一次函数图象的变换对称.doc

一次函数图象的变换--对称

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为【】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是【】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为【】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为【】（A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是【】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是【】（A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【】（A ）向上平移32个单位（B ）向下平移32个单位（C ）向上平移2个单位（D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。

专题24一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称(原卷版)

专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版）类型一平移1．（2022秋•南京期末）将一次函数y ＝﹣2x +3的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（）A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝﹣2x ﹣5C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝﹣2x +72．（2022秋•埇桥区期中）将直线y ＝x +1向上平移5个单位长度后得到直线y ＝kx +b ，则下列关于直线y ＝kx +b 的说法错误的是（）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与x 轴的交点在x 轴的正半轴C ．点（﹣2，4）在函数图象上D ．y 随x 的增大而增大3．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =√33x +1与直线l 2：y =√3x 交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为（）A ．（32）nB ．（12）n +1C ．（32）n ﹣1+12D ．3n −124．（2022•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度m 与直线在x 轴上平移的距离t 的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD 的面积为（）A ．5B ．5√2C ．10D ．10√25．（2021秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．（1）求直线l1的解析式；（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．类型二旋转7．（2022•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣58．（2022•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（）A．B．C．D．9．（2021秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB 绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）10．（2021秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）11．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（）A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−812．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（）A．﹣1B．0C．1D．213．（2022•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+√3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B 顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为．14．（2022春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q 的坐标为．15．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A 顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．类型三对称16．（2021秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣317．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（）A．B．C．D．18．（2021秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣319．（2022秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（）A．313B．35C．53D．13320．（2021春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为．21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为．22．（2022•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为．23．（2022秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是．24．（2022秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．25．（2022秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G 的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．。

新42.一次函数的图像变换

4/18
35. 【中】将直线 y = 2 x − 3 向下平移 4 个单位可得直线______，再向左平移 2 个单位可得直线_______ 【答案】 y = 2 x − 7 ， y = 2 x − 3 36. 【中】将直线 y = 2 x + 1 向下平移 3 个单位，得到的直线应为_______，关于 y 轴对称的直线为________ 【答案】 y = 2 x − 2 ， y = −2 x − 2 37. 【中】（沈阳）将 y = −3x + 4 先向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的直线为__________．【答案】 y = −3x − 10 38. 【中】（2009 青海）直线 y = x + 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位所得直线的解析式为________ 【答案】 y = x − 3 39. 【中】若直线 y = kx + b 平行直线 y = 3x + 4 ，且过点 (1，− 2 ) ，则将 y = kx + b 向下平移
3 个单位的直线是______. 【答案】 y = 3x − 8
1) ，则平移后的直线的函数关系式为 40. 【中】将直线 y = −3x + 5 平移，使它经过点 ( −1，
________ 【答案】 y = −3x − 2
41. 【中】已知一次函数 y = −3x + 2 ，它的图象不经过第____象限，将直线 y = 2 x − 4 向上平移 5 个单位后，所得直线的表达式为________ 【答案】三， y = 2 x + 1 42. 【中】（2010 人大附初二上统练）若直线 y = − mx + 1 + n 沿着 x 轴向左平移 3 个单位得到 y = − x + 1 ，则 m − n = __________．【答案】 −2 43. 【中】（2009 枣庄）在直角坐标系中有两条直线 l1 、 l2 ，直线 l1 所对应的的函数关系式为 y = x − 2 ，如果将坐标纸折叠，使 l1 与 l2 重合，此时点 ( −1，0 ) 与点 ( 0 ，− 1) 也重合，则直线 l2 所对应的函数关系式为______________ 【答案】 y = x + 2

一次函数图象的平移及解析式的变化规律

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为【】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是【】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为【】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为【】（A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是【】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是【】（A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【】（A ）向上平移32个单位（B ）向下平移32个单位（C ）向上平移2个单位（D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。

一次函数图象的变换--对称

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

中考数学一轮复习课件一次函数的图象与性质

2.用待定系数法求一次函数解析式
一次函数的图象及性质
名称
一次函数
图象性质
k＞0，y随着x的增大而增大 .⁠
当b＞0，图象经过第一、二、三象限，直线与y轴交点在正半轴
名称
图象性质
k＞0，y随着x的增大而增大 .⁠
一次函数
当b＝0，图象经过第一、三象限，直线与y轴交点在原点，正比例函数
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图
所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子
“帅”位于点（－2，－1）的位置，则在同一坐标系下，经过
棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ A ）
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
A.k＞0 C.k＋b＞0
第10题图 B.kb＜0 D.k＝－b
11.（2023·安徽月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是（ D ）
A.
B.
C.
D.
12.（2023·绍兴质检）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ D ）
类型一一次函数和正比例函数的定义
1.（2023·乐山）下列各点在函数y＝2x－1图象上的是（ D ）
A.（－1，3）
B.（0，1）
C.（1，－1）
D.（2，3）
2.（2023·金昌）若直线y＝kx（k是常数，k≠0），经过第一、第
三象限，则k的值可为（ D ）
A.－2
B.－1

一次函数图象的平移规律

一次函数图象平移的探究我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？【探究一】函数图像的上下平移我们先从一些具体的函数关系开始.问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1．问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现：将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？)我们再来探究一般情况.问题3已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m．问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成)由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律．这个规律可以简记为：函数值：上加下减以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移问题5 已知直线l ：y=3x -12，将直线l 向左平移5个单位长度得到直线l 1，求直线l 1的解析式．简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数k 相等”，可设直线l 1的解析式为y=3x+b ，直线l 交x 轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b ，得b =3，从而直线l 1的解析式为y=3x +3．问题6 已知直线l ：y=3x -12，将直线l 向右平移3个单位长度得到直线l 2，求直线l 2的解析式．答案：直线l 2的解析式为y=3x -21．(解答过程请同学们自己完成)直接观察结果，很难发现其中的一般规律，那么我们尝试着探究一般情况.问题7 已知直线l ：y=kx+b ，将直线l 向左平移n 个单位长度得到直线l 1，求直线l 1的解析式．简解：设直线l 1的解析式为y=kx+p ，直线l 交x 轴于点(,0)b k- ，向左平移n 个单位长度后变为(,0)b n k --，把(,0)b n k--坐标代入l 1的解析式可得0()b k n p k=--+，p=kn+b ．从而直线l 1的解析式为y=kx+km+b ，即y=k (x+m )+b ．问题8 已知直线l ：y=kx+b ，将直线l 向右平移n 个单位长度得到直线l 2，求直线l 2的解析式．答案：直线l 2的解析式为y=k (x -m )+b ．(解答过程请同学们自己完成) 通过对于一般情况的研究，我可以发现一些变化的规律，现在我们用刚才的具体的函数关系来验证一下我们得到的规律.将直线l：y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线l1的解析式为：y=3x+3，这个函数关系可以改写为：y=3(x+5)-12；将直线l：y=3x-12向右平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=3x-21，这个函数关系可以改写为：y=3(x-3)-12.由此我们得到：直线y=kx+b向左平移n（n为正）个单位长度得到直线y=k(x+n)+b，直线y=kx+b向右平移n（n为正）个单位长度得到直线y=k(x-n)+b，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律．这个规律可以简记为：自变量：左加右减总结：一次函数图像平移的规律函数值：上加下减；自变量：左加右减.※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律.下面，我们对直线(0)y kx b k =+≠在平移规律中”左加右减”作一点解释.我们知道，对于直线(0)y kx b k =+≠上的任意一点的坐标可以表示为(,)x kx b +，反过来我们可以先将y kx b =+变一下形，得到：y b x k k =- ，则此时直线上任意一点的坐标就可以表示为(,)y b y k k-，由左右平移横坐标会发生变化，不改变纵坐标大小(即令y 恒定).由此可知：如果一次函数图象向右移平移了n 个单位，那么平移后点的坐标就会变成(,)y b n y k k -+ ，即 y b x n k k=-+，化成一般可得kx y b kn =-+，变形可得y k b x n -=+（）式所以“右减”. 同理，如果一次函数的图象向左平移n 个单位，那么平移后点的坐标就会变成(,)y b n y k k -- ，即 y b x n k k=--，化成一般可得kx y b kn =--，变形可得y k b x n +=+（）式所以“左加”.如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出，当函数图象向左或向右平移n 个单位时，函数图象在x 轴上的截距减小或增大n 个单位，而在y 轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加n 个单位。

一次函数关于y=-x对称的函数解析式

一次函数关于y=-x对称的函数解析式一、概述在数学中，一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b分别为常数且a不为零。

一次函数是最简单的一类函数之一，它的图像通常是直线，因此也称为直线函数。

而关于y=-x对称的函数，则是指函数的图像关于直线y=-x对称。

本文将介绍一次函数关于y=-x对称的函数解析式及其性质。

二、一次函数y=ax+b的图像特点1. 斜率a的正负决定了直线的斜率方向，即直线上的点随着x的增大而增大或减小；2. 截距b决定了直线与y轴的交点，即直线与y轴相交的位置；3. 直线的方程可以通过给定斜率a和截距b来确定。

三、一次函数关于y=-x对称的函数解析式一次函数y=ax+b关于直线y=-x对称的函数解析式应满足以下条件：1. 当直线y=-x上有一点(x,y)，则它关于y=-x对称的点为(-y,-x)，即有(-y,-x)也在这个函数上；2. 若一次函数满足上述条件，则它关于y=-x对称。

四、一次函数关于y=-x对称的函数解析式推导根据一次函数关于y=-x对称的条件，可以得出以下推导：1. 设一次函数关于y=-x对称的函数解析式为y=px+q；2. 则它关于y=-x对称的点为(-q, -p)；3. 由于该点也在y=px+q函数上，则有-p=-q和-q=p；4. 解得p=q=0；5. 故满足条件的解析式为y=0x+0，即为y=0。

五、一次函数关于y=-x对称的函数性质1. 一次函数y=0x+0即为y=0，为一条水平直线，其与直线y=-x关于y=-x对称；2. 一次函数y=0x+0的图像是一条经过原点且与x轴平行的直线，即为x轴；3. 该函数没有斜率，截距为0，因此在坐标系中为一条水平直线；4. 它与直线y=-x关于y=-x对称，即其图像关于直线y=-x对称。

六、结论一次函数关于y=-x对称的函数解析式为y=0x+0，即为y=0。

它是一条水平直线，图像与直线y=-x关于y=-x对称。

在数学和几何中，函数的对称性是一个重要的性质，通过找到函数的对称性质，可以更好地理解函数的特点和图像的形状。

一次函数的图像(解析版)

5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线；一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交；（2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可．【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误；当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可．【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案．【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>，故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误；将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标．【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=，解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+，解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，；故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =， ∴(0,3)M ，又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______．【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解．【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限，可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______．【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可．【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称，则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6．故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <，故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______．【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（），两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______．【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围．【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ．（1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可．【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-．故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可；（3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可．【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=，解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠，解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值．【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值；（2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =，故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+，将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =，故函数的解析式为：132y x =+，故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-，设直线1l 的解析式是1y k x =，则可得：124k =，解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =，把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+．【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由．【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+；（2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下：对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标．【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标；（2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，，令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标．【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断；（2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”；（2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，；（3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=，解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是，n 的值是．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小；故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小；（5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。

一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题(专项练习)

一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习）1．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2-和()2,0，该图象记作直线l ．某同学为观察k ，b 对函数图象的影响，将这个一次函数中的k 与b 交换位置后得到一个新的函数，新函数图象记作直线l '．(1) 求直线l 的解析式；(2) 若直线3x =与直线l ，l '分别相交于点A ，B ，求AB 的长；(3) 若直线x m =与直线l ，l '及x 轴有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出m 的值．2．一次函数y 3＋2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边△ABC ．(1)求C 点的坐标；(2)在第二象限内有一点M （m ，2），使ABMABCSS=，求M 点的坐标；(3)将△ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将△ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ⊥y 轴于G ．求△EFG 的面积．3．一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A （﹣8，0）和点B （0，6）．点C 在线段AO 上．如图，将△CBO 沿BC 折叠后，点O 恰好落在AB 边上点D 处．（1）求一次函数的解析式；（2）求AC 的长；（3）点P 为x 轴上一点．且以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点坐标．4．如图，一次函数y=-23x+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，线段AB 的中点为D （3，2）．将△AOB 沿直线CD 折叠，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点C 的坐标；（3）在坐标平面内存在点P （除点C 外），使得以A 、D 、P 为顶点的三角形与△ACD 全等，请直接写出点P 的坐标．5．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数323y x =-+x 轴，y 轴分别交于点A 和点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ；过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AC 的长为______，ACO ∠=______度．（2）将图2中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图②，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC 与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =+的图像分别交x ，y 轴于点A 和B ，与经过点3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,3D -的直线交于点E ．(1) 求直线CD 的函数解析式及点E 的坐标； (2) 点P 是线段DE 上的动点，连接BP ．① 当BP 分BDE △面积为1：2时，请直接写出点P 的坐标；② 将BPE 沿着直线BP 折叠，点E 对应点E '，当点E '落在坐标轴上时，直接写出点P 的坐标．7．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足2816210-+++-=；b b a b(1) 矩形的顶点B的坐标是（，）；(2) 若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；(3) 在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．=-+交y轴于点A，交x轴于点B，点C为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y x m线段OB的中点，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．(1) 求点F的坐标．（用m表示）(2) 求证：OF AC⊥．9．如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．(1) 求出点B、C的坐标：(2) 在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP 沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．(1) 直接写出点A、B、C的坐标；(2) 求△ADE的面积．11．如图1，一次函数y＝34x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C'落在直线AB上时，求点P的坐标．12．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．(1) 请直接写出点C的坐标；(2) 如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；(3) 如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC 上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．(1) 求AB 的长；(2) 求点C 和点D 的坐标； (3) y 轴上是否存在一点P ，使得12PABOCDS S =若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知一次函数334y x =+的图像与坐标轴交于点A 、B ，点C 在线段AO 上，将△BOC 沿BC 翻折，点O 恰好落在AB 上点D 处．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求点C 的坐标；15．在平面直角坐标系中，一次函数443y x =-+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 在线段OB 上，将△AOB 沿AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的点D 处，直线DC 交AB 于点E ．（1）求点C 的坐标；（2）若点P 在直线DC 上，点Q 是y 轴上一点（不与点B 重合），当△CPQ 和△CBE 全等时，直接写出点P 的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）．16．已知一次函数y =-3x +3的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点C (3,0)． (1) 如图1，点D 与点C 关于y 轴对称，点E 在线段BC 上且到两坐标轴的距离相等，连接DE ，交y 轴于点F ．求点E 的坐标；(2) △AOB 与△FOD 是否全等，请说明理由；(3) 如图2，点G 与点B 关于x 轴对称，点P 在直线GC 上，若△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点()0,6D -在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，直线CD 交AB 于点E ．(1) 直接写出点A 、B 、C 的坐标； (2) 求ADE 的面积．18．已知：如图，一次函数334y x =-的图像分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，且与经过x 轴负半轴上的点C 的一次函数y ＝kx ＋b 的图像相交于点D ，直线CD 与y 轴相交于点E ，E 与B 关于x 轴对称，OA ＝3OC ．(1) 直线CD 的函数表达式为______；点D 的坐标______；（直接写出结果） (2) 点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．① 若直线BP 将△ACD 的面积分为79∶两部分，试求点P 的坐标；② 点P 是否存在某个位置，将△BPD 沿着直线BP 翻折，使得点D 恰好落在直线AB 上方的坐标轴上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．20．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1) 如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2) 如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3) 在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，求此时△PBC 的面积．21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()60y kx k =+<的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B .（1）线段AB 的长为______，用关于k 的代数式表示BC 的长______.（2）折叠图1中的ABC ∆，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2，若CD 平分BCA ∠，①求k 的值和AD 的长度.②在直线AC 上，是否存在点P ，使得APD ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y 33x 轴，y 轴分别交于点A ．点C ，过点1作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段OC ，OA ，AC 的长分别为OC ＝，OA ＝，AC ＝，∠ACO ＝度．（2）将图1中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC 与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+分别与x 轴和y 轴交于点A 、点B ，四边形OACB 为矩形．(1)如图②，点F 在BC 上，连接AF ，把ACF △沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C '重合．①求点F 的坐标；②请直接写出直线FC '的解析式：______；(2)如图③，动点(),P x y 在一次函数()231.54y x x =-<<的图象上运动，点D 在线段AC 上，是否存在直角顶点为P 的等腰直角BDP △，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO ，将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B '，折痕为CE ．直线CE 的关系式是182y x =-+，与x 轴相交于点F ，且AE =3．（1）OC = ，OF = ；（2）求点B 的坐标；（3）求矩形ABCO的面积．25．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC 沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上．（1）若DO平分∠ADC，求m的值；（2）若E（0，3），求C点的坐标；（3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值．。

一次函数图像的平移对称旋转问题

一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ）（2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ）（3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。

一次函数的平移和对称

函数图像的对称性一、点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点P到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3）点P到原点O的距离为PO＝22ba+2、平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、Bb)在与y点C、D的横坐标都等于n；3、对称点的坐标特征：c)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；g)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXX XP在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为（2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线。

一次函数图象的变换--对称

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

人教版初二数学讲义《一次函数解析式与图象变换》

1题型切片（三个）对应题目题型目标复杂条件下求解析式例1，例2，练习1，练习2，例6；一次函数图象变换例3，例4，练习3，练习4；与“将军饮马”问题的综合例5，练习5．本讲内容主要分为三个题型，在寒假学习过待定系数法求一次函数解析式之后，题型一部分一方面要对寒假内容进行巩固，另一方面增加题目难度，进一步熟练解析式的求法；题型二重点探讨了一次函数图象的平移、对称及旋转变换，逐步完备一次函数学习体系；题型三是点的存在性问题之“将军饮马”模型与一次函数的综合，与之前在轴对称版块的学习侧重点不同，主要是把解析法融入到几何题目当中，需要学生一会画图，二会根据点的坐标求直线解析式，最后再求题型切片编写思路知识互联网一次函数的解析式与图象变换1交点坐标，需熟练掌握．本讲的最后一部分是2013年东城（南片）期末考试真题，本题既考查到求函数解析式，又涉及平移，并且与找规律进行结合，综合性比较强，并且训练了由已知点的坐标求线段长度的问题，这部分的训练是函数问题的重要组成部分，后期学习函数与几何题目的综合练习时会进一步深入探索．一次函数解析式的确定方法：确定图象上两个点的坐标，用待定系数法求解析式.寒假一次函数图象性质的回顾（填表）：y kx b=+示意图（草图）经过的象限变化趋势性质（增减性）0 k>b=从左向右_______y随x的增大而_____，y随x的减小而______ 0b>b<0 k<b=从左向右_______y随x的增大而_____，y随x的减小而______ 0b>b<【解析】（学生版不出现）y kx b=+示意图（草图）经过的象限变化趋势性质（增减性）0 k>b=y0x一、三从左向右上升y随x的增大而增大，y随x的减小而减小0b>y0x一、二、三思路导航题型一：复杂条件下求解析式230b <xy一、三、四0k <0b =x0y二、四从左向右下降y 随x 的增大而减小，y 随x 的减小而增大0b >y0x一、二、四 0b <y0x二、三、四【引例】如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（）． A ．2y x =-+ B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =--【解析】由题意可知()02A ，，()11B -，设该一次函数解析式为y kx b =+，将A B 、点坐标代入，解得12k b ==，，所以选B【例1】阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，C 为线段BD 上一点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB =6，DE =1，BD =8，高CB =x ，试求使AC +CE 的值最小的x 值．小伟是这样思考的：当点C 在AE 、BD 交点处时，AC +CE 的值最小，他先后尝试了各种方法，发现建立平面直角坐标系，通过函数的方法可以解决这个问题。

数学实验一次函数图象的对称变换

数学实验:一次函数图象的对称变换作者：李德志来源：《读与写·下旬刊》2012年第05期(安徽省阜阳市插花中学安徽阜阳 236136)摘要：尝试用数学实验教学方式，是一种新的教学方式的探索，但是目前广大数学教师对它的认识还较少，在中学数学教学中开设数学实验课值得探索。

本文通过对点关于点或直线对称变换的探索和验证，进一步探索直线关于点或直线对称变换的规律，再通过函数图象来验证.用这种方式对培养学生的创新意识和实践能力具有意想不到的效果。

关键词：对称变换；实验；归纳；函数图象中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）05-0166-02数学实验就是运用计算机、几何画板等相关软件的信息技术工具解决数学问题，在中学，数学实验就是学生利用计算器或计算机等信息技术工具，自己动手学习和解决数学问题。

在近几年的探索中，笔者逐渐摸索出来实验过程中的方法和步骤。

首先，应该有指导思想，即教师创设恰当的问题情景，或直接利用教科书中的数学实验题，引导学生通过操作计算机，主动、积极、审慎地思考问题，创造性地解决问题，培养他们的探索意识和能力；其次，要有实施实验的具体步骤，主要包括以下一些内容：实验课题、实验背景、实验目的、实验工具、实验方法、实验过程、对实验结果的分析猜想、对实验结果的证明、结合实验结果进行问题讨论、结论的拓广等。

以下就“函数图象的对称变换的验证”为例探讨实施数学实验教学的一般方法。

实验课题：函数图象的对称变换的验证。

实验背景：初中学生学习一次函数知识的时候，学习过一个点关于坐标轴或原点对称时，对称的两个点坐标的变化规律。

学生学习的过程中，对抽象函数符号表示的函数y=ax+b的研究，一直以来是学习的难点，特别是在给定条件时研究该函数的性质，更是感到困难重重，通过研究特殊而推知一般的方法在这里就可以起到帮助学生理解抽象问题的作用.对称变换是其中一种重要的变换，通过研究点的对称变换的结论可以猜想函数图象的对称变换规律，并且用它解决实际问题，经过类比可以探求其他变换的规律.对培养学生的主动探究和知识拓展有重大的指导意义.此外，经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的兴趣。