反比例函数对称性研究

反比例函数对称性研究

万安中学 侯来合 2011/11/1

反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。

【反比例函数中心对称性研究】

中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O 成中心对称，点O 叫做对称中心。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于原点的中心对称点坐标为N （-a,-b ）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。

在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于原点的 中心对称点坐标为N （-a,-b ）也一定在反比例函数y=x

k (k ≠0)的图象上，由中心对称定义可知，反比例函数y=x

k (k ≠0)的图象双曲线关于点O 成中心对称， 对称中心是坐标原点o,

【例1】已知反比例函数y=x

k (k ﹥0)的图象与y=mx 和 y=nx 相交与A B C D 四点，那么四边形ABCD 是（ ）

A 梯形

B 平行四边形

C 矩形

D 正方形

分析：因为反比例函数y=x

k (k ﹥0)，y=mx ，y=nx 均关于点O 成中心对称，所以交点A 与C ， B 与D ，关于点O 成中心对称，所以AO=OC OB=OD ，所以 四

边形ABCD 是平行四边形 故选（B ）

【例2】已知：反比例函数y=x k 1与直线y=k 2x 相交与A （-1，m ）B(n,3) 求： (1) mn

(2) 反比例函数和正比例函数的解析式

解：∵y=x

k 1与y=k 2x 均关于原点O 中心对称 ∴ A 关于原点O 中心对称与B

∴m=-3 n=1 ∴mn=-3

∴A(-1,-3) ∴-3=

11 k -3=k 2x(-1)

∴k 1=k 2=3

∴两函数的解析式为y=x

3和y=3x 【反比例函数轴对称性研究】

现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。

在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于y=x 的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x 的对称点坐标为H (-b,-a)

证明如下：如图，连接OM ON 并过M 做MP ⊥Y 轴 MQ ⊥X 轴

在⊿OPM 和 ⊿OQN 中

OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO

= ∠NQO=900

∴⊿OPM ≌⊿OQN

∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ

又因为Y=X 平分∠XOY

所以∠XOR=∠YOR=45度

所以∠MOR=∠NOR

由等腰三角形三线合一性质

可知 直线y=x 垂直平分MN

所以点M 点N 关于直线y=x

对称

同理可证M 与S 关于直线Y=-X 对称

在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于y=x 对称点坐标为N （b,a ）也一定在反比例函数y=x

k (k ≠0)的图象上，由 轴 对称定义可知，反比例函数y=x

k (k ≠0)的图象双曲线关于y=X 轴对称，同理可证 反比例函数y=x

k (k ≠0)的图象双曲线关于y=-X 轴对称， 【拓展训练】

如图，直线y=-x+b 与反比例函数y=x

k (k ≠0)相交与M （m,3）N(n,-1) ，直线y=-x+b 与Y 轴, X 轴相交与A B 两点 ，点C （b,b ）在第一象限

（1） 直接写出m 和n 的值

（2）求直线y=-x+b 与反比例函数y=x

k 的解析式 （3）求⊿MON 的面积

（4）直接写出x 为何值时反比例函数值大于一次函数值

（5）四边形OACB 是（ ）A 平行四边形 B 矩形 C 菱形

D 正方形