函数的对称性与函数的图象变换
函数与图像的对称性
函数与图像的对称性在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。
对称性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。
一、关于对称轴的对称性首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。
对称轴是指函数图像上的一条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。
以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
当二次函数的二次项系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。
对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称轴的对称性。
例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。
同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。
二、关于原点的对称性除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。
当函数图像关于原点对称时，我们称之为关于原点的对称性。
对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。
奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。
例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。
偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。
例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
三、关于倒影的对称性除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。
当函数图像关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。
以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。
当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
然而，当底数a小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。
此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。
对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
中职数学——函数的对称性及图象变换试卷(一)
函数的对称性及图象变换试卷1姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题（36分）1 ．下列函数中，图象与函数y =4x 的图象关于y 轴对称的是（ ）A ．y =－4xB ．y =4–xC ．y =－4–xD ．y =4x+4–x2 ．设函数1)1(log )(2=-==x x y x f y的图像关于直线的图像与对称，则)(x f y =为（ ）A ．)1(log 2x y +=B ．)1(log 2-=x yC ．)2(log 2-=x yD ．)2(log 2x y -=3 ．函数y=-e x的图象（ ）A ．与y=e x的图象关于y 轴对称.B ．与y=e x的图象关于坐标原点对称.C ．与y=e -x的图象关于y 轴对称.D ．与y=e -x的图象关于坐标原点对称.4 ．已知函数)(x f y =的图像与函数)0(2≥=x x y 的图像关于直线x y =对称,那么下列情形不可能出现的是（ ）A ．函数)(x f y =有最小值B ．函数)(x f y =过点(4,2)C ．函数)(x f y =是偶函数D ．函数)(x f y =在其定义域上是增函数5 ．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则函数)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为 （ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个6 ．函数()ln 1f x x =-的图像大致是7 ．直线3y x =绕原点逆时针旋转090,再向右平移1个单位,所得到的直线为 （ ）A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =-D ．113y x =+ 8 ．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤19 ．函数)(x f 的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与x y 21log=的图象重合，则)(x f 是（ ） （ ）A ．x -2B ．x 4log 2C ．)1(log 2+xD ．x 421⋅10．若)(x f 是偶函数,且当[)+∞∈,0x 时,1)(-=x x f ,则不等式0)1(<-x f 的解集是（ ）A ．{}01<<-x xB ．{}210<<<x x x 或C ．{}20<<x xD {}21.<<x x11．设偶函数y ＝f （x ）的图像关于直线x =1对称，在0≤x ≤1时f （x ）=x 2,则f(2008)=（ ）A ．0B ．1C ．2008D ．200612．函数||2x y -=的大致图像是13．已知2()-=x f x a ，()log ||=a g x x (a 0,>且a 1)≠，且f (4)g(4)0-<；则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的图象大致是211Aoyx211Boyx211C ox211Dox14．设方程x xlg 2=-的两个根为21,x x ，则（ ）A ．21x x <0B ．21x x =1C ．21x x >1D ．0<21x x <115．函数12()log 1f x x =-的图像大致是xy 0 1 2 A xy1 2-1 -2Bxy1 2 xy12 -1 -2D16．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集的补集 （ ）A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)17．定义在R 上的函数)2,()(-∞=在x f y上是增函数，且函数)2(+=x f y 的图象的对称轴是直线x =0，则（ ）A ．)3()1(f f <-B ．)3()0(f f >C ．)3()1(f f =-D ．)3()2(f f <18．若1x 满足2x+2x=5, 2x 满足2x+22log (x-1)=5, 1x +2x =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4二、填空题（30分）19．已知下图（1）中的图像对应的函数为()y f x =，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是_________.（请填上你认为正确的答案的序号）①|()|y f x = ②(||)y f x = ③(||)y f x =- ④(||)y f x =-20．已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．21．函数y =log 3(3-x )的图象是由y = log 3(x+3)的图象经怎样的变换而得到___________22．函数1)(+++-=a x ax x f 图象的对称中心为（3，-1）则a =__________。
函数的对称性与函数的图象变换
(1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x
y
y
y
1 Ox
1
O
-1
x
1
O
-1
x
函数图象对称变换的规律:
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 x=a
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
f(-x)=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
y=f(x)图像关于(0,0)中心对称
f(-x)=-f(x)
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
f(x)=-f(2a-x)
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
②若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2
关于直线 x=5 对称.
问题2. 设f(x)= 1 (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、
x
y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，在各个领域都有广泛应用。
理解和应用函数对称性有助于我们更好地理解和解决数学问题。
本文将对函数对称性的概念、性质和应用进行总结。
函数对称性的概念：在数学中，函数对称性是指函数具有某种变换性质，使得在一定的条件下，函数在变换前后保持不变。
具体来说，如果对于定义域上的任意一个元素x，都存在一个元素y，使得对称变换后的x，会得到y，在函数对称变换之后，函数的图像也会发生相应的变化。
函数对称性可以分为轴对称、中心对称和周期对称等。
1.轴对称：一个函数在平面上如果具有轴对称性，比如存在一个轴使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是轴对称函数。
轴对称函数的图像具有左右对称的特点。
比如，y = x^2 就是一个轴对称函数，其图像关于y轴对称。
2.中心对称：一个函数在平面上如果具有中心对称性，比如存在一个点使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是中心对称函数。
中心对称函数的图像具有上下左右对称的特点。
比如，y = sin(x) 就是一个中心对称函数，其图像关于原点对称。
3.周期对称：一个函数如果具有周期对称性，那么在一定的周期内，函数的变换可以形成循环。
即，在给定的周期内，函数的某个值与另一个值相等。
周期对称函数的图像在周期内具有相似的形状和变化趋势。
比如，y = sin(x) 就是一个周期对称函数，其周期为2π。
函数对称性的性质：1.对称轴或对称中心是函数对称性的重要特征。
通过找到函数的对称轴或对称中心，可以更好地理解函数的变化规律和性质。
2.函数对称性能够简化函数的分析和计算过程。
根据函数对称性的特点，我们可以通过分析对称图形的一部分，推断出对称图形的其他部分；通过对称性可以简化函数的复杂性，并提供更方便的计算方法。
3.函数对称性能够提供问题求解的启示。
函数对称性在实际问题中具有重要的应用价值，比如建筑设计中的对称线、电路中的交流信号分析等。
函数关于某点对称的问题
函数关于某点对称的问题一般涉及到函数的对称性、图像变换等知识点。
以下是对这类问题的一些基本理解和解题思路：
1. 理解函数对称的基本概念：函数的对称性是指函数图像关于某点、某直线或某种对称变换的特性。
常见的对称变换包括轴对称、中心对称等。
2. 掌握函数对称的基本性质：如果函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，那么函数图像关于x=(a+b)/2成轴对称图形。
如果函数f(x)满足f(x)=f(2a-x)，那么函数图像关于直线x=a成轴对称图形。
3. 根据对称性质求解函数表达式：设函数f(x)与g(x)的图像关于点(a,b)对称，那么可以找到一个函数h(x)=f(2a-x)，使得h(x)与g(x)的图像关于点(a,b)对称。
4. 灵活运用中点坐标公式：对于任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其关于点(a,b)对称的点C(x,y)满足条件：x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2。
这个公式可以用来求解对称点坐标。
5. 熟练掌握常见函数的对称性：例如，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称；正弦函数和余弦函数图像关于垂直直线对称等。
6. 注意对称问题的应用范围：在实际问题中，函数的对称性可以用来简化复杂的问题，例如在几何、光学、物理学等领域都有广泛的应用。
总之，解决函数关于某点对称的问题需要熟练掌握函数的基本概念、性质和对称变换的原理，同时结合具体问题灵活运用所学知识。
函数与像的对称性与变换
函数与像的对称性与变换函数与像的对称性与变换是数学中一个重要的概念和技巧，它主要用于研究函数图像的性质与特点。
通过对函数的变换和对称性的研究，可以更深入地了解函数的行为和特性，从而解决一些实际问题。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某些操作下表现出的某种规律性。
常见的函数对称性有：奇函数、偶函数、周期函数和一般函数。
1. 奇函数：若对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数的图像以原点为对称中心，即左右对称。
2. 偶函数：若对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数的图像以y轴为对称轴，即左右对称。
3. 周期函数：若存在正数T，对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数。
周期函数的图像呈现出某种规律的重复性。
4. 一般函数：既不满足奇函数也不满足偶函数性质的函数称为一般函数，它的图像没有明显的对称性。
二、函数的变换函数的变换是指通过一系列的操作，改变函数图像的位置、形状、大小等特征。
常见的函数变换操作包括平移、伸缩、翻转和旋转等。
1. 平移：函数的平移是指将整个函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移有水平平移和垂直平移两种情况，分别用平移量a和b 来表示。
2. 伸缩：函数的伸缩是指将整个函数图像在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
伸缩有水平伸缩和垂直伸缩两种情况，分别用伸缩因子k 和h来表示。
3. 翻转：函数的翻转是指将整个函数图像关于某一直线对称。
翻转有水平翻转和垂直翻转两种情况，分别用翻转轴x=a和y=b来表示。
4. 旋转：函数的旋转是指将整个函数图像绕坐标原点或者某一点旋转一定的角度。
旋转用旋转中心和旋转角度来表示。
三、应用实例函数与像的对称性与变换在实际问题中有着广泛的应用。
以下举几个例子进行说明。
1. 对称轴的求解：利用函数的对称性，可以通过观察函数的图像来推断函数的对称轴，并进一步求解问题。
例如，通过观察一条曲线图像在x轴的对称性，可以得出该函数是偶函数，进而得到函数的性质和解析式。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
高三数学专题教案函数图像的变换及应用_
芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学专题教案：函数图像的变换及应用一．知识梳理复习函数图像的变换：(1)、奇偶函数图象的对称性；(2)、假设f(x)满足f(a+x)=f(b －x)那么f(x)的图象以2a b x+=为对称轴;特例：假设f(a+x)=f(a －x)那么f(x)的图象关于x=a 对称。
(3)、假设f(x)满足f(a+x)=-f(b －x)那么f(x)的图象以(,0)2a b +为对称中心;特例：假设f(a+x)=-f(a －x)那么f(x)的图象以点〔a,0〕为对称中心。
(4)、假设f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c 那么f(x)的图象关于点(,)22a b c +中心对称。
二．例题讲解例1、求函数y=f 〔1-x 〕与函数y=f 〔x-1〕的图象对称轴方程？〔1〕．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①假设)(x f 是奇函数，那么)1(-x f 的图像关于点)0,1(A 对称；②假设对R x ∈，恒有)1()1(-=+x f x f ，那么)(x f 的图像关于直线1=x 对称； ③假设函数)1(-x f 的图像关于直线1=x 对称，那么)(x f 为偶函数； ④函数)1(x f +与函数)1(x f -的图像关于直线1=x 对称．其中正确命题的序号为______________________．例2、设f(x)=x+1,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线的解析式。
例3、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,求f(x)的解析式。
例3、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01,||1|lg |)(x x x x f ，那么关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f有7个不同实数解的充要条件是〔〕(A)0<b 且0>c(B)0>b 且0<c (C)0<b 且0=c (D)0≥b 且0=c 例4．函数)(x f 的图像与函数21++=x x y 的图像关于点)1,0(A 对称． 〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕假设xa x f x g +=)()(且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求正数a 的取值范围． 例5、函数4(1)|1|()2(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩〔1〕作出函数()y f x =的大致图像． 〔2〕〔考虑题〕假设关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x 、、，求222123x x x ++的值．三、课后习题：1、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,求f(x)的解析式。
反函数、函数图像、函数的对称性
反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕.一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12， 二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
四.性质判断型例4. 函数y e e x x=--2的反函数是（ ）A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 五. 反函数求值型例5. 设352)(-+==x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线y=x 对称，则 g(4)= 。
函数的对称性与函数的图象变换课件
轴对称
点对称
如果函数$f(x)$满足$f(k-x) = f(k+x)$ ，则称函数$f(x)$具有点对称性。
如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$， 则称函数$f(x)$具有轴对称性。
函数对称性的分类
01
02
03
偶函数
如果对于定义域内的任意 $x$，都有$f(-x) = f(x)$ ，则称函数$f(x)$为偶函 数。
THANKS
感谢观看
详细描述
在平面坐标系中，顺时针旋转函数图像意味 着将每个点按照顺时针方向移动一定的角度 。具体来说，如果一个点在坐标系中的坐标 为(x, y)，经过顺时针旋转θ角度后，其新的 坐标变为(x', y')，其中x' = x cosθ - y sinθ ，y' = x sinθ + y cosθ。
逆时针旋转
一个函数如果既是奇函数又是偶函数，则被称为既奇又偶函 数。其定义是对于所有x，有f(-x) = -f(x)当且仅当f(-x) = f(x) 。例如，函数y = sin(x)是一个既奇又偶函数，其图像关于原 点对称。
04
函数图象的翻折变换
沿x轴翻折
总结词
当函数图像沿x轴翻折时，图像在x轴 两侧对称。
$y$轴。
对称中心的性质
如果函数$f(x)$具有点 对称性，则其对称中心
为$(k,0)$。
偶函数的性质
偶函数的图像关于$y$ 轴对称。
奇函数的性质
奇函数的图像关于原点 对称。
02
函数图象的平移
向左平移
总结词
当函数图像向左平移时，图像上 的每一个点都沿着x轴负方向移动 。
详细描述
对于函数$y = f(x)$，若图像向左 平移$a$个单位，则新的函数解析 式为$y = f(x + a)$。
函数图象的几种常见变换
函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1.y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f （x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价：f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；（x+a）=f（x）周期：|a|（x+a）=-f（x）周期：2|a|（x+a）=（或周期：2|a|（x+a）=f（x-a）周期：2|a|（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|（x+a）=（或）周期：4|a|(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
函数图像的变换
函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位失掉函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位失掉函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位失掉函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位失掉函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。
2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点坚持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)失掉函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点坚持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)失掉函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。
3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。
(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。
(3)相对值效果①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像坚持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉失掉函数 y =| f(x)|的图像;②函数 y =f(x)y轴及其右侧的图像坚持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧失掉函数 y =f(| x|)的图像;③函数y = f(x)先用第②步的方法失掉函数y =f(| x|)的图像，再平移a个单位失掉函数y =f(|x-a|)图象。
我们还可以失掉下面的结论：(1)函数y = f(x)与y =f(2a-x)图象关于直线x = a 对称;(2)函数y = f(x)与y =2b-f(x)图象关于直线y = b 对称;(3)函数y = f(x)与y =2b-f(2a-x)图象关于点(a，b)对称;附注：下面是有关函数图象自身的对称性的一些结论，我们把它放在这里来对比一下：(1)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(a + x)=f(a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于x=a对称;(2)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(bx)=f(2a -bx)成立，那么函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，那么函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。
二次函数的性质与图像变换
二次函数的性质与图像变换二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
二次函数的性质与图像变换是我们对二次函数的深入了解的重要方面。
本文将从二次函数的性质以及图像变换两个方面来展开讨论。
首先，我们来了解二次函数的性质。
二次函数的一般形式可以表示为：f(x) =ax^2 + bx + c，其中a，b，c分别为实数，且a ≠ 0。
二次函数的性质可以总结为以下几点：1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的顶点对称。
这意味着如果(x, y)是抛物线上的一个点，那么(2h - x, y)也是抛物线上的一个点，其中h为抛物线的顶点的横坐标。
2. 奇偶性：二次函数关于y轴是偶函数，即满足f(-x) = f(x)；关于x轴是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。
这个性质可以从二次函数的图像中看出来。
3. 零点：二次函数的零点是使得函数值为0的x值。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得二次函数的零点。
当判别式D = b^2 - 4ac为正时，二次函数有两个不相等的实根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；当D为负时，二次函数没有实根。
4. 极值：二次函数的顶点是函数的极值点。
当二次函数的导数为0时，即f'(x) = 0，解这个方程可以得到函数的极值点。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解二次函数的特点，进一步应用于实际问题的解决中。
其次，我们来讨论二次函数的图像变换。
二次函数的图像可以通过改变系数a，b，c来进行平移、伸缩、翻转等操作。
1. 平移：二次函数的图像可以沿x轴和y轴进行平移。
当抛物线的顶点的横坐标加上一个常数h时，抛物线向左移动h个单位；当抛物线的顶点的纵坐标加上一个常数k时，抛物线向上移动k个单位。
2. 伸缩：二次函数的图像可以沿x轴和y轴进行伸缩。
当系数a的绝对值增大时，抛物线变得更加狭长；当系数a的绝对值减小时，抛物线变得更加扁平。
简析两个函数图象的对称性
简析两个函数图象的对称性
两个函数图象的对称性指的是函数的轴对称，图象的结构是由点的一系列排列组成的，具有一定的平衡性和美感，函数的对称性决定了函数的展示规律是一致的，可以清晰的表示出函数的变化趋势。
观察可知，两个函数图象都具有典型的轴对称特征，它们的图象有一条中轴线，这条线就是轴对称的轴，轴线左右两侧的形状和大小是一样的，但是是反着的。
其中函数一的轴对称轴是y轴，函数二的轴一般都是x轴，轴线左右形状是一样的，但是反着的，而且两个函数变化状态是一样的，所以可以判断函数是具有轴对称特性的。
此外，对称能更好的表达函数的特性，函数轴对称的特点使得图象具有视觉上的和谐性，在使用函数图象来描述函数曲线时，能够很清楚地看出函数变化的趋势和变化极值点，可以更直观和动态地表达函数的变化情况。
总的来说，两个函数的对称性表明它能够很好的表达函数的曲线走向，可以帮助我们更好的观察函数的变化，从而分析函数的特点，更好的理解函数的规律，并能够准确的应用到实际的问题中。
函数的对称性及其图像变换
函数的对称性及其图像变换介绍对称性之前⾸先介绍下抽象函数f(x)，这个含义是：将映射关系f作⽤于括号内的东西，这⾥就是x。
强调⼀下，f作⽤的对象是括号内的全体，所以不管括号内的式⼦长什么样⼦，需要整体看待。
⼀个映射关系f就对应⼀个⾃变量为x的函数图像，作⽤的结果就是函数值。
举个例⼦：f(x),f(x+10) 有相同的映射关系f，但这个映射关系作⽤的对象不同，前者直接作⽤于⾃变量x，后者作⽤于x+10，所以两者得到的函数式是不同的，因为函数图像是函数值和⾃变量x之间的关系，并不是函数值和所作⽤对象之间的关系，所以f(x),f(x+10) 两者的图像不⼀样。
1. 函数的变换之所以会存在这样⼀个变换，是由于两个函数之间存在⼀个相同的映射关系f，只是作⽤的对象不⼀样，导致图像不⼀样，但因为映射关系相同，所以可以找到它们图像之间的联系，或者说：找能使它们函数值相等的⾃变量之间的关系。
1）平移变换⽐如：f(x),f(x+10)，这两个图像有什么位置联系呢？由于映射关系相同，所以f作⽤于相同的⼀个值，那函数值必然相同，观察可得：只要函数f(x+10) 代⼊的⾃变量x⽐代⼊函数f(x) 的⾃变量⼩ 10，那它们的函数值就⼀样，对于它们的⾃变量全体都有这样的特点，于是可以得到它们图像的特点：图像f(x+10) 右移 10 个单位就是图像f(x)。
更通俗来讲：因为f(x+10) 本⾝⾃带了⼀个增量，所以⾃变量可以少⼀点，⽽f(x) 本⾝没有增量，所以⾃变量要多，两者才能相等。
总之：针对同⼀个x，函数f(x) 代⼊x，函数f(x+10) 代⼊x−10，两者函数值相等。
2）对称变换⽐如：f(−x+k) 和f(x+k)，这两个图像有什么位置关系呢？它们的⾃变量之间存在怎样的关系，才会使函数值相同呢？针对同⼀个x，可以发现这两个函数的作⽤对象 −x+k和x+k关于直线x=k对称，所以函数f(−x+k) 代⼊x，⽽函数f(x+k) 代⼊x关于直线x=k的对称点 2k−x(对称的对称，所以作⽤对象就相同)，两者就有相同的函数值。
高数—12暑—10—对称性与周期性、函数的图像—顾铭鉴-教师版
高三数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号10 课型复习课题对称性与周期性、函数的图像教学目标1．掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型2．掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题教学重点1．函数的周期、对称问题的综合2．函数图像变换的基本模型的分析教学安排版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30一、对称性（一）一个函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称()()()f a x f b x f x +=-⇔ 的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称 推论1、()()()f a x f a x f x +=-⇔的图象关于直线x a =对称 推论2、()(2)()f x f a x f x =-⇔的图象关于直线x a =对称 推论3、()(2)()f x f a x f x -=+⇔的图象关于直线x a =对称2、中心对称()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称 推论1、()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论2、()(2)2()f x f a x b f x +-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论3、()(2)2()f x f a x b f x -++=⇔的图象关于点(,)a b 对称（二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称 2、()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称 3、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、()y f x =与其反函数1()y fx -=图象关于直线y x =对称※5、函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称 对称性与周期性、函数的图像知识梳理推论1、函数()y f a x =+与()y f a x =-图象关于直线0x =对称 推论2、函数()y f x =与(2)y f a x =-图象关于直线x a =对称 推论3、函数()y f x =-与(2)y f a x =+图象关于直线x a =-对称二、周期性：()()f x T f x += 1、T 必须是常数，且不为零；2、等式必须对于定义域上的所有x 值都成立；3、如果T 是函数()f x 的一个周期，则(0)kT k k ∈≠Z 且都是()f x 的周期． 周期函数的定义域是无界的，存在无数个周期．【思考】是否存在函数为周期函数，但是无最小正周期？ 存在，常值函数 函数关系()x a b ∈≠R 且周期说明 )()(x f T x f =+T)()(x f T x f -=+ T 2)(1)(x f T x f ±=+ T 2)()(T x f T x f -=+ T 2 )()(T x f T x f --=+ T 4⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两条对称轴间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数 a 2⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两个对称中心间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数a 2()()()()f a x f a x f b x f b x +=-⎧⎨+=--⎩ 4()b a -正（余）弦函数相邻一条对称轴和一个对称中心间的距离为14周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数 4a()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数4a1．1(1)1()f x f x +=-，3T =； 2．1()(1)1()f x f x f x -+=+，2T =；3．1()(1)1()f x f x f x ++=-，4T =； 4．(1)()(2)f x f x f x +=++，6T =；5．(1)()(2)f x f x f x +=+g ，6T =．三、图像变换问题平移 变换向左移)0(>a a 个单位 向右移)0(>a a 个单位 向上移(0)b a >个单位 向下移(0)b a >个单位按向量(,)a h k =r平移)(x f y =的图像)(a x f y +=→的图像 )(x f y =的图像()y f x a →=-的图像 )(x f y =的图像b x f y +=→)(的图像 )(x f y =的图像()y f x b →=-的图像 )(x f y =的图像k h x f y +-=→)(的图像 伸缩 变换每点纵标伸)0(>a a 倍 每点横标伸)0(>a a 倍)(x f y =的图像)(x af y =→的图像)(x f y =的图像⎪⎭⎫⎝⎛=→x a f y 1的图像绝对值 变换关于y 轴对称 将x 轴下方图像翻上)(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像 )(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像一、对称性与周期性【例1】已知函数()1x af x x a -=--的图象的对称中心是(4,1)，则a = ．【难度】★ 【答案】3【例2】（2010上海春18）已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）．A ．)21,2(B ．)41,2(C ．)81,2( D ．(0,0)【难度】★★【答案】C【例3】已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】{}3,0,3-【例4】已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩．且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上的所有实根之和为 ． 【难度】★★【答案】26(1)11-⨯--=-例题解析【例5】函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数a 、b 、c 应满足的充要条件为 ．【难度】★★★【答案】20,40a b ac <-=【解析】由题意，得函数图象上有且仅有一个点【例6】若关于x 的方程(2008)()0+-=f x f a x 恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a 的值为 ． 【难度】★★★ 【答案】2010【解析】(2008)y f x =+与()y f a x =-关于20082a x -=对称【例7】已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，2()24f x x x =-++，则当[3,6]x ∈时，()f x =__________．【难度】★★【答案】21020x x -+-【解析】若[3,6]x ∈，则6[3,0]x -∈-，6[0,3]x -∈22()(6)(6)(6)2(6)241020f x f x f x x x x x =-=-=--+-+=-+-【例8】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数．若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= ． 【难度】★★ 【答案】8-【解析】12342(6)228x x x x +++=⨯-+⨯=-【例9】已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=__________．【难度】★★ 【答案】5- 【解析】()()()()()()()()112112f x f x f x f x f x f x f x f x =-++⎧⎪⇒+=--⎨+=++⎪⎩ ()()()()52116f x f x f x f x T ⇒+=-+=---=-⇒=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2012201222115f f f f f f ⇒+-=+-=---=-【例10】（2011上海高考理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x xg x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ． 【难度】★★★ 【答案】[15,11]-【解析】若[4,5]x ∈，则1[3,4]x -∈则()()(1)1(1)1[1,6]f x x g x x g x x g x =+=+-=-+-+∈- ※值域为[15,8][1,6][4,11][15,11]---=-UL U UL【巩固训练】1．已知函数2221()()21mx mx m f x m x x -+-=∈-+R ，则该函数的对称轴方程为 ． 【难度】★ 【答案】1x =2．已知(1)f x +是偶函数，则函数(2)y f x =的图象的对称轴方程是 ． 【难度】★ 【答案】12x =3．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++=L ．【难度】★ 【答案】04．函数()y f x =的图象沿x 轴正方向平移2个单位，得图象1c ，图象1c 关于y 轴对称图象为2c ，那么2c 对应的函数解析式是 ．【难度】★★【答案】(2)y f x =-- 5．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 至少为 ．【难度】★★ 【答案】56．若函数()y f x =满足()(2)20f x f x +-+=，则()y f x =图象的对称中心是 ． 【难度】★★ 【答案】(1,1)- 7．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线 对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线 对称． 【难度】★★【答案】x k =；0()x y =轴8．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】41-9．已知函数1()()f x m x x =+的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称． （1）求m 的值； （2）若()()4ag x f x x=+在(]0,2上为减函数，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）14m =；（2）3a ≥10．设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，对任意实数x ，都有)()2(x f x f -=+，当11x -≤≤时，()sin f x x =．（1）试证：直线x = 1是函数)(x f 图象的一条对称轴； （2）证明：函数)(x f 是以4为周期的函数； （3）求]5,1[∈x 时，)(x f 的解析式；（4）若集合{}(),A x f x a x =>∈R 是非空集合，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）提示：证明(1)(1)f x f x +=-； （2）提示：证明(4)()f x f x +=；（3）sin(2)[1,3]()sin(4)(3,5]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩；（4）sin1a <．11．已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x ∈R 均有)2()4(x f x f -=-成立，且函数的图像过点A 3(1,)2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[4,]m ，求实数t m 、的值． 【难度】★★★【答案】 （1）2()(4)(2)f x ax bx x f x f x R 对任意恒有=+?=-Q 成立，且图像过点3(1,)2A ，22(4)(4)(2)(2),3.2a x b x a x b x a b ìï-+-=-+-ïï\íï+=ïïî化简22(4)(4)(2)(2)(126)0a x b x a x b x 2b -4a x a b -+-=-+-+-=，得()．此一元一次方程对x R Î都成立，于是，2401260b a a b ì-=ïïíï-=ïî，即2b a =． 进一步可得121a b ìïï=ïíïï=ïî．21()2f x x x 所求函数解析式为\=+． （2）()[4]f x t x m -?Q 的解集为，， 2221(),220[4,],42x t x t x x tx t t m m 即的解集是且.\-+-?+-? 224220m x tx t t 、是方程的两根\-+-=．于是，24242m t m t tì+=ïïíï=-ïî，解此方程组，得120()82m m t t 祆==镲镲眄镲==镲铑或舍去．※128m t ì=ïïíï=ïî．二、函数的图像【例11】分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-； （2）2||y x x =-； （3）2|2|3y x x =+-；（4）lg |1|y x =-； （5）2(1)3y x -=-+； （6）()2lg 2y x =-．【难度】★★ 【答案】略【例12】手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示．在作曲线段AB 时，该学生想把xyO AB223函数12,[0,2]y x x =∈的图像作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段AB 在[2,3]x ∈上对应的函数解析式________． 【难度】★★【答案】12222y x =-+（）【例13】设定义域为R 的函数|lg |1||,1,()0,1,x x f x x -≠⎧=⎨=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解，求实数b 、c 需要满足的条件． 【难度】★★【答案】0b <且0c =【解析】lg lg |||lg ||||lg |1||x x x x →→→-或lg |lg ||lg ||||lg |1||x x x x →→→-令()t f x =，则20t bt c ++=由题意，得121220000t t t b t t t c t +=->>⎧⎧⇒⎨⎨⋅===⎩⎩解得，0b <且0c =【例14】已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为 ． 【难度】★★ 【答案】①②③④【解析】方法一：212()()y f x f x k y =-=-=，易得，1y 为偶函数 当0x ≥时，21(1)(2)1(1)|1|(1)01x x x y x x x x x --≥⎧=---=⎨-≤<⎩方法二：令|()||||1|t f x x ==-，则2(0)k t t t =-+≥当14k =，1212t t ==，4个不同的实根 当104k <<，121012t t <<<<，8个不同的实根当0k =，120,1t t ==，5个不同的实根 当0k <，1t >，2个不同的实根【例15】（2014浦东二模理18）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【难度】★★ 【答案】B【解析】21lg(100)2lg 100y x x =-=-关于100x =对称，27(||200)(||202)2y x x =---为偶函数，且0x ≥的部分的对称轴为201x =， 两个函数在100x =的左侧和右侧分别有1个和3个交点，∴选B【例16】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--，②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．【难度】★★ 【答案】50【解析】在同一直角坐标平面内作出()y f x =与1y =的图象123452,2612,21836x x x x x =+=⨯=+=⨯=※1234550x x x x x ++++=【例17】已知函数()f x 满足：※对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；※当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．【难度】★★★ 【答案】36【解析】21010101020202020(2020)2(1010)2(505)2222822f f f f ⎛⎫⎛⎫=====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L (1,2]x ∈时，()2f x x =-，()[0,1)f x ∈ (2,4]x ∈时，()4f x x =-，()[0,2)f x ∈……1(2,2]n n x +∈时，1()2n f x x +=-，()[0,2),n f x n ∈∈Z显然，()28f a =，a 必须最小，(32,64]a ∈，(32,64]x ∈，()64f x x =-，∴min 36a =【例18】定义在R 上的函数)(x f ，当(1,1]x ∈-时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足(2)()f x af x -=（常数0>a ），则函数)(x f 在区间(5,7]上的最小值是 ．【难度】★★【答案】36 【解析】1()(2)f x f x a =-，可以看成平移2个单位后，再将纵坐标变为原来的1a倍，易得341a -【例19】已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，求实数m 的取值范围；（2）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围． 【难度】★★★【答案】（1）※[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，※当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n-==-=-=Λn x n m -⋅=2，即[)1,+∈n n x 时，nx nm x f -⋅=2)(，*n ∈N ，※)(x f 在[)∞+,0上单调递增，※0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n n n n m m ，即2≥m ．（2）※当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+，※当[]4,44,x n n n ∈+∈Z 时，()()2()(4)(4)444n n f x mf x m f x n m x n x n ⎡⎤=-==-=---⎣⎦L ，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；当01<<-m时，[]mxf4,4)(--∈；当1-=m时，[]4,4)(-∈xf；当1>m时，(]0,)(∞-∈xf；当1-<m时，()+∞∞-∈,)(xf；综上可知：01<≤-m或10≤<m．【巩固训练】1．函数(),01,10x by a a b+=<<-<<的图象为（）．A．B．C．D．【难度】★【答案】C2．已知,,m n m nαβαβ∈<<R、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n=---的零点，则m nαβ、、、四个数按从小到大的顺序是（用符号<“”连接起来）．【难度】★【答案】m na b<<<3．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是.【难度】★【答案】4．关于x的方程243x x a x-+-=有三个不相等的实数根，则实数a的值是．【难度】★【答案】1-或34-21xy=+y b=b[]1,1-5．若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】A6．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．【难度】★★【答案】3【解析】利用将0x >时的图象关于原点对称，看和0x <时的图象的交点个数，所以答案为37．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ． 【难度】★★ 【答案】221 【解析】转化为6()f x x=，作出两个函数的图象， 可得交点的横坐标分别为3362、、，※和为2218．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ．当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=．设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ．（其中n *∈N ）【难度】★★ 【答案】32【解析】1(2)(),[0,)3f x f x x +=∈+∞【图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的13】 ※1(1)1a f ==，21(3)3a f ==，…，11(21)3n n a f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭※113lim 11213n n a S q →∞===--9．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ． 【难度】★★ 【答案】810．（2012上海理13）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ． 【难度】★★ 【答案】54【解析】由题意，得110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩．左图中的图形进行分割和重新拼合后能得到右图中的矩形．故，所求图形的面积155224=⨯=．11．已知函数21(1),02,()1(2),2,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2nk = ． 【难度】★★★ 【答案】1214()n n n ++ 【解析】n y k x ⇔=⋅与从左往右数的第1n +个半椭圆弧相切22222[(21)](2)1(14)(42)(44)0n n n n x n y k x n x n n y k x⎧-++⋅=⇒+-+++=⎨=⋅⎩ 212104()n n k n n +∆=⇒=+1、函数作图的难点问题（1）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 方法一：()()0,+(||)0,a x a x a y f x y f x a y f x a a x a >===−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<=左移保留右边图像，去掉左边图像右移并作关于对称图像方法二：()()0,(||)0,y y a y f x y f x y f x a y a >=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=−−−−−−→=+<保留轴右边图像，去掉轴左边图像左移并作关于轴对称图像右移（2）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 ()()0,+(||)0,a y y y f x y f x a y f x a a y >=−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<左移保留轴右边图像，去掉轴左边图像右移并作关于轴对称图像．2、函数作图的一些建议（1）作图前先分析函数的奇偶性、对称性、周期性等性质；反思总结（2）遇到含绝对值的函数，做好分类讨论去绝对值的准备； （3）合理利用平移变换和对称变换进行作图方法的设计． 如：（2016浦东二模理14）关于x 的方程11sin 211x x π=--在[2016,2016]-上解的个数是 ． 看作1111y x =--与21sin 2y x π=在[2016,2016]-图象交点的个数问题1y ：111()1y y x x =−−−−−−→=-向右移个单位偶函数111()111y y x x −−−−→=−−−−−−→=---右翻左向右移个单位偶函数如图可知，两函数图象在[1,3]-上有3个交点， 在[2016,2015)--、[2015,2014)--、…、[2,1)--、(3,4]、(4,5]、…、(2015,2016]均只有1个交点，∴共4031个交点，∴∴解的个数是40311．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：※若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点(1,0)A 对称； ※若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ※若对x ∈R ，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期； ※函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【知识点】对称性、周期性 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①②③④ 课后练习2．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：※ 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ※ 函数()f x 一定存在零点； ※ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；※ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -．那么所有真命题的序号是 ．※※ 【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①④3．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：※函数的定义域为，值域为；※函数在上是增函数；※函数是周期函数，最小正周期为1；※函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是 ．【知识点】新定义、函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③④4．（2014宝山一模14）关于函数()1x f x x =-给出下列四个命题：※当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ※方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；※如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数；※()y f x =是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号） 1122m x m -<+≤{}x m =(){}f x x x =-()y f x =R 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =()y f x =2kx =()k Z ∈【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】②④5．（2014嘉定一模13）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】47【解析】※()f x 为偶函数，※1a =- 设C x x =，则B x x =-，3D x x =C D 、关于1x =对称13212x x x ⇒+=⨯⇒=，※1724t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭6．（2014闵行二模理14）对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：※任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；※()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；※函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ※对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③【解析】图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的12※[0,),()[1,1]x f x ∈+∞∈-，该命题正确※※1()(2)2f x f x =- ※2111(2)(22)(24)()222k f x k f x k f x k f x +=⋅+-=⋅+-==L※()2(2)kf x f x k =⋅+，该命题错误※如图，()y f x =与ln(1)y x =-图象的交点有3个，该命题正确※反例：当52x =时，555159222248f ⎛⎫⋅=⋅=> ⎪⎝⎭ ※正确的序号为※※7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k = ．【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★★ 【答案】436-【解析】“()()f x T f x T +=+”表示函数图象向右平移T 个单位后，再向上平移T 个单位2()1()(0)g T T T g T g T T⎧=⇒=⎨=+=⎩，由于()g x 是R 上的奇函数，※可得()[]2,1,0g x x x =-∈- 零点个数问题转化为函数()y g x =与y kx =的交点问题， 要有8个交点，表示2()(3)3,[3,4]y g x x x ==-+∈的图象与y kx =相切2436(6)1200k k x k x ∆>⎧⇒=-⎨-++==⎩方程的8．已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2x x f =，则函数()x f y =()x ∈R 图像与x y 5log =图像的交点的个数是（ ）．A ．8B ．9C ．10D ．12 【知识点】函数周期、图象综合 【题型】选择题 【难度】★★ 【答案】C9．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M T 、，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．（1）试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由； （2）证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；（3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像． 【知识点】新定义、函数周期与函数图象综合、探究性问题 【题型】选择题 【难度】★★★【答案】（1）()sin f x x =Q ，(2)()sin(2)sin 0f x f x x x ππ∴+-=+-=2π∴不是函数()f x 的准周期 （2）(2)()[2(2)sin(2)](2sin )24sin 2sin 4f x f x x x x x x x x x πππππ+-=+++-+=++--=Q※()2sin f x x x =+是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π= （3）① 写出一个不同于题设和（2）中函数，如3sin ,2(1),23sin ,[]xy x x y x y x x y x =+=+-=+=等得1分(0),()sin(),()cos()y kx b k y kx b A x y kx b a x ωϕωϕ=+≠=+++=+++， 或其它一一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式得3分 ② 指出所写函数的一个准周期，得2分③ 指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…， （写出一条得1分，写出两条以上得2分，可以不证明） ④ 画出其大致图像，得3分． Oxy1234123455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5。
高中函数四大性质及函数图像变换
单调性一，知识点1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，其本质是某个区间的割线斜率。
函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间．但必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点．2.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减，单调区间用逗号或区间联立。
三、函数的单调性常见公式应用(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.（3）在公共定义域内增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减 如果f(x)为增函数，则-f(x)，1/f(x)为减函数， )(x f 为增函数 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数； 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数；如果函数)(u f y =和 )(x g u =在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数)]([x g f y =是减函数（概括就是同增异减）奇偶性一、 知识点（1）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数特有性质f(x)=f(-x)=f(/x/)（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.二、疑难知识导析对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.三、奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数四、常见结论1、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.若函数)(x f y =是奇函数，则f(x+a)=-f(-x-a);若函数)(a x f y +=是奇函数，则 f(x+a)=-f(-x+a)2、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.3、函数根据奇偶性可分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．4、奇函数y ＝f(x)若在x ＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.5、奇函数在整个定义域上单调性一致，偶函数在整个定义域上单调性相反6、常见的奇偶函数为奇函数为奇函数为奇函数为偶函数)12^(log )(11log )(^/1^)(^/1^)(++=-+=-=+=x x x f xx x f x a x a x f x a x a x f a a 7、设f(x)是定义域内关于原点对称的任意一个函数，则G(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 H(x)=f(x)-f(-x) 为奇函数周期性1、周期函数定义域必须为R2、几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）若)()(a x f x f +-=，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6)f(x+a)f(x+b)=c 则f(x)的周期T=2|a-b|(7))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.(8)在三角函数Y=sin （wx+a ）中，相邻的对称中心是半个周期，相邻的对称轴是半个周期，对称中心和相邻的对称轴是四分之一个周期。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函 数的图象，并说明它们之间有什么关系？
（1）y=2x与y=2|x|
y
|x| y=2 y=2x
1
O
x
由y=f(x)的图象作 y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中y轴右侧部分， 再加上y轴右侧部分关于y轴对称 的图形.
y
由y=f(x)的图象作 y=|f(x)|的图象：
-3 -2 -1
x
x0
1 2 3 4 5 6 7 8
X
从”形”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
从”数”的角度看，
f(1)= f(3) f(0)= f(4)
f ( x)
f(-2)= f(6)
f(310)=f(4-310)
7 8
4-x
-3 -2 -1 0 1
函数图象的三大变换
平移
对称
伸缩
问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函 y 数的图象？ y=f(x)+1
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1 函数图象的平移变换： y=f(x) y=f(x) a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a)左右平移 a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位
-x
o
x a
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看， y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
y
从”数”的角度看， f(x)=-f(2a-x)
f(a-x)=-f(a+x)
b
a-x o
a
a+x
x
类比探究
中心对称性
y=f(x)图像关于(a,b)中心对称
y
f(2a-x)=2b-f(x) f(a+x)=2b-f(a-x)
-x
x
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x) 函数图像关于(a,0)中心对称
函数图像关于直线x=a对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
x=a
a
f(x)=-f(2a-x) f(a-x)=-f(a+x)
练习: (1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),
则函数图像关于 对称 (2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x) (3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x), (4)若y=f(x)满足f(3-x)=-f(4+x)
4
保留y = f(x)在 x 轴上方部分，再加上 x轴下方部分关于x轴 对称到上方的图形
y=f(x+1)
y=f(x-1) 1 -1 O 1
x
y=f(x)-1 -1
同步练习:
①若函数f(x)恒过定点(1,1),则函数f(x-4)-2恒过 定点
(5,-1) .
x=5
对称.
②若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2
关于直线
问题2. 设f(x)=
1 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、
x
x2
2 3 4 5
f(x)=f(4-x)
6
x
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
1 2 3 4 5 6 7 8
x
x=-1
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
特例：a=0
xa
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x), x= a+b 直线 则函数图像关于 2 对称
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看， y=f(x)图像关于(0,0)中心对称
y
从”数”的角度看， f(-x)=-f(x)
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=0对称
Y
从“数”的角度看， f(-x)=f(x)
f (1) f (1) f (2) f (2) f ( x) f ( x)
-x
思考:“函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称”与 “函数y=f(x)满足f(x)= f(2a-x),则函数y=f(x)关于直线x=a对称” 两者间有何区别?
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
y
y=f(-x) y=f(x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 称 （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 变 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 换
对称； 对称； 对称；
练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的 图象的关系，并画出它们的示意图. (1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x
y y y
1
O
1 x
O
1 x -1
O
-1
x
函数图象对称变换的规律:
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称
2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 x=a 对称
(5)若y=f(x)满足f(3-x)=3-f(4+x)
函数图象是研究 函数的重要工具,它能 为所研究函数的数量 关系及其图象特征提 供一种”形”的直观 体现,是利用”数形结 合”解题的重要基础.
描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法;(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法)
b o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x), 则函数图像关于
点( a+b ,0 ) 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x), 则函数图像关于点 (
a+b ,C ) 对称 2
轴对称
函数图像关于直线x=0对称
中心对称性
函数图像关于(0,0)中心对称