【精品】 人教版高中数学选修2-1课件：《第3章空间向量与立体几何3.2.》课件ppt
高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.2
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为
了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A处，乙站
在山坡斜面上的 B 处，A， B 两点到直线 l( 水平地面与山坡的交 线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的
长为80 m.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线角、线面角、二面角的求
法． 3．正确运用向量法求异面直线的夹角．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
(3)平面 α 的法向量 n 与 AB 所成的锐角 θ1 的余角 θ 就是 直线 AB 与平面 α 所成的角． (4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所 成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
→
→
→
AB· CD
→ →
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
角的 分类
向量求法 设二面角 α－l－β 的平面
图形
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 |n1· n2| |cos 〈 n ， n 〉 | ______________ ＝|n |· 1 2 1 |n2|
→ [提示 2] 设地面的法向量为 n，则 sin α＝|cos〈BD，n〉|.
2019秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.4
2 , 2
������-
2 2
2
1 + , 2
∴当 a=
2 时,|������������|min 2
即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为
∴������
2 2 ������,0,1- ������ 2 2
, ������
2 2 ������, ������,0 2 2
,
2 2 ∴ ������������ = 0, ������, ������-1 . 2 2
∴|������������| = ������2 - 2������ + 1,
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
仅供学习交流！！！
-16-
-17-
-18-
题型一
题型二
题型三
错解:取 CD 的中点 O,连接 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图, 由题意得 OB=OM= 3, ������������ = 2 3, 所以 C(1,0,0),M(0,0, 3), ������(0, − 3, 0), ������(0, − 3, 2 3). 设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, 则������������ = (1, 3, 0), ������������ = (0, 3, 3), ������ + 3������ = 0, ������· ������������ = 0, 由 得 取n=( 3, −1,1). 3������ + 3������ = 0. ������· ������������ = 0, 又������������ = 0, − 3, 2 3 , 则点A 到平面 MBC 的距离 d=
高中数学新课标人教A版选修2-1：3.2课件
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1 到面A1BE的距离.
解:建立坐标系.
A1E
=(-1,1 2
,0),
z
A1B =(0,1,-1),
D1
设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量 A1
E
C1
B1
由
u
A1E
= 0,
cos A1 AC AA1 AC | AA1 | | AC |
1 3
6 A1H AA1 sin A1 AC 3
6 sin A1 AC 3
∴ 所求的距离是 6 。
3
第十四页，编辑于星期一：点 十七分。
如图所示，在120°的二面角α ABβ中，AC⊂α，BD⊂β且 AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6，试
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及 的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为
向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距
离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形问题）
第六页，编辑于星期一：点 十七分。
用向量法求点面距的方法与步骤： (1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量A→B；
(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为 求解方程组，求出法向量 n；
→ (4)得答案：代入公式 d＝|A|Bn·|n|求得答案．
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何阅读与思考向量概念的推广与应用教学课件共12张PPT含学案
从平面向量到空间向量难点解析
• 1.平面向量中成立的放在空间中是否成立？ • 2.在坐标表示的类比中，看看结构形式发生
什么样的变化？
• 3.空间向量与平面向量不同的内容是什么？
空间任意两个向量是否都可以平移到同一 平面内？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
z
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
而在i,j所确定的平面上，
k
P
Oj
y
i
x
Q
由平面向量基本定理可知，存在
有序实数对 x,y，
使得OQ = xi + yj. 从而OP = OQ + zk = xi + yj + zk. 如果 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 那么，对空间任一个向量p，
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
突破难点二：三个不共面向量和与这三个向量的 关系
平移这三个向量,使其具有同一起点.以这三个向量为棱 作一平行六面体,则这平行六面体中与这三个向量具有相同
起点的那条对角线所确定的一个向量即是这三个向量之和.
突破难点三：那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
ae1Biblioteka 由e是平2 平面面向内量的基两本个定不理共知线，的如向果量e，，1 那么对于这一平面内的任意向量 a，
存在一个有序实数组 x,y,z ,
使得p = xi + yj + zk. x i,y j,zk为向量p在 i,j,k上的分向量.
空间向量基本定理可知，存在有序实数组
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 ． 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， O 是 B1D1 的 中 点 ， 求 证：B1证C∥明平：面O证D法C1一. ：∵B→1C＝A→1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，
(2)求平面法向量的常见类型 ①已知平面内三个点的坐标，求这三个点确定的平面的法 向量； ②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标 系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量； ③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行 的向量，然后求平面的法向量．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点， 于是 G 22， 22，0，从而E→G＝ 22， 22，－1， 又A→F＝－ 22，－ 22，1＝－E→G，所以A→F∥E→G.因为 AF 与 EG 不共线，所以 AF∥EG，又 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE，所以 AF∥平面 BDE.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)， 则平面α的一个法向量为________．
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由ab··nn＝ ＝00 得25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0，
思路点拨： 建立空间直角坐标系 → 求出相应点的坐标 → P→Q，R→S的坐标 → P→Q∥R→S ⇒ 结论
(人教)高中数学选修2-1【精品课件】3-2立体几何中的向量方法1
3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习引导学习目 标重点难 点1•方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线I的位置可以由____________ 以及 __________ 确定，如图A是直线/上一点，向量a表示直线/的___ .(2)直线/丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的_____...... 交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？课前预习导学课堂合作探究2•空间平行关系的向量表示⑴线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则1 // mu <=> .(2跡平行:设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为“，则Zc a 或I // ao o ______ .(3)面丽行:设平面的法向量分别为“”则3•空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为则I _L m^=>a _L b u> .(2)线面垂直:设直线I的方向向量为平面a的法向量为"，则/丄(3)面面垂直:若平面a的法向量为平面卩的法向量为儿则a丄卩o课前预习导学课堂合作探究.......... 交流2(1)已知直线I的方向向量”=(2厂1,3),平面a的法向量v=(-6,3,-9), 则/与a的位置关系是__________ .(2)若两个不同平面％卩的法向量分别是u=(l,2,・3),y=(2，-4,・2)，则两个平面的位置关系是问题导学当堂检测一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系=3活动与探究问题1：如何认识直线的方向向量?问题导学当堂检测问题2：如何理解平面的法向量?问题3：如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?问题导学当堂检测问题4：利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面位置关系的方法是什么？问题5：求平面法向量的方法是什么?问题导学当堂检测______ 例1(1)设a,b分别是不重合的直线/i,/2的方向向量,根据下列条件判断人和仏的位置关系：①“(2,3,-1), “(-6,-9,3);②“=(5,0,2)上=(0,4,0);③“=(-2,1,4),"(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面a,{3的法向量，根据下列条件判断a,p 的位置关系：②“=(0,3,0),心(0,-5,0);问题导学当堂检测③“=(2,-3,4),心(4,-2,1).（3）设u是平面a的法向量皿是直线I的方向向量，根据下列条件判断a和/的位置关系：①”=（2,2,・1）,“=（・3,4,2）;②”=（0,2厂3）,“=（0厂&12）;③%=（4丄5）皿=（2,丄0）・解:⑴①••力=(2,3厂1)0=(・6,-9,3), ••“ 二・:a//b. ：1{ //12.②S(5Q2)0=(O,4,O)，••“ • b=0・•乙丄力•£丄仏・③・・"(-2 丄4)0=(6,3,3), ••“与b不共线，也不垂直.问题导学当堂检测/11与12相交或异面.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU(2)①••"(1,丄2)严(3,2,母•u• v=3-2-l =0.••“ 丄v・「a 丄卩.②•力=(0,3,0),心(0厂5,0), •3•U = --V.5:u H v. ：d p.③-.w=(2,-3,4),v=(4,-2,l), •S与V不共线，也不垂直.问题导学当堂检测•5与p相交但不垂直.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测S3迁移与应用1・若直线I的方向向量为“=(1,0,2)，平面a的法向量为氏=(-2,0,-4)，则().A.l// a Bl 丄aC.lc a DI与a斜交课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测2.已知平面ot和卩的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若a丄卩，求x 的值.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测3•如图，已知点A(a,O,O),B(O,b,O),C(O,O,c),求平面ABC的一个法向量.问题导学当堂检测------------- 名師❽障----------------若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量° =(如0“1)上=@202(2)・(3)根据法向量的定义建立关于的方程组匸::二常(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量•由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向问题导学当堂检测量.问题导学当堂检测二、利用向量证明平行关系詡舌动与探究问题1:空间中有几种平行关系?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①由面面平行的判定定理证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE②若能求岀平面的法向量”,儿则要证明CL// p,只需证明u//v.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测课堂合作探究当堂检测问题2：用向量法证明平行关系的方法步骤是什么?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE(4)利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现:一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测---------- 列2已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F分别是BBi,DD］的中点，求证：(1)F C 1〃平面ADE\(2)平面ADE〃平面B{C X F.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测（1）设兀1=（兀1,刃忆1）是平面ADE的法向量，则W1±DA,W1丄旋，即]ni2?A = 2X1 = 0,（阳• AE = 2yi + Z] = 0, （X] = 0，，，得n 令zi=2,则yi=-l,（zi = -2y「所以切=（0,丄2）.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测因为戸珥•切=2+2=0,所以瓦；丄补又因为FC&平面ADE,所以FCi〃平面ADE.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测⑵因为GW=(2,0,0),设〃2 =(兀2丿2忆2)是平面BGF的一个法向量.由“2丄FC19n2 ^（n2• FC r = 2y2 + z2 = 0.得f 兀2 =I n2• C1B1=2X2 = 0, "2 = -2y2«令Z2=2得歹2=丄所以兀2=（0,丄2）・因为Hi=n2,所以平面ADE〃平面B X C X F.吧迁移与应用1 •在长方体ABCD-AiBiCQi 中,AB=4,AD=3,AA]=2,P,Q,R,S 分别是AA],D]C],AB,CCi 的中点•证明:PQ//RS.当堂检测2•已知正方体ABCD-AECD.求证:平面ABD〃平面BDC.令刃=1,可得平面AB'D'的一个法向量为“1=(-1,1,-1).设平面BDC 的法向量为兀2=(兀2丿2忆2)・因为 DB=(1JMDC=(OJ,1), n 2 丄 DB.令力=1,可得平面BDC 的一个法向量为兀2=（丄 1 1 ）・••阮 1 力2,:n 1 〃 “2, •••平面 4B Q ‘〃 平面n 2 • DB =兀2 + y2 = °，n 2 • DC' = y 2 + z 2 = 0.所以BDC.------------- 名師尊障----------------1 •用空间向量证明线面平行通常有两种方法:一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是利用共面向量定理•若/的方向向量是"，平面a内两个不共线向量是门和巾,则＜〃ao存在实数g 使W=ZV]+|1V2-2 •证明直线与平面平行时,还应说明直线不在平面内.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU三、利用向量证明垂直关系S3活动与探究问题1:空间中的垂直关系有哪些?当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测②证明两个平面的法向量互相垂直.问题2：用向量法证明垂直关系的方法步骤是什么?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测(2)用向量法证明线面垂直的方法与步骤:r①设岀基向量，用基向量表示直线所在的向量②找岀平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③求平面的法向量I④说明平面的法向量与直线的方向向量平行(3)用向量法证明面面垂直通常可以有两种方法:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.------- H列3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D1中,E,F分别是B】B,DC 的中点，求证:AE丄平面AQF证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1, 则A(l,O,O),E(l,l,)A](l,O,l),Di(O,O,l),F(O,.O),•*AE =(0,1,)石殆(-1,0,0)谅=法一:设平面A\D{F的法向量为n=(x,y,z). 则)n• A1D1=O,n • D]F=O,(-x = 0，即h 解得x=0,y=2z・(严=0,课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU令Z=l,则n=（0,2,l）.又近=（0,l,|）,.w=2AE.••n〃近,即XI丄平面A X D X F.因此，AE丄平面AiDiF.法二:由于旋• AX =（0,1,|）• （-1,0,0）=0,•'AE 丄AQi・又旋•而=（0,1勻•（0,芥1）=0, ••AE丄皿••AiDiGDiF=Di,.・AE丄平面AQFEii 移与应用1 •在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD ］的中点,O 为底面ABCD 的中心，求证:BQ 丄平面PAC.当堂检测当堂检测2•在四面体ABCD中,AB丄平面BCD,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,F 分别是AC,AD 的中点, 求证:平面BEF丄平面ABC.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE设平面BEF 的法向量〃=（x,y ，z ）,由 n •丽=0,即g,z) •(0,ya,|)=0, 有yay+|z=0=> z=-V3y ・取 y=l,得 n=(l,l<V3).•S 丄而.•••平面BEF 丄平面ABC.问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU\h • CD=(l 9l r V3) •KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测-------------- 名師尊障 ---------------1.用空间向量证明线面垂直的方法：建立空间坐标系,用坐标表示直线的方向向量并求平面的法向量, 说明平面的法向量与直线的方向向量平行;或者说明直线的方向向量与平面内任意两条相交直线垂直,即直线的方向向量与相交直线的方向向量的数量积为零.2.用空间向量证明面面垂直的方法：说明两个平面的法向量垂直或根据线面垂直来证明.当堂检测2问题导学1•已知平面a〃平面卩,n=(l,-l,l)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面卩的法向量的是().4(1,1,1) 5.(-1,1,-1)C(-l 厂1,-1) D(l,l，-1)。
高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几何3.2
A1D—B的余弦值.
解析答
当堂检测
1
2
3
4
5
A
解析答
1
2
3
4
5
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
C
B.135° D.90°
A.45° C.45°或135°
解析
1 2 ∵cos〈m，n〉＝ ＝ 2 ， 2
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答
1
2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
5
解析答
1
2
3
4
5
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(
)
2 A. 3
3 B. 3
2 C.3
6 D. 3
解析答
此ppt下载后可自行编辑
高中数学课件
第三章
§ 3.2
立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角
学习 目标
1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
栏目 索引
知识梳理
自主学习
题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
＝ ，范围 .
题型探究 重点突破 题型一 例1 两条异面直线所成角的向量求法
如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求
异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与
解析答
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝ AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线 AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
2019秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.1
������· ������1 ������1 = 0,
题型一
题型二
题型三
【变式训练 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分 别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=
2 ������. 求证: ������������∥平面 3
BB1C1C.
谢谢观看！
题型一
, ������
2 1 ������, ������,0 3 3
,
3.2
立体几何中的向量方法
第1课时
用向量方法解决平行问题
-3-
-4-
-5-
-6-
-7-
-8-
-9-
-10-
-11-
题型一
题型二
题型三
解:(1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
∴a=− 3 ������, ∴a∥b.∴l1∥l2. ②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0), ∴a· b=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2. 1 (2)①∵u=(1,-1,2),v= 3,2,- , 2 ∴u· v=0,∴u⊥v.∴α⊥β. ②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0), 3 ∴u=− 5 ������, ∴u∥v.∴α∥β. (3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2), ∴u· a=0,∴u⊥a.∴l∥α 或 l⊂α. ②∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12), 1 ∴u=− 4 ������, ∴u∥a.∴l⊥α.
1
-13-
-14-
-15-
第1课时
用向量方法解决 平行问题
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
仅供学习交流！！！
-16-
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修21
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11· ·AD→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，得xz11＝＝－0，2y1， 令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1，2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1． 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE．
(2)D→B＝(2，2，0)，D→E＝(1，0，2)． 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ∴nn··DD→→BE＝＝00，， ∴2x＋x＋22z＝y＝0，0，∴yz＝＝－－12x， x. 令 x＝2，得 y＝－2，z＝－1． ∴n＝(2，－2，－1)即为平面 BDEF 的一个法向量．
【自主解答】 以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1， 0)，D12，0，0，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
第九页，共47页。
图322
【解】 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0，0，0)，B(2， 2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．
(1)连接 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以A→C＝(－2，2，0)为平面 BDD1B1 的一个法向量．
第十五页，共47页。
－x1＋4z1＝0， 即32y1＋4z1＝0. 令 x1＝1，得 z1＝14，y1＝－23．
第二十八页，共47页。
nn22· ·DD→→EF＝＝00，，即32x2y＋2＋34y2z＋2＝40z2，＝0， 令 y2＝－1，得 z2＝38，x2＝32． ∴n1＝1，－23，14，n2＝32，－1，38， ∴n1＝23n2，即 n1∥n2， ∴平面 AMN∥平面 EFBD．
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.2 空间向量与空间距离 (共76张PPT)
高中数学人教B版选修2-1第三章 3.2 空间向量在立体几何中的应用.课件(共31张PPT)
B(0,0,1)， BC1 ＝(0,2，－1)， AB1 ＝(－2,2,1).
cos〈
BC1
，
AB1
〉＝ |
BC1 ·AB1 BC1 || AB1
＝ |
3＝ 5×3
5 5.
答案：A
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
由题意知 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2). 则 A1D＝(0,0，－1)， BD＝(1，－1,1)， DC1＝(－1,0,1).
n·BD ＝0，
设
n＝(x，y，z)是平面
A1B1BD
• ∴cos< CM ，DB1>=
24 0 2 15 14 0444 54 3 30
链接高考
1.(陕西高考)如图，在空间直角坐标 系中有直三棱柱 ABC－A1B1C1，CA＝ CC1＝2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为
5 A. 5
25 C. 5
5 B. 3
3 D.5
()
解析：设 CB＝1，则 A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，
z
S
A
B
B
x
y
D
C
解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1， 0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0， 0，1）.
• 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
• S C (1 ,1 , 1 )C , ( D 1 ,1 ,0 ) 得
•
x xyyz 00,解 得 x y 2 z z,取 z2得 n1=(1,1,2).
人教A版高中数学选修2-1课件3.2.3立体几何中的向量方法1()
u
v
•
夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) l , m的夹角为， cos cos a, b
l
l
a
b
m
a b
•
m
夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l , 的夹角为， sin cos a, u
a u
cos(
l
a
•
l
π - θ) = cos < a, u > 2
π cos( + θ) = cos < a, u > 2
夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(3) , 的夹角为， cosθ = cos < u, v >
Z
C ( 3,1, 0) A( 3 ,1, 2 6 )
3 3
A M
3 1 6 M( , , ) 6 2 3
3 3 N ( , , 0) 2 2
y
B
N C
D
•
y x
x
练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱 上的动 OABC AB,OA O' A' B 'C'
点，且AF=BE,求证：
A F O E
1 1
A F O E 0
1 1
A１F O1 E
例2、四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方形, PD 底面ABCD , PD DC , 点E 是PC的中点, 作EF PB交PB于点F . (2) 求证 : PB 平面EFD.
《3.2.1立体几何中的向量方法》课件4-优质公开课-人教A版选修2-1精品
【解析】(1)因为u=(1，3，6)，v=(-2，-6，-12)， 所以v=-2(1，3，6)=-2u，所以u∥v，所以α∥β. (2)因为a=(3，2，1)，v=(1，-2，1)， 所以a·v=3-4+1=0，a⊥v，所以l⊂α或l∥α.
【题型示范】
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
位置关系 向量关系 向量运算关系
坐标关系
l∥m l∥α
_a_∥__b_ _a_⊥__u_
a_=_k_b_，__k_∈__R_ _a_·__u_=_0_
a1=kb1，a2=kb2，a3=kb3
_a_1_u_1+_a_2_u_2_+_a_3u_3_=_0_
α∥β
_u_∥__v_ u=kv，k∈R u1=kv1，u2=kv2，u3=kv3
【自主解答】(1)因为l1∥l2，所以x7＝
3＝4， y8
所以x＝-14，y＝6.
答案：-14 6
(2)A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．
因为AD⊥平面SAB，所以
uuur AD
＝(1，0，0)是平面SAB的一个法
向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
(2)在Rt△PAD中，∠PDA＝45°， 所以AP＝AD，所以AE⊥PD， 又因为MN∥AE，所以MN⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD， 又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD， 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为MN∥AE，所以CD⊥MN，又因为CD∩PD=D， 所以MN⊥平面PCD. 所以MuuuNur 为平面PCD的一个法向量．
平面α的法向量的是( )
A.(0，1，2)
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.2(二)
∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，
即(－1)×t＋0×5＋ห้องสมุดไป่ตู้×1＝0，解得t＝5.
解析答
解析答
类型二 例2
证明线面垂直
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平
面GBD.
反思与
解析答
跟踪训练2
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直
线PB1⊥平面PAC.
解析答
类型三
梳理
设 直 线 l 的 方 向 向 量 a ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平 面 α 的 法 向 量 μ ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则
l⊥α⇔a∥μ⇔____________. a＝kμ(k∈R)
知识点三
向量法判断面面垂直
思考
平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示
判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点 A、B 与 C、D，计 ― → ― → ― → ― → 算向量 AB 与 CD 的坐标，若 AB · CD ＝0，则两直线垂直，否则不垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.
梳理
设直线 l 的方向向量为 a ＝ (a1 ， a2 ， a3) ，直线 m 的方向向量为 b ＝ (b1 ， b2 ， b3) ，则 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
解析答
当堂训练 1.下列命题中，正确命题的个数为( ) C
1
2 3 4 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)， 平行 b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_＝__λ_b__
线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的 平行 法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔____a_·u_＝_ 0
面面 平行
设，αb2，，βc的2)，法则向α量∥分β⇔别_为__u_＝_u_(a∥_1_，v_⇒_b_u1_，＝cλ1v)，v＝(a2
令 x＝1 得 y＝－12，z＝－12. 答案： 1ຫໍສະໝຸດ －12，－12数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.
量 u＝(a1，b1，c1)， 平面 β 的法向量
的方向向量为 b 的法向量 u＝
＝(b1，b2，b3)， (a2，b2，c2)，
为 v＝(a2，b2，c2)， 则 α⊥β⇔_u_·_v＝__0_
则 l⊥m⇔_a_⊥__b_ 则 l⊥α⇔_a_∥__u_
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方 向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
[提示1] 能． [问题2] 石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面 垂直吗？
[提示2] 垂直．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)， 则平面α的一个法向量为________．
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由ab··nn＝ ＝00 得25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0，
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线 l 的方向 设直线 l 的方向
若平面 α 的法向
向量为 a＝(a1， a2，a3)，直线 m
向量是 a＝(a1， b1，c1)，平面 α
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_共__线__或__平__行___的向量． 2．平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的___方__向__向__量__a_，则a叫做平面α的法向 量．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向 量．
(3)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE.
数学 选修2-1
高效测评 知能提升
1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n
＝(－2,0,4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
解析： ∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，
∴l⊥α.
答案： B
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
对空间垂直关系的几点认识 空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直， 这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方 法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关 系进行的．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个方向确定．在直线 l 上取A→B＝a，a 可以作为 l 的方 向向量，借助点 A 和 a 即可确定直线 l 的位置，并能具体表 示出直线 l 上的任意一点．
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间的平行、垂直等位置关系．
2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的 垂直与平行．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的 石制工具(如图所示)，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴 着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面， 然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成 等角，且与水平地面所成角为 45°，为了使 60 kg 石墩垂直离 开地面，每个人最少需用 20 2 g 牛顿的力．
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．若平面 α，β 的法向量分别为 m＝(－1,2,4)，n＝(x，
－1，－2)，且 α⊥β，则 x 的值为( )
A．10
B．－10
1 C.2
D．－12
解析： 若 α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即 m·n
＝0，
即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得 x＝－10，故选 B. 答案： B