时，图像在一、三象限。
k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
反比例函数图像及性质反比例函数图像：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。
反比例函数性质：1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
反比例函数的性质
反比例函数定义一般的，如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y=k/x(k 为常数， k≠0），其中 k 叫做反比例系数， x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 ,且y 也不能等于 0。
k 大于 0 时，图像在一、三象限。
k 小于 0 时，图像在二、四象限 .k 的绝对值表示的是 x 与 y 的坐标形成的矩形的面积。
反比例函数图像及性质反比例函数图像：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量 x≠0，函数值 y≠0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2. 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 x 轴、 y 轴，但不会与坐标轴相交（ y≠ 0）。
反比例函数性质：1.[ 增减性 ] 当 k>0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而增大。
2.k>0 时，函数在 x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数； k<0 时，函数在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠ 0。
3.因为在 y=k/x(k ≠ 0) 中， x 不能为 0， y 也不能为 0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与 y 轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1， S2 则 S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
反比例函数对称性
反比例函数的定义域为除去使分母为 0的点外的所有实数，即{ x | x ≠ 0 } 。
VS
反比例函数的值域同样为所有非零实 数，即{ y | y ≠ 0 }。
函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调的。具体来说，在第一、三象限内，随着x的 增大，y值逐渐减小；在第二、四象限内，随着x的增大，y值逐渐增大。
反比例函数对称性
汇报人：XXX
汇报时间：2024-01-22
目录
• 引言 • 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的对称性 • 反比例函数的应用 • 总结与展望
01
引言
函数的定义
01
02
函数是一种特殊的关系，它使得每个输入值对应一个且仅一个输出值 。
函数通常表示为 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f 表示对 应关系。
推导了反比例函数对称性的数学表达式
基于反比例函数的定义和性质，我们推导出了其对称性的数学表达式。该表达式不仅描述了函数图像关于原点的对称 性，还揭示了函数值在对称点处的数量关系。
探讨了反比例函数对称性的应用
结合实例，我们探讨了反比例函数对称性在解决实际问题中的应用。例如，在物理学、工程学等领域中 ，反比例函数的对称性可用于描述某些物理量之间的关系，从而简化问题的分析和求解过程。
01
工程学
在工程学中，反比例函数可用 于描述某些物理量之间的关系 ，如电阻、电容和电感之间的
关系。
02
生物学
生物学中的一些现象也可以用 反比例函数来描述，如生物体 的新陈代谢速率与生物体大小
之间的关系。
03
社会学
在社会学中，反比例函数可以 描述一些社会现象，如城市人 口密度与生活质量之间的关系
利用反比例函数图像对称性巧解题
利用反比例函数图像对称性巧解题林艺彬(福建省漳州市第三中学㊀３６３０００)摘㊀要:反比例函数图像应用的最突出性质就是对称性ꎬ运用函数图像的对称性能够解决大量的数学问题.本文基于反比例函数对称性的描述ꎬ谈利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法.关键词:函数ꎻ图像ꎻ对称性ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３５－００２３－０３收稿日期:２０２２－０９－１５作者简介:林艺彬(１９８２.１０－)ꎬ女ꎬ福建省漳州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀反比例函数是初中数学课程中的重要组成部分ꎬ同时对学生而言也是一个学习难点ꎬ其知识内容呈现出较为复杂抽象的特征.学习反比例函数的前提便是画好函数图像ꎬ在此基础上对函数图像的对称性进行研究ꎬ引导学生就函数图像对称性做到综合运用ꎬ对培养学生的数学思维与解题能力有着十分重要的作用.如今ꎬ伴随新课改的持续推行ꎬ针对反比例函数对称性解题的教学方法层出不穷ꎬ总体上都是向细致化与科学化发展ꎬ对教学实践起到了显著的促进作用.在此ꎬ笔者基于个人教学经验ꎬ同时借鉴一些成熟的教学案例ꎬ提出利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法ꎬ仅供参考.１反比例函数图像的对称性要想让学生学好反比例函数ꎬ前提便是能够让学生正确作图.函数作图主要包括三个步骤ꎬ分别是列表㊁描点及连线.反比例函数图像是一个中心对称图形ꎬ其坐标原点即是图形的对称中心ꎬ同时反比例函数也是一个轴对称图形ꎬ对称轴是直线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ.在实际解题过程中ꎬ反比例函数的对称性性质有着十分广泛的应用ꎬ如对于 图形面积的求解 或是 存在性 等相关问题ꎬ便可采用该性质来进行解决.对于反比例函数ｙ＝５ｘꎬ其中说法正确的是?①此函数图像属于轴对称图形ꎻ②此函数图像属于中心对称图形ꎻ③点(５ꎬ－１)是图像上一点ꎻ④在ｘ的正半轴ꎬｙ随ｘ减小而增大.通过反比例图像可以得出ꎬ反比例既是中心对称ꎬ也是轴对称图形ꎬ在每个象限内ꎬｙ随ｘ减小而增大.由此可见ꎬ利用反比例函数图像的对称性解决相关类型的题目ꎬ能够实现复杂问题的简单化处理ꎬ有利于提升学生的解题效率.２利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法㊀㊀反比例函数的表达式为ｙ＝ｋｘ(ｋʂ０)ꎬ图像是双曲线ꎬ其不仅为轴对称图形ꎬ同时也属于中心对称图形.在平面直角坐标系当中利用反比例函数图像的对称性ꎬ可以帮助学生巧妙地解决相关题目.而关于反比例函数图像的对称性问题ꎬ可主要分成下面的这三种情形.２.１图象为中心对称图形ꎬ对称中心是坐标原点例１㊀如图１ꎬ双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交３２于Ａ㊁Ｂ两点ꎬＢ点坐标为(－２ꎬ－３)ꎬＡ点坐标为(㊀㊀).Ａ.(－２ꎬ－３)㊀㊀㊀㊀Ｂ.(２ꎬ３)Ｃ(－２ꎬ３)Ｄ.(２.－３)图１解析㊀由于已知条件双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ可以画出关于原点(０ꎬ０)对称的中心对称图形ꎬ当得知Ｂ点坐标为(－２ꎬ－３)ꎬ通过利用中心对称图形的横纵坐标互为相反数的定理ꎬ得到Ａ点坐标为(２ꎬ３).结论１㊀双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ则Ａ㊁Ｂ两点关于原点成中心对称ꎬ基于中心对称图形的横纵坐标互为相反数ꎬＡ点坐标为(ａꎬｂ)ꎬＢ点坐标则为(－ａꎬ－ｂ).２.２图象为轴对称图形ꎬ对称轴为直线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ例２㊀如图３ꎬ点Ａ㊁Ｂ在反比例函数ｙ＝ｋｘ(ｘ>０)的图象上ꎬ点Ａ与点Ｂ关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ若点Ａ(１ꎬ２)ꎬ则Ｂ的坐标为.图３解析㊀基于点Ａ与点Ｂ关于直线ｙ＝ｘ对称的已知条件ꎬ可互换横纵坐标ꎬ即(ａꎬｂ)变换为(ｂꎬａ).已知点Ａ的坐标为(１ꎬ２)ꎬ那么点Ｂ的坐标为(２ꎬ１).结论２㊀反比例函数图象关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ其对称点为Ａ(ａꎬｂ)㊁Ｂ(ｂꎬａ)ꎬ呈现出横纵坐标互换的点坐标特征.例３㊀如图４ꎬ圆Ａ和圆Ｂ的圆心在反比例函数ｙ＝１ｘ上ꎬ且圆Ａ和圆Ｂ都与ｘ轴和ｙ轴相切ꎬ求阴影部分的面积?图４解析㊀由圆Ａ和圆Ｂ的圆心在反比例函数ｙ＝１ｘ上ꎬ且都与ｘ轴和ｙ轴相切可以得出两个圆的半径为１ꎬ由反比例函数对称性得出ꎬ阴影部分面积可以转化为圆Ａ或圆Ｂ的面积ꎬ问题就有效解决.结论３㊀反比例函数图象关于直线ｙ＝－ｘ对称ꎬ其对称点为Ａ(ａꎬｂ)㊁Ｂ(－ｂꎬ－ａ)ꎬ呈现出横纵坐标互换且互为相反数的点坐标特征.３反比例函数与几何综合题的方法分析反比例函数与几何综合有着密不可分的关系ꎬ针对于这种类型的题目ꎬ教师可引导学生从以下几种思路来进行处理:一是就关键点处入手ꎬ基于关键点坐标及线段长度的相互转化ꎬ将函数特征和几何特征相结合而展开研究ꎻ二是围绕函数特征与几何特征进行组合㊁转化及列方程求解ꎬ如果能够有效利用反比例函数的模型ꎬ便可快速实现将函数特征向几何特征转化的目的.例４㊀已知矩形ＡＢＣＤ的四个顶点均在反比例函数ｙ＝１ｘ的图象上ꎬ且点Ａ的横坐标是２ꎬ则矩形ＡＢＣＤ的面积为.解析㊀关于这道题的解答ꎬ首先需要进行图象的绘制(见图５)ꎬ通过分析可知矩形既是轴对称图形同时也是中心对称图形ꎬ那么关于直线ｙ＝ｘ轴对称ꎬ需要实现横纵坐标的互换ꎬ而基于原点对称ꎬ便是横纵坐标互为相反数ꎬ已知的Ａ的横坐标２ꎬ便可得到Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ的坐标ꎬ之后用到两点间的距离公式４２Ａ(ｘ１ｙ１)Ｂ(ｘ２ｙ２)ꎬＡＢ＝(ｘ１－ｘ２)２＋(ｙ１－ｙ２)２ꎬＡＤ＝(ｘ１＋ｘ２)２＋(ｙ１＋ｙ２)２ꎬ再结合Ｓ矩形＝ＡＢ ＡＤ的面积公式ꎬ便可求出具体的图形面积.方法一㊀以上为一种最基本的算法ꎬ具体计算过程为ＡＢ＝(２－１２)２＋(１２－２)２＝３２２ꎬＡＤ＝(２＋１２)２＋(１２＋２)２＝５２２ꎬＳ矩形＝ＡＢ ＡＤ＝３２２ ５２２＝１５２.图５㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６方法二㊀如图６ꎬ得到ＳΔＡＯＢ＝Ｓ梯形ＡＢＥＦ＝１５８ꎬＳ矩形＝４ˑ１５８＝１５２.４反比例函数图像对称性解题的教学方法４.１加入实例ꎬ增强学生反比例函数概念认知在实际教学中ꎬ我们发现许多学生的记忆力都是很好的ꎬ可将教师在课堂上讲解的概念内容及时地记忆下来ꎬ但之后由于未能掌握相关学习方法且不愿意动脑ꎬ对数学学习便逐渐丧失了兴趣.数学教育并非是以单纯引导学生记忆数学概念与公式为主要目的ꎬ教师要通过教学让学生感到数学学习是一种乐趣㊁一种享受.如此ꎬ教师便要致力于激活学生的思维能力ꎬ调动学生学习兴趣ꎬ将难懂的反比例函数概念与实例相结合ꎬ帮助学生更好地理解与分析ꎬ减轻知识学习难度.以实际事例展开教学可丰富课堂内容与增强课堂教学的趣味性ꎬ而学生在不断地数学学习中也会实现数学思想的有效掌握ꎬ有利于其综合素养的培养.４.２引导积累ꎬ提升学生学习主观能动性反比例函数对称性的相关理论知识的抽象性与复杂性极强ꎬ并不是仅凭几节课或是一段时间就能让学生完全领悟的ꎬ甚至于到了知识综合应用的解题环节ꎬ更是需要学生拥有较高的知识储备与应用能力.如此ꎬ教师便要引导学生去不断积累知识ꎬ同时做到长时间的坚持不懈ꎬ依照实际教学情境将反比例函数对称性的相关知识很好地融合起来ꎬ不断提升其个人认知ꎬ获知反比例函数对称性的实际价值与意义ꎬ这样一来ꎬ便能很好地提升学生学习的主观能动性.具体教学中ꎬ教师需要为学生提供一个自由㊁独立的学习空间ꎬ鼓励学生进行自主学习ꎬ而方法㊁教师都是其学习中的引导者ꎬ要为其发展提供关键力量.如可采用课题研究的教学模式ꎬ要求学生就反比例函数对称性的问题进行思考与探讨ꎬ将自身的想法与经验表达出来ꎬ同时吸收他人的宝贵意见ꎬ营造出一种团队合作与竞争的氛围.最后ꎬ还要把各个小组的劳动成果进行展示ꎬ先让学生进行自我点评ꎬ然后老师进行引导ꎬ这样不但突出了学生的主体地位ꎬ还实现了教师的引导作用.总之ꎬ反比例函数图象的对称性是学生解题中一个重要的性质ꎬ若灵活运用此性质ꎬ必然能够及时㊁正确地解决题目ꎬ进而为反比例函数相关知识的学习提供很大的方便.对此ꎬ教师应在充分把握反比例函数图象对称性这一性质的基础上ꎬ通过结合实际例题与运用合适的教学方法ꎬ帮助学生更好地理解㊁掌握反比例函数图像的对称性性质ꎬ培养其解题思维ꎬ切实促进初中生数学核心素养的发展.参考文献:[１]刘国强.用反比例函数图象的对称性解题[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２１(４):２.[２]陈天宇.利用对称性求解反比例函数图象问题[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１８(１０Ｘ):３.[３]刘国强.反比例函数图象的对称性在解题中的运用[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１):３.[４]李志英.例说函数对称性在高考数学解题中的运用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１８(２０):２.[责任编辑:李㊀璟]５２。
反比例函数的图象和性质
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目录
01 02 03 04
添加目录项标题 反比例函数的图象 反比例函数的性质 反比例函数与其他函数的比较
01
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02
反比例函数的图象
反比例函数的定义
反比例函数是一种数学函数，其定义为 y = k/x (k为常数且k≠0) 该函数在平面坐标系上的图像为双曲线 双曲线的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限 当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限
反比例函数与二次函数的比较
定义域：反比例函数的定义域为x≠0，而二次函数的定义域为全体实数。
值域：反比例函数的值域为y≠0，而二次函数的值域取决于开口方向和顶点位置。
函数图像：反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能为开口向上或向下的抛 物线。
导数：反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导义域和值域
添加标题
添加标题
根据函数的表达式，在坐标系上 描点并绘制出反比例函数的图象
反比例函数图象的特性
反比例函数的图象是双曲线
反比例函数的图象在各自象限内 单调递减
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
双曲线的两支分别位于第二、第 四象限
反比例函数的图象与坐标轴无限 接近但永不相交
反比例函数的奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 偶函数：满足f(-x)=f(x) 图像特点：关于原点对称 性质推导：利用极限思想推导
反比例函数的极限性质
验证反比例函数图像的对称性
验证反比例函数图像的对称性
实验目的：
借助透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观.
实验准备：
透明纸片，大头针（或图钉或圆规），剪刀.
活动一、验证反比例函数图像是中心对称图形.
（1）利用透明纸片验证.
利用实验手册附录9中的透明纸
当反比例函数在一三象限时：
将P绕O旋转180°得到P'.
几何证明：板书展示（略）
给学生展示改变P 的情况，体现所有点都满足. 同理，P＜0时上述结论依然成立.
活动二、验证反比例函数图像是轴对称图形.
当反比例函数在一三象限时：
验证P和P' '关于O中心对称，验证P和P '关于y x
中心对称. 几何证明：板书展示（略）
同理，当反比例函数过二四象限时依然成立.
结论：反比例函数图像既是中心对称图形又是轴对称图形，且对称中心是原点，对称轴有两条，分别是：y=x和y=-x.。
初中数学精品评课稿：反比例函数背景下的轴对称问题
关注学习本质，让学习真正发生——反比例函数背景下的对称问题评课稿一、汇报磨课的细节1.关于中考原题的讲解：第一次设计：呈现原题目，求K值及点A'的坐标，解法单一：解含30°角的直角三角形就可以。
第二次设计：考虑一题多解，一题多用，充分体现例题的作用，探究挖掘例题，确定四种方法：面积不变型、乘积不变性、对称性、勾股定理。
研讨过程：第一次设计：在试课的过程觉得解法单一，似乎知识完成了一道题的求解，我们认为本节课厚度不够，题目还没有充分发掘。
第二次设计：探究挖掘例题考虑一题多解，一题多用，充分体现例题的作用实现知识的梳理并提高学生的能力，为学生提供更多的解题经验。
2.关于课堂的拓展延伸：第一次设计：点D在AB-BC上运动，求点A关于AD的对称点落在双曲线上时，点A的坐标。
第二次设计：我们认为：点D在BC上运动，线段AB关于AD的对称线段A'B'与双曲线有交点，求BD的范围。
研讨过程：由静到动，渗透分类讨论思想思路很好，但第一次设计问题求解计算量较大，且复杂，太耗时间，解体思路不好理清。
由静到动，这是必须坚持的方向。
第二次设计改为在例题基础上，让点D在BC运动，探究线段A'B'与双曲线有交点情况，衔接自然，方法清晰（以静制动）。
有利于学生掌握方法,提升解决问题的能力。
二、关于这节课的感想1、开放起点，激发学生参与热情。
活动一：林老师设计开放的回顾情景，出示矩形折叠后的图形，问，根据信息，你能得出那些结论？通过这一个开放的问题，让基础较差的同学也能参与其中，通过学生观察思考得出不同结论，能更好的培养学生的发散思维，检验他们的知识起点，提高学生学习兴趣。
2、条件开放，引出原题。
活动二，AB向右移动一段距离，其他条件不变，问此时点A'的坐标如何表示？学生的思维受阻，问题不能解决，学生对问题质疑？林老师顺势提出问题，你能添加一个条件，使得点A'的坐标可以表示吗？让学生去思考，去发现，去解答，通过学生主动设计，把学习的主动权还给学生，经过如此一番，引出原题，时机恰到好处。
反比例函数常用知识点总结
反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数，通常用y=k/x表示，其中k为非零常数。
这种函数的图像是一个双曲线，具有对称轴。
二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。
2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。
3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。
4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。
6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点，即x=±√k。
当x→0时，y→±∞。
三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线，具有对称轴。
2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。
3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时，反比例函数的图像在第一和第三象限。
当k为负数时，反比例函数的图像在第二和第四象限。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。
2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系，比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。
3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系，比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。
五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义，可以求出反比例函数的定义域和值域。
2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质，可以求出反比例函数的零点和极限。
3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识，画出反比例函数的图像。
4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题，解决实际问题。
六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域，导致在解题过程中出现错误。
反比例函数的图像和性质2
例2、根据下图中点的坐标
y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
0
A(-2,b) .
x B (3,-1)
在双曲线上，求b的值。 (3)比较绿色部分和黄色部 分的面积的大小。
答：一样大。因为双曲线上任何一点 的横坐标与纵坐标的乘积是一个常数。
想一想
y
o B y= x A
5
如图：A、B是双曲线y= x 上的 任意两点 。 过A、B两点分别作
P(a,b)
X>0
填一填
2 1.函数 y 是 反比例 函数，其图象为双曲线 ， x
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0
.
6 2.函数 y 的图象位于第一、三 象限, x
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
6 3.函数 y 的图象位于第二、四象限, x
x
着|k|的增大，反比例函数的图象的位置相对于坐标原点 是越来越远还是越来越近？
结论三：
随着|k|的增大，反比例函数的图象的位置相对于坐标 原点会越来越远。
巩固练习
3、如图是三个反比例函数
k3 k1 k2 y1 , y2 , y3 x x x
在x轴上方的图象，由此观察得到( A k1 > k2 > k3 B k 3 > k2 > k 1 C k 2 > k1 > k3 D k3 > k1 > k2
3 y 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
例2、根据下图中点的坐标
y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
反比例函数(10个考点)九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(解析版)
专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．【分析】根据反比例函数的定义逐项判断选项求解．【解答】解：y＝4x为正比例函数，A选项不符合题意．2x+y＝4为一次函数，B选项不符合题意．y＝x2+3为二次函数，C选项不符合题意．y＝为反比例函数，D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查反比例函数的定义，解题关键是掌握y＝（k≠0）为反比例函数．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝﹣2．【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：∵y＝（m﹣2）是反比例函数，∴3﹣m2＝﹣1，m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是x≠2．【分析】此题对函数中x的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0的问题．【解答】解：根据题意x﹣2≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题主要是考查函数自变量x的取值问题，比较简单．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．3【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定k的符号，从而确定选项．【解答】解：由反比例函数的图象位于第二，四象限可知，k＜0，∴k的值可以是﹣2，故选：A．【点评】考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质，难度不大．5．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象确定a，b，c的符号，再分别确定该反比例函数和正比例函数图象所在的位置．【解答】解：由二次函数的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0．∴ac＞0，＜0，∴反比例函数的图象在第一、四象限，正比例函数的图象过二、四象限，故选：D．【点评】此题考查了二次函数图象和性质，反比例函数的图象和性质，正比例函数的图象和性质，熟知函数的系数对函数图象影响是解题的关键．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①图象是中心对称图形，②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为（﹣1，0）．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足﹣1＜x≤3时，y≥3．【分析】（1）将x＝﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答该函数图象的两条不同类型的特征；（3）理解运用：结合图象即可得出结论（4）灵活应用：结合图象可准确填空．【解答】解：（1）①列表：x…﹣5﹣3﹣2013…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，①图象是中心对称图形；②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小．故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小；（3）理解运用：函数y＝的图象是由函数y＝的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为（﹣1，0）．故答案为：左；1；（﹣1，0）．（4）灵活应用：函数y＝+2的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x≤3时，y≥3．故答案为：﹣1＜x≤3．【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y ＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示【分析】根据图①可知a＞0，c＜0，﹣＞0，所以b＜0，然后逐项判断一次函数、二次函数和反比例函数的图象即可判断出答案．【解答】解：根据图①可知a＞0，c＜0，﹣＞0，所以b＜0，A、∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝，∴点O（0，0）与点A（1，0）关于对称轴对称，∵AB垂直于x轴，∴B与C也关于对称轴对称，∴四边形ABCO是矩形，故A选项符合题意；B、∵a＞0，b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，故B选项不符合题意；C、∵c＜0，∴二次函数y＝﹣x（ax+b）+c＝﹣ax2﹣bx+c的图象不经过原点，故C选项不符合题意；D、∵b＜0，﹣ac＞0，∴一次函数y＝bx﹣ac的图象过第一、二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象和性质，灵活掌握函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（﹣1，2），∴另一个交点的坐标是（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查的是正比例函数与反比例函数图象的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（﹣3，﹣4）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是2π．（结果保留π）【分析】此题需要看懂图形，由于反比例函数图象的中心对称性，所要求的阴影部分的面积即为半圆的面积．【解答】解：根据图形，知这是一个中心对称图形；则阴影部分是面积和相当于半圆的面积，即2π．故填2π．【点评】此题注意根据图形的中心对称性，把阴影部分组合到一起可以简便计算．四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为3．【分析】反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，进而可得答案．【解答】解：反比例函数y＝中反比例常数k的值为3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数的形式．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，判断k的符号和直线过第几象限，然后根据k的符号判断反比例函数在第几象限．【解答】解：∵正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，∴＞0，即k＞0，图像过一三象限；∴反比例函数y＝在一三象限，故选：B．【点评】本题考查的是函数的图像，解题的关键是根据直线的增减性判断k的符号，在根据k的符号判断反比例函数的图像在第几象限．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小【分析】直接利用反比例函数的性质，y＝，当k＞0时，每个象限内，y随x增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析求出答案．【解答】解：反比例函数y＝，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；当x＝4时，y＝，即图象必经过点（4，），故此选项B正确，不合题意；图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；在每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C （0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为﹣12＜k≤﹣10或﹣4＜k≤﹣3．【分析】（1）L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象；（2）根据图象求k的范围．【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y＝﹣经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3），如图，画出L2的图象，由图可知：L2和L1之间（不含边界）有4个优点，故答案为：4．（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10；如果L 2和L 1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣4，1）时，﹣4＜k ≤﹣3；故答案为：﹣12≤k ＜﹣10或﹣4＜k ≤﹣3．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y ＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 23 …y … m 1 2 1 0 1 n …其中，m ＝ ，n ＝ 2 ．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y 1＜ y 2，x 1 ＜ x 2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y ＝1，求自变量x 的值．【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝﹣中即可求得m的值；把x＝3代入y＝|x﹣1|中，即可求得n的值；（2）描点连线即可；（3）①A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；②当y＝1时，1＝|x﹣1|，则有x＝0或x＝2；1＝﹣，则有x＝﹣2．【解答】解：（1）x＝﹣3代入y＝﹣得，y＝，∴m＝，把x＝3代入y＝|x﹣1|中得，y＝2，∴n＝2，故答案为，2；（2）如图所示：（3）①由图象可知A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＜x2；故答案为＜，＜；②当y＝1时，x＞﹣1时，有1＝|x﹣1|，∴x＝0或x＝2，当y＝1时，x≤﹣1时，有1＝﹣，∴x＝﹣2，故x＝0或x＝2或x＝﹣2；（4）由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：012…x…﹣1﹣y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1＞y2，x1＞x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为﹣1或1；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1．【分析】（1）根据函数的增减性即可比较；（2）根据图象求解即可；（3）根据函数解析式画出函数图象即可；（4）根据图象即可求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，根据图象可知，当x＞1时，y随着x增大而减小，当y＞2时，y随着x增大而减小，∵3＜5，＜6，∴y1＞y2，x1＞x2，故答案为：＞，＞；（2）当函数值y＝2时，x的值为﹣1或1，故答案为：﹣1或1；（3）函数图象如图所示：（4）当y＝x+b过点（1，2）时，可得1+b＝2，解得b＝1，∴当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1，故答案为：0＜b＜1．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k1【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OCPD＝k1，S△OCA＝S△OBD＝，再根据四边形P AOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OCA﹣S△OBD进一步求解即可．【解答】解：∵点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，∴S矩形OCPD＝k1，S△OCA＝S△OBD＝，∴四边形P AOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OCA﹣S△OBD＝k1﹣k2，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．18．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S＝2，则该反比例函数的解析式为y＝．△AOP【分析】利用待定系数法解答即可．【解答】解：∵点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，∴xy＝k，OA＝﹣x，P A＝y．∵S△AOP＝2，∴×AO•P A＝2．∴﹣x•y＝4．∴xy＝﹣4，∴k＝xy＝﹣4．∴该反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．【点评】本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．【解答】解：A选项中，阴影面积为4，故A不符合题意；B选项中，阴影面积为×4＝2，故B符合题意；C选项中，阴影面积为2××4＝4，故C不符合题意；D选项中，阴影面积为4××4＝8，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．【分析】（1）当n＝﹣10时，S△BOP＝×|﹣10|＝5，S△AOP＝×|8|＝4，即可得S△OAB ＝9；（2）设P（m，0），则A（m，），B（m，），AB＝|﹣|，分两种情况：①当m＞0时，AB＝＝AD，D（m，），设x＝m，y＝，则xy＝16﹣n，可得y＝，②当m＜0时，可得y＝．【解答】解：（1）当n＝﹣10时，y2＝﹣，∴S△BOP＝×|﹣10|＝5，∵A在y＝的图象上，∴S△AOP＝×|8|＝4，∴S△OAB＝S△BOP+S△AOP＝9，答：S△OAB＝9；（2）设P（m，0），则A（m，），B（m，），∴AB＝|﹣|，①当m＞0时，AB＝＝AD，∴DP＝AD+AP＝+＝，∴D（m，），设x＝m，y＝，则xy＝16﹣n，∴y＝，即点D所形成的函数图象的表达式为y＝，②当m＜0时，AB＝，同理可得y＝，综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为y＝．【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是分类思想的应用．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为1；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．【分析】（1）由AC和k的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长度，由点B在反比例函数图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出△BOD的面积；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出AB、AO的长度，由AO＝AB即可得出关于k的方程，解之即可求出k值，再根据k＞1即可确定k值．【解答】解：（1）∵AC＝1，k＝2，∴点A（1，2），∴OC＝2，OA＝＝．∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1．故答案为：；1．（2）∵A，B两点在函数y＝（x＞0）的图象上，∴A（1，k），B（k，1），∴AO＝，AB＝．∵AO＝AB，∴＝，解得：k＝2+或k＝2﹣．∵k＞1，∴k＝2+．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数k的几何意义找出△BOD 的面积；（2）根据AO＝AB找出＝．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）【分析】先根据点（﹣1，1）是反比例函数y＝（k≠0）图象上求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点（﹣1，1）是反比例函数y＝（k≠0）图象上，∴k＝﹣1×1＝﹣1，A、∵（﹣2）×（﹣1）＝1≠﹣1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵1×（﹣1）＝﹣1，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；C、∵＝1≠﹣1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵﹣2×1＝﹣2≠﹣1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合k＝xy，且k为定值．23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是（2，0）．【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，先在△OCA中，表示出OC和AC的长度，表示出A1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA的长度，表示出B的坐标，同理可求得B1、B2的坐标，即可发现一般规律．【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝BC，∴AC＝OC，设OC的长度为t，则A的坐标为（t，t），把A（t，t）代入y＝（x＞0）得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OB＝2OC＝2，∴B（2，0），设BD的长度为m，同理得到A1D＝m，则A1的坐标表示为（2+m，m），把A1（2+m，m）代入y＝（x＞0）得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴BD＝﹣1，BB1＝2﹣2，OB1＝2+2﹣2＝2，∴B1（2，0）设B1E的长度为n，同理，A2E为n，A2的坐标表示为（2+n，n），把A2（2+n，n）代入y＝（x＞0）得（2+n）•n＝，∴B1E＝﹣，B1B2＝2﹣2，OB2＝2+2﹣2＝2，∴B2（2，0），综上可得：B2020（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是②③（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A（x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝4．【分析】（1）根据新定义依次进行判断即可；（2）设y＝x﹣3与x轴交于点C，与y轴交于点D，作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，设CN＝x，由x B﹣x A＝5，可得MC＝5﹣x，表示出B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），根据轴对称的性质以及反比例函数的性质可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，求出x的值，即可确定点B的坐标，进一步即可求得m的值．【解答】解：（1）根据定义，函数关于直线x＝n（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形，①y＝的图象是中心对称图象，不符合题意；②y＝|4x|的图象是轴对称图形，符合题意；③y＝x2﹣2x﹣5的图象是轴对称图形，符合题意，故答案为：②③；（2）∵y＝|x﹣h|是“X（3）”函数，∴h＝3，设y＝x﹣3与x轴交于点C，与y轴交于点D，作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，如图所示：当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0），D（0，﹣3），∴OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠BCN＝∠OCD＝45°，由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°，∴AM＝CM，BN＝CN，∵x B﹣x A＝5，∴MN＝5，设CN＝x，则MC＝5﹣x，∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，∴x＝1，∴B（4，1），∴m＝4×1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，根据新定义以及轴对称的性质求解是解题的关键．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O 的距离OP的取值范围．【分析】（1）根据题意，分析不同情况进行求解即可；（2）由题意知，再根据不等式判断取值范围即可．【解答】解：（1）将A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）分别代入反比例函数中，则、，，当时，m＝m+1+m+3，即m＝﹣4，当时，m+1＝m+m+3，即m＝﹣2，当时，m+3＝m+m+1，即m＝2，综上，m的值为﹣4或﹣2或2；（2）∵a＞b＞c＞0，∴，即，由题意，∴，∵a＞b＞c＞0，∴a2+b2＜（a+b）2＜2（a2+b2），∴．【点评】本题主要考查不等式的应用、反比例函数，正确理解“和谐三数组”的概念是解题的关键．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可；（2）根据矩形的性质，求得点E的坐标，把E点代入反比例函数解析式判定即可；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC在x轴上，A（﹣3，3），C（﹣1，0），∴D（﹣1，3），∵反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，∴k1＝﹣1×3＝﹣3，∴这个函数的解析式为y＝﹣；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴E为对角线AC、BD的交点，∴E为AC的中点，。
关于反比例函数中心对称的两个点的距离-定义说明解析
关于反比例函数中心对称的两个点的距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述反比例函数是数学中常见的一种函数类型，其特点是当自变量增大时，函数值减小或增大的速度比例呈反比例关系。
在反比例函数中心对称的情况下，存在两个点关于中心对称。
本文将探讨关于反比例函数中心对称的两个点的距离的相关概念和性质。
首先会介绍反比例函数的定义和中心对称的概念，其次会推导出两个点的距离公式，并进行性质总结和实际应用的探讨。
最后展望未来研究方向，希望通过本文的研究深化对反比例函数中心对称性质的理解，为相关领域的进一步研究提供参考和借鉴。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概括介绍了本文要探讨的主题，即关于反比例函数中心对称的两个点的距离。
其中包括对反比例函数和中心对称的概念进行简要说明，并阐明本文的目的和意义。
正文部分将从反比例函数的定义入手，介绍其数学表达式及特点，然后引入中心对称的概念并进行解释。
在这个基础上，将推导出两个点的距离公式，并详细阐述其推导过程。
结论部分将对本文的研究内容进行总结，概括归纳反比例函数中心对称的重要性和作用。
同时，讨论了相关理论在实际应用中的意义，并展望了未来可能的研究方向。
通过这样的文章结构，读者可以清晰地了解本文的目的和内容安排，有助于更好地理解和理解文章的主题和观点。
1.3 目的本文旨在探讨反比例函数中心对称的性质，特别是着重讨论关于反比例函数中心对称的两个点的距离问题。
通过深入研究反比例函数和中心对称的概念，我们旨在推导出两个点的距离公式，进一步总结反比例函数中心对称的性质。
同时，我们也将探讨反比例函数中心对称的实际应用，并展望未来的研究方向，以期为相关领域的学术研究和实际问题的解决提供新的思路和方法。
通过本文的研究，我们希望可以深化对反比例函数中心对称性质的理解，为相关学科领域的研究与应用提供有效的理论支持和指导。
2.正文2.1 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的函数，其定义域为实数集合中除去零的部分，即x ≠0。
第8讲反比例函数的图像与性质
第8讲反比例函数的图像与性质1、反比例函数的解析式：2、反比例函数的图像：3、反比例函数的性质：4、反比例函数图像的对称性：反比例函数的图像是中心对称图形，反比例函数与正比例函数图像的两个交点一定关于原点对称。
精选题：1．如果反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象在第象限．2．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．3．点A（2，1）在反比例函数y=的图象上，当y＜2时，x的取值范围是．4．已知双曲线在第二、四象限内，则m的取值范围是．5．下列关于反比例函数y=的三个结论：①它的图象经过点（7，3）；②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；③它的图象在二、四象限内．其中正确的是．6．函数y=的图象不经过第象限．7．如果反比例函数的图象过点（﹣1，2），那么它在每个象限内y随x的增大而．8．已知双曲线分别位于第二、四象限，那么点P（a2，a﹣1）一定在第象限．9．如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）（第9题）（第10题）（第11题）10．一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=的解为．11．我们知道，比较两个数的大小有很多方法，其中的图象法也非常巧妙，比如，通过图中的信息，我们可以得出x＞的解是．12．一次函数y=﹣x+1与反比例函数，x与y的对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3y=﹣x+1 4 3 2 0 ﹣1 ﹣21 2 ﹣2 ﹣1﹣不等式﹣x+1＞﹣的解为．13．如图，过点A（1，0）的直线与y轴平行，且分别与正比例函数y=k1x，y=k2x和反比例在第一象限相交，则k1、k2、k3的大小关系是．14．如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为．15．如图反比例函数y=的图象经过A（2，1），若y≤1，则x的取值范围．（第13题）（第14题）（第15题）16．若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是．17．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为．（第17题）（第18题）（第19题）（第20题）18．如图，有反比例函数、的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=．19．如图正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是．20．如图，过原点O的直线与反比例函数y=的图象相交于点A（1，3）、B（x，y），则点B的坐标为．21．如图在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y=的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是．(第21题) (第23题) (第24题)22．正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为．23．小明画了函数y=﹣1的图象如图，则关于x的分式方程﹣1=2的解估计是．24．已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是．25．如图一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．26．如图一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为﹣1，3，则满足y2＜y1的x的取值范围是．(第25题) (第26题) (第27题) (第28题)27．如图，已知反比例函数图象A，B，C对应各自反比例函数系数k1，k2，k3；则k1，k2，k3的大小关系．28．已知正比例函数y1=x，反比例函数，由y1，y2构造一个新函数y=x+其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：①该函数的图象是中心对称图形；②当x＜0时，该函数在x=﹣1时取得最大值﹣2；③y的值不可能为1；④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．其中正确的命题是．（请写出所有正确的命题的序号）29．若直线y=kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值为．。
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数二级结论
反比例函数二级结论
反比例是一种有趣的数学函数，它可以提供重要的洞察力，让我们有可能以创新的方式去看待一些基本的物理现象。
反比例函数的二级结论和运用的范围十分广泛，它们可以应用在像物理和数学学科中各个领域，比如：静态电荷的电势随着它们之间的距离的变化而及自变量的变化的规律。
反比例函数的定义是：给定一个变量x的值，其反比例函数为y，当x发生变化时，y的值会按照x的变化而反比例变化。
因此，反比例函数可以表示两个变量之间的变化关系，这两个变量之间通常具有感性相反的性质：如果一个变量增加，另一个变量会减少，例如，当物体在空气中距离增加时，受力会减少。
反比例函数的二级结论是：反比例函数的对称性原理、分段的反比例函数和多元的反比例函数等，他们在探究数学和物理现象时都可以给我们提供有益的信息。
例如，对称性原理可以帮助我们探究解析函数的行为。
同样，多元的反比例函数可以用来描述物质之间复杂的
变化关系，而分段的反比例函数可以应用于研究距离随时间、空间变化而发生变化的事物。
反比例函数的二级结论可以应用到工程学中，反比例函数的二级结论可以帮助我们实现精确的传动比例的调整，将非常精确的动态传动比例用于机器人和相关元件的驱动系统，满足其同时高效且可靠的运行需要。
反比例函数的二级结论还可以帮助我们研究电气设备和系统的特性，及其对不同的参数变化造成的影响；了解工业系统理论模型，帮助分析复杂系统中反比例函数的控制解算。
总之，反比例函数的次级结论可以为我们提供关于物理和数学的洞察力；它们可以为我们提供有效的传动比例调整方法，帮助我们研究电气设备和工业系统以及其它距离、空间和时间随着变量变化发生变化的事物。
专题. 反比例函数(对称性问题)(基础篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)
专题11.23反比例函数（对称性问题）（基础篇）（专项练习）反比例函数图象是中心对称图形，同时也是轴对称图形，其对称中心是坐标原点，其对称轴是y=x 和y=-x ，近些年，此知识点成了中考中的热点，更是压轴题的常考点，这些题型不仅利用双曲线的对称性，还综合了关于某直线对称和特殊四边形的对称性问题，为此，本专题精选部分有代表性的题型供师生选择使用。
一、单选题1．已知点()13A -，关于y 轴的对称点A '在反比例函数ky x=的图象上，则实数k 的值为（）A ．3B ．13C ．﹣3D ．﹣132．如图，A ，B 是函数y =mx（m ＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（）A ．S m =B ．2S m =C ．2m S m <<D ．2S m>3．若点()32A --，关于x 轴的对称点A '恰好在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（）A ．6B ．1-C ．5-D ．6-4．如图，1l 是反比例函数ky x=在第一象限内的图象，且经过点A （1，2）．1l 关于x 轴对称的图象为2l ，那么2l 的函数解析式为（）A ．()40y x x =<B ．()20y x x =<C ．4(0)y x x =->D ．2(0)y x x=->5．设A ，B 是反比例函数32y x=-的图象上关于原点对称的两点，AD 平行于y 轴交x 轴于D ，BC 平行于x 轴交y 轴于C ，设四边形ABCD 的面积S ，则（）A ．32s =B ．34s =C ．94s =D ．6s =6．已知点()1,P a 在反比例函数3y x=的图象上，则点P 关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()1,3--7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （﹣3，0）和点B （0，2）都在坐标轴上，若反比例函数y ＝kx的图象经过矩形AOBC 的对称中心，则k 的值为（）A ．3B ．﹣3C ．1.5D ．﹣1.58．如图，边长为8的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，AB //x 轴，BC //y 轴，反比例函数8y x =与8y x=-的图象均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．8B ．16C ．32D ．649．如图，在平面直角坐标系中，O 为ABCD Y 的对称中心，5AD =，//AD x 轴交y 轴于点E ，点A 的坐标点为()2,2-，反比例函数ky x=的图像经过点D ．将ABCD Y 沿y 轴向上平移，使点C 的对应点C '落在反比例函数的图像上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为（）A ．6B ．8C ．24D ．2010．已知一个函数中，两个变量x 与y 的部分对应值如下表：x …﹣2﹣3…﹣2+3…2﹣1…2+1…y…﹣2+3…﹣2﹣3…2+1…2﹣1…A ．x 轴B ．y 轴C ．直线x =1D ．直线y =x二、填空题11．在平面直角坐标系中，若点()1,2P a +与点()1,1Q b -关于原点对称，则经过(),a b 的反比例函数解析式是______．12．如图，点D 是矩形AOBC 的对称中心，()0,6A ，()8,0B ，若反比例函数ky x=的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为______．13．已知点()112,P y 、点()22,3P x 是同一个反比例函数()22220my m x-=-≠图象上的两点．若点1P 与2P关于原点对称，则m 的值为______．14．如图，点A 、C 是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A 作AB x ⊥轴于点B ，若ABC 的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．15．如图，点D 是矩形ABCO 的对称中心，点()6,0A ，()0,4C ，经过点D 的反比例函数的图象交AB 于点P ，则点P 的坐标为______．16．已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．17．已知A 、B 两点分别在反比例函数2(0)m y m x=≠和611(6m y m x -=≠的图像上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为______．18．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数()0ky x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y ＝x 的对称点C '的坐标为（1，n ）（n ≠1），若△OAB 的面积为3，则k 的值为_______三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图像与反比例函数4y x=-的图像相交于(),1A m ，()1,B n -两点．(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图像；(2)结合图像，请直接写出不等式4kx b x-≤+的解集；(3)点C 与点B 关于原点对称，求ABC 的面积．20．如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与正比例函数22y k x =交于点A ，点A 是点B 关于y 轴的对称点，点B 的坐标为()1,2-．(1)求1k 的值；(2)若将正比例函数22y k x =的图象向下平移2个单位长度得到函数33y k x b =+，求此函数的表达式．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C ，点D 为点B 关于AC 所在直线的对称点，反比例函数(k 0,x 0)ky x=≠>的图像经过点D ．(1)求证：四边形ABCD 为菱形；(2)求反比例函数的表达式．22．在平面直角坐标系中，设函数：11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数，22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．若点B 的坐标为()1,2-．(1)求1k ，2k 的值；(2)当12y y ≤时，直接写出x 的取值范围．23．如图，反比例函数4y x=与一次函数()0y ax b a =+≠交于()()4,,,2A m B n -两点．(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出关于x 的不等式4xax b ≤+的解集；(3)若点A 关于x 轴的对称点为点D ，求ABD △的面积．24．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数262y x =-+的图像并探究该函数的性质．x (4)-3-2-1-01234…y…13-a 1-2-b2-1-611-13-…(1)列表，写出表中a ，b 的值：=a __________，b =_________；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；(2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________．①函数262y x =-+的图像关于y 轴对称；②当0x =时，函数262y x =-+有最小值，最小值是3-；③在自变量x 的取值范围内，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；④函数262y x =-+与x 轴必有两个交点；(3)已知函数1533y x =--的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式2615233x x -<--+的解集．参考答案1．A【分析】根据对称的性质得到点()13A '--，，代入解析式即可求出k ．解：∵点A '与点()13A -，关于y 轴的对称，∴点()13A '--，，∵点()13A '--，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，∴()()133k =-⨯-=，故选：A ．【点拨】此题考查了关于y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用待定系数法求反比例函数的解析式．2．B【分析】根据A 、B 两点在曲线上可设A 、B 两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．解：设点A （x ，y ），则点B （-x ，-y ），∴xy =m ，∴AC =2y ，BC =2x ，∴11222222ABC S AC BC y x xy m ==== ，故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．3．D【分析】根据对称性求出点A '的坐标，把点A '的坐标代入反比例函数()0ky k x=≠可求出k 的值．解：∵点A '与点()32A --，关于x 轴对称，∴点()32A '-，，又∵点()32A '-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，∴()326k =-⨯=-，故选：D ．【点拨】本题考查轴对称的坐标变化，反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解决问题的关键．4．D【分析】写出点A (1,2)关于x 轴对称的点的坐标(1,-2)，求出经过这点的反比例函数的解析式．解：点A (1,2)关于x 轴对称的点的坐标为(1,-2)，设2l 的解析式为'k y x=，则'21k -=，'2k =-，∴2y x=-(x >0)．故选D ．【点拨】本题考查了关于x 轴对称点的坐标和反比例函数，熟练掌握关于x 轴对称的点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数解析式，是解决此类问题的关键．5．C【分析】根据反比例函数y ＝kx中k 的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系S ＝12|k|即可解答．解：设点A 的坐标为（x ，y ），点A 在反比例函数解析式上，∴点B 的坐标为（-x ，-y ），k =xy =（-x ）（-y ）=-32，∵AD 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∴OD =|x |，AD =|y |，OC =|y |，BC =|x |，∴S =△ADO +S △DOC +S △BCO =12|xy |+12|xy |+12|xy |=12×32+12×32+12×32=94．故选：C ．【点拨】此题主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．6．D【分析】将点的坐标代入求解，根据坐标关于原点的对称规律直接求解即可．解：将()1,P a 代入3y x=，则331a ==，那么()1,3P ，则点()1,3P 关于原点对称的点的坐标()1,3--故选：D【点拨】此题考查反比例函数上的点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的点的坐标规律．7．D【分析】先求出矩形的中心点，然后根据待定系数法即可求得．解：∵点A （-3，0）和点B （0，2）都在坐标轴上，∴矩形AOBC的中心点为（32-，1），∵反比例函数y＝kx的图象经过矩形AOBC的对称中心，∴k=33122-⨯=-，故选：D．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求得矩形的中心点是解题的关键．8．C【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积．解：根据题意：观察图形可得,图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O旋转90度，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数8yx=与8yx=-的图象均与正方形ABCD的边相交，而边长为8的正方形面积为64，所以图中的阴影部分的面积是32．故选：C．【点拨】本题主要通过橄榄形面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．9．D【分析】根据O为▱ABCD的对称中心，AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），可求点C、D的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点'C的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据面积公式求出结果．解：∵AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），∴DE=5-2=3，OE=2，∴D（3，2），把(3,2)D代入反比例函数的关系式得，k=2×3=6，∵O为▱ABCD的对称中心，点A的坐标为（-2，2），∴点C的坐标为（2，-2），当x=2时，y=63 2=，∴点'C（2，3）∴C'C=CF+F'C=2+3=5，'CC上的高是是4,∴平行四边形AC 'C N 的面积为5420,⨯=∴平移过程中线段AC 扫过的面积为20.故选：D ．【点拨】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将AC 平移后扫过的面积就是平行四边形AC 'C N 的面积是关键．10．D【分析】根据题意可得y 与x 的函数关系式，进一步即可进行判断.解：由表格中的数据可得y 与x 的函数关系式为：1y x=，其图象是双曲线，是轴对称图形，对称轴是直线：y =x 和y =－x .故选：D.【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质以及函数解析式的确定，解题的关键是正确求得反比例函数的解析式、熟练掌握反比例函数的图象与性质.11．2y x =【分析】根据关于原点对称的坐标特点列式求出a 、b 的值，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可．解：∵点()1,2P a +与点()1,1Q b -关于原点对称，∴11a +=-，12b -=-，解得2a =-，1b =-，∴(),a b 即()2,1--，设()0k y k x=≠，∴()()212k =-⨯-=，∴反比例函数解析式是2y x=．故选：2y x =．【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点和利用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握关于原点对称的坐标特点和待定系数法是解题的关键．12．()2,6【分析】根据矩形的性质得到()4,3,6D OA =，OB AC ，将()4,3D 代入k y x =，求出反比例函数的解析式，再计算6y =时的x 值即可得到点M 的坐标．解：∵点D 是矩形AOBC 的对称中心，()0,6A ，()8,0B ，∴()4,3,6D OA =，OB AC ，将()4,3D 代入k y x =，得4312k =⨯=，∴12y x=，当6y =时，126x =，解得2x =，∴M 的坐标为()2,6，故答案为：()2,6．【点拨】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，正确理解矩形的性质得到点()4,3D 的坐标是解题的关键．13．±【分析】关于原点对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由此求解．解： 11(2,)P y 与22(,3)P x 关于原点对称，∴22x =-，13y =-，∴1(2,3)P -，2(2,3)P -，点1(2,3)P -在反比例函数22m y x-=的图象上，∴22(3)2m ⨯-=-，解得m =±故答案为：±．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与中心对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．14．7y x=【分析】设反比例函数的表达式为k y x =，点A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即可表示出点B 和点C 的坐标，那么ABC 的面积就可以表示为122k a a⋅⋅，即可求解．解：设反比例函数的表达式为k y x =，点A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则点C 的坐标为k a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，点B 的坐标为()0a ，，∴ABC 的面积可以表示为122k a a⋅⋅，∵ABC 的面积为7，即1272k a a⋅⋅=，解得 7k =，∴反比例函数的表达式为7y x=，故答案为：7y x =．【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点C 的坐标，是解决本题的关键．15．()6,1【分析】先求得D 点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把6x =代入解析式即可求得点P 的坐标．解： 点D 是矩形ABCO 的对称中心，∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，又()6,0A ，()0,4C ，∴点D 的坐标为()3,2．反比例函数k y x=的图象经过点D ，326k ∴=⨯=，6y x∴=，把6x =代入得，616y ==，∴点P 的坐标为()6,1．故答案为：()6,1．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点D 的坐标是解题的关键．16．y =2x-【分析】根据点A 与点A ′关于y 轴对称，得到A ′(2，m )，由点A ′在正比例函数12y x =的图象上，求得m 的值，再利用待定系数法求解即可．解：∵点A 与点A ′关于y 轴对称，且A (−2，m )，∴A ′(2，m )，∵点A ′在正比例函数12y x =的图象上，∴m =12×2，解得：m =1，∴A (−2，1)，设这个反比例函数的表达式为y =k x，∵A (−2，1)在这个反比例函数的图象上，∴k =-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y =2x-，故答案为：y =2x-．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m 的值．17．18##0.125【分析】先设A 、B 的坐标，然后把A 、B 的坐标代入函数关系式，列出方程组，解方程组即可．解：根据题意设A （a ，b ），则B （a ，－b ），则有：261m b a m b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，所以261m m a+-＝0，即8m －1＝0，解得18m =．故答案为18．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴，y 轴对称的点的坐标．根据题意得261m m a+-＝0，即8m －1＝0是解题的关键．18．3【分析】连接OC ，由C 是线段AB 的中点，可得1322AOC OAB S S == ，然后根据比例系数k 的几何意义即可求得答案.解：如图，连接OC，∵C 是线段AB 的中点，∴1322AOC OAB S S == ，∵1322AOC k S ==△，0k ＞，∴3k =.故答案为：3.【点拨】本题主要反比例函数的比例系数k 的几何意义、与中线有关的三角形的面积关系，熟记反比例函数的比例系数k 的几何意义是解题的关键.19．(1)5y x =+，一次函数的图像见分析；(2)41x --≤≤或0x >；(3)15【分析】（1）将点(),1A m ，点()1,B n -代入4y x =-中得4141m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩解得，44m n =-⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为：(4,1)-，点B 的坐标为(1,4)-，将点(4,1)A -和(1,4)B -代入()0y kx b k =+≠中得414k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，15k b =⎧⎨=⎩，即可得一次函数解析式为：5y x =+；（2）观察函数图像，即可得不等式4kx b x-≤+的解集是41x --≤≤或0x >；（3）根据点C 与点B 关于原点对称得点C 的坐标为(1,4)-，根据网格和勾股定理得AB ==，AC ==BC ==222AB AC BC +=，即ABC 是直角三角形，即可得．（1）解：将点(),1A m ，点()1,B n -代入4y x=-中，4141m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩解得，44m n =-⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为：(4,1)-，点B 的坐标为(1,4)-，将点(4,1)A -和(1,4)B -代入()0y kx b k =+≠中，414k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，15k b =⎧⎨=⎩，即一次函数解析式为：5y x =+，函数图像如下：（2）解：观察函数图像，不等式4kx b x-≤+的解集是41x --≤≤或0x >；（3）解：∵点C 与点B 关于原点对称，∴点C 的坐标为(1,4)-，三角形ABC 如图所示，∵223318AB =+=，225550AC =+=222868BC =+=∴222AB AC BC +=，即ABC 是直角三角形，∴1111850325215222ABC S AB AC =⨯⨯==⨯=△．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数，函数与不等式，三角形的面积，勾股定理，关于原点对称，解题的关键是掌握反比例函数，一次函数，函数与不等式，勾股定理．20．(1)12k =；(2)322y x =-．【分析】（1）先求出()1,2A ，再将()1,2A 代入11k y x=，得1122k =⨯=；（2）求出正比例函数解析式为22y x =，再利用平移的规律解答即可．（1）解：∵点A 和点B 关于y 轴对称，()1,2B -，∴()1,2A ，把()1,2A 代入11k y x=，得1122k =⨯=．（2）解：把()1,2A 代入22y k x =，得22k =，∴直线的表达式为22y x =，∵33y k x b =+是由22y x =向下平移2个单位长度得到，∴322y x =-．【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的综合，点关于y 轴对称的性质，一次函数的平移，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，点关于y 轴对称的性质以及一次函数的平移．21．(1)证明见分析；(2)20y x=【分析】（1）根据(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C 即可得5AB =，5BC =，根据D 点为B 点关于AC 所在直线的对称点得5AD AB ==，5CD CB ==，可得AB BC CD DA ===，即可得；（2）根据四边形ABCD 为菱形，得AD BC ∥，根据5AD =，(0,4)A 得(5,4)D ，把(5,4)D 代入k y x=得5420k =⨯=，即可得．解：（1）证明：∵(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C ，∴5AB =，5BC =，∵D 点为B 点关于AC 所在直线的对称点，∴5AD AB ==，5CD CB ==，∴AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 为菱形；（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD BC ∥，又∵5AD =，(0,4)A ，∴(5,4)D ，把(5,4)D 代入k y x=得5420k =⨯=，∴反比例函数的表达式为20y x=．【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点．22．(1)1k 的值为2，2k 的值为2；(2)1x ≥【分析】（1）求得A 的坐标，分别代入11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠），即可求得1k ，2k 的值；（2）根据图象即可求得．解：（1）∵点()1,2B -，∴点()1,2A ，把()1,2A 代入11k y x=得12k =，把()1,2A 代入22y k x =得22k =，∴1k 的值为2，2k 的值为2（2）由图象可知：1x ≥【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象，求出点的坐标，进而求出关系式．23．(1)112y x =-；图象见分析；(2)20x -≤<或4x ≥；(3)6【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；（2）由图象可知，关于x 的不等式4xax b ≤+的解集为20x -≤<或4x ≥，即可；（3）根据点A 关于x 轴的对称点为点D ，可得2AD =，再由三角形的面积公式，即可求解．（1）解：∵点()()4,,,2A m B n -在反比例函数4y x=的图象上，∴414m ==，42n -=∴2n =-，∴()()4,1,2,2A B --．把A 、B 的坐标代入()0y ax b a =+≠得∶4122a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数表达式为112y x =-，在网格中画出一次函数的图象如图：（2）解：由图象可知，关于x 的不等式4xax b ≤+的解集为20x -≤<或4x ≥；（3）解：∵()4,1A ，∴()4,1D -，∴2AD =，∴()124262ABD S ⨯=⨯+= ．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．(1)611-；3-；图见分析；(2)①②；(3)<4x -或2<<1x -【分析】（1）已知解析式，代入x 的值，即可算出对应的y 值，即可得出答案；（2）结合图像即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题；（3）结合图像分析不等式与函数的关系，即可得出结论．（1）函数262y x =-+，令3x =-，可得611y =-，故611a =-；令0x =，可得=3y -，故3b =-，故答案为：611-；3-．描点、连线，在画出该函数的图像如下：（2）由函数的图像可得：①函数262y x =-+的图像关于y 轴对称，①正确；②当0x =时，函数262y x =-+有最小值，最小值是3-，②正确；③自变量0x >时，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；自变量0x <时，函数y 的值随自变量x 的增大而减小，③错误；④由于2602y x =-+＜恒成立，故函数的图像与x 轴不可能有交点，④错误，故答案为：①②．（3）不等式2615233x y x --+＜-表现在图像上，即函数262y x =-+的图像比函数1533y x =--的图像低，因此观察图像可得到2615233x y x --+＜-的解集为：<4x -或2<<1x -．【点拨】本题考查了新函数的研究方法，在学习一次函数，反比例函数以及二次函数时的通用方法是本题解题的关键．。
知识点196--反比例函数图象的对称性(填空题)
一、填空题（共50小题）1、（2011•西宁）反比例函数的图象的对称轴有 2 条．考点：反比例函数图象的对称性。
分析：任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．解答：解：沿直线y=x或y=﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故答案为：2．点评：此题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴．2、（2011•乌鲁木齐）正比例函数y=kx的图象反比例函数y=的图象有一个交点的坐标是（﹣1，﹣2），则另一个交点的坐标是 （1，2） ．考点：反比例函数图象的对称性。
专题：探究型。
分析：根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．解答：解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（﹣1，﹣2），∴另一个交点的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．3、（2011•黔南州）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 π （结果保留π）．考点：反比例函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解．解答：解：由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积．⊙A和x轴y轴相切，因而A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等，设A的坐标是（a，a），点A在函数y=的图象上，因而a=1．故阴影部分的面积等于π．故答案为：π．点评：能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键．4、（2010•泰安）如图，一次函数y=ax（a为常数）与反比例函数（k为常数）的图象相交于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为 （2，﹣3） ．考点：反比例函数图象的对称性。
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反比例函数对称性研究
万安中学 侯来合 2011/11/1
反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。
【反比例函数中心对称性研究】
中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O 成中心对称，点O 叫做对称中心。
在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于原点的中心对称点坐标为N （-a,-b ）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。
在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于原点的 中心对称点坐标为N （-a,-b ）也一定在反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象上，由中心对称定义可知，反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象双曲线关于点O 成中心对称， 对称中心是坐标原点o,
【例1】已知反比例函数y=x
k (k ﹥0)的图象与y=mx 和 y=nx 相交与A B C D 四点，那么四边形ABCD 是（ ）
A 梯形
B 平行四边形
C 矩形
D 正方形
分析：因为反比例函数y=x
k (k ﹥0)，y=mx ，y=nx 均关于点O 成中心对称，所以交点A 与C ， B 与D ，关于点O 成中心对称，所以AO=OC OB=OD ，所以 四
边形ABCD 是平行四边形 故选（B ）
【例2】已知：反比例函数y=x k 1与直线y=k 2x 相交与A （-1，m ）B(n,3) 求： (1) mn
(2) 反比例函数和正比例函数的解析式
解：∵y=x
k 1与y=k 2x 均关于原点O 中心对称 ∴ A 关于原点O 中心对称与B
∴m=-3 n=1 ∴mn=-3
∴A(-1,-3) ∴-3=
11 k -3=k 2x(-1)
∴k 1=k 2=3
∴两函数的解析式为y=x
3和y=3x 【反比例函数轴对称性研究】
现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。
在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于y=x 的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x 的对称点坐标为H (-b,-a)
证明如下：如图，连接OM ON 并过M 做MP ⊥Y 轴 MQ ⊥X 轴
在⊿OPM 和 ⊿OQN 中
OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO
= ∠NQO=900
∴⊿OPM ≌⊿OQN
∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ
又因为Y=X 平分∠XOY
所以∠XOR=∠YOR=45度
所以∠MOR=∠NOR
由等腰三角形三线合一性质
可知 直线y=x 垂直平分MN
所以点M 点N 关于直线y=x
对称
同理可证M 与S 关于直线Y=-X 对称
在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于y=x 对称点坐标为N （b,a ）也一定在反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象上，由 轴 对称定义可知，反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象双曲线关于y=X 轴对称，同理可证 反比例函数y=x
k (k ≠0)的图象双曲线关于y=-X 轴对称， 【拓展训练】
如图，直线y=-x+b 与反比例函数y=x
k (k ≠0)相交与M （m,3）N(n,-1) ，直线y=-x+b 与Y 轴, X 轴相交与A B 两点 ，点C （b,b ）在第一象限
（1） 直接写出m 和n 的值
（2）求直线y=-x+b 与反比例函数y=x
k 的解析式 （3）求⊿MON 的面积
（4）直接写出x 为何值时反比例函数值大于一次函数值
（5）四边形OACB 是（ ）A 平行四边形 B 矩形 C 菱形
D 正方形。