上海交通大学数学物理方法-积分变换试题
积分变换(下)带标准答案
k 0 k 0
e sk F ( s) F ( s)
k 0
t
1 1 e s
F (s) . s
19． 设 L [ f (t )] F ( s), 利用卷积定理，证明 L [ f (t )dt ]
0
证：因为 f (t )dt f (t ) u(t ). 所以
0
t
L [ f (t )dt ] L [ f (t ) u (t )]
0
t
L [ f (t )] L [u (t )] 1 F ( s) F ( s) . s s
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页）
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
11．设 f (t ) e t ( 0) ，求其傅立叶积分公式。 解：
f (t ) 1 f ( )e j d e jt d 2 1 2 e cos d cos td 2 0 2 cos td 0 2 2
(D). 有限多个第二类间断点 .
(t ) 为单位脉冲函数， 3． 设 f (t ) 是一个无穷次可微函数， 那么 (t t0 ) f (t )dt ( C
(A) 不确定； (B). f (t ) ; (C)
)
f (t0 ) ;
(D)
f (0) (t ) .
4．设 F1 () F [ f1(t)], F2( ) F [ f 2( t)] ，则 F ( f1 (t ) f 2 (t )) ( A ) F1 () F2 () ； ( B ) F1 () F2 () ； (C )
《积分变换》复习卷
《积分变换》复习卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）B A.arctan12B.-arctan12C.π-arctan 12D. π+arctan 122.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为（ ）C A.-+34545(cos sin )ππi B.34545(cos sin )ππ-i C. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi3.复数e 3+i所对应的点在（ ）A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ）AA.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<25.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）CA.1B.2πiC.0D.12πi6.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）DA.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +17.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ）BA.0<|z|<+∞B.|z|<+∞C.0<|z|<1D.|z|<18.z=-1是函数cot ()πz z +14的（ ）C A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点D.6阶极点9.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）B A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()010.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A A.|z+1|>12B.|z+1|<12C.|z|>12D.|z|<12二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11.复数z=4+48i 的模|z|= .8 12.设z=e 2+i ，则argz= .113.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为 .双曲线 14.设z=cosi ，则Imz= .015.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于 .--2πi16.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于 .2πi n f a n !()()17.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于 .018.方程lnz=π3i 的解为 . 3),31(21πi e i 或+19.设C为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2. -+2ππ()i20.级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 . e三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 解：∂∂∂∂u x x y u yx y =+=-2222,, 由C -R 条件，有∂∂∂∂v y u x =，∂∂∂∂v x uy=-，∴ v vydy x y dy xy y x ==+=++⎰⎰∂∂ϕ()()2222. 再由∂∂ϕ∂∂v x y x x y uy=+'=-+=-222()，得'=-=-+ϕϕ(),(),x x x x C 22于是 ∴ v=2xy+y 2-x 2+C. 由v(0,0)=1, 得C=1. 故v=2xy+y 2-x 2+1.22.函数f(z)=ed z -⎰ζζ20在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.解：因为f ˊ(z)=ez -2=()!()!(||)-=-<+∞=∞=∞∑∑z n n z z nn n n n2021， 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 f(z)='=-++=∞∑⎰f d n z n n n n z()()!ζζ12121（||z <+∞）.23.留数求积分I=cos x x x dx 42109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i +Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I e e =-π483132().24.面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111****************学院继续教育学院《积分变换》期终试卷（B 卷）班级 *********** 姓名 学号 得分一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1．方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）D A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线2．设z=cosi ，则（ ）A A.Imz=0 B.Rez=π C.|z|=0D.argz=π3.w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ）BA.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,,C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,,4.函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C()()-+⎰1等于（ ）DA.211πin f a n ()!()()++ B.2πin f a !() C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()5.C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ）AA.0B.2πiC.2πD.-2π6.积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C+⎰12等于（ ）CA.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi7.π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ）B A.一阶极点 B.可去奇点C.一阶零点D.本性奇点8.级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ）D A.0 B.1 C.2D.+∞9.下列积分中，积分值不为零的是（ ）D A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=210.下列影射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）C A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+D.w=z i z i44+-二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）11.z=(1+i)100，则Imz= .0 12.复数z=1625825-i 的辐角为 .-arctan 1213.复数z=--355(cos sin )ππi 的三角表示式为 .34545(cos sin )ππ+i 14.复数e 3+i 所对应的点在 .第一象限15.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域 .0<argw<23π，0<|w|<416.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于 .017.f(z)=z 2的可导处为 .018.为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C+=⎰ . 4πi19.为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰z d C，其中|z|<2，则'=f ()1 . ππππ23233i i ,cos或⋅20.f(z)=1111115zz z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .6 三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21.积分I=z zz dz C +⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2.解：z z z dz zdz i i d CC +==⋅+-⎰⎰⎰||Re cos (cos sin )12222θθθθππ=4i (cos ).1240+=⎰θθππd i22.积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.解：因在C 内f(z)=e z i z i zπ()()-+223有二阶极点z=i ，所以f z dz i ddzz i f z z i C()!lim[()()]=-→⎰212π =232323ππππi ez i ez i z iz z lim[()()]→+-+=ππ1612().-+i 23.利用留数求积分I=cos x x x dx 420109+++∞⎰的值.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.∵I=121912192222cos ()()Re()()xx x dx e x x dx ix++=++-∞+∞-∞+∞⎰⎰=12223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i + Res[f(z),i]=116ei, Res[f(z),3i]=-1483e i,∴ I ee =-π483132().24.设Z 平面上的区域为D ：|z+i|>2，|z -i|<2，试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的角形域D 1：π4<argw 1<34π；（2）w 2=f 2(w 1)把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：0<argw 2<π2；（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0； （4）w=f(z)把D 映射成G. 解：（1）由||||z i z i +=-=⎧⎨⎪⎩⎪22解得交点z 1=1,z 2=-1.设w 1=z z -+11，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<<arg .w （2）设w 2=ew i -π41,则它把D 1映射成W 2平面上的第一象限D 2：022<<arg .w π（3）设w=w 22，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0. （4）w=()().ez z i z z i -⋅-+=--+π4221111。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
数学物理方程——8 积分变换法
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
拉普拉斯逆变换
1 σ + i∞ f (t ) = F ( p )e pt dp, 2π i ∫σ −i∞
p = σ + iω
又称 f (t )为 原函数 ⇔ F ( p )
为像函数
13
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
例2
(1) 求 L[1]
1 L[1] = ∫ 1 ⋅ e − pt dt = − e − pt 0 p
∞ ∞ 0
=
1 . p
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p 0 p p 0 p0 p
− pt ∞
数学物理方法
第五章
积分变换法
1. Fourier变换 1.1 Fourier变换的定义
+∞ +∞
1 f ( x) = 2π
∫ ∫
−∞
(
−∞
f (τ )e −iωτ dτ )e iω x dω ,
（*）
傅里叶积分定理:设f 在 (−∞,+∞) 内满足下面两个条件：
+∞
（1）积分
−∞
∫
f ( x) dx 存在；
⎧ d 2U (ω , t ) t>0 = − a 2ω 2U (ω , t ), ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ ⎪U (ω ,0) = Φ (ω ), dU (ω ,0) = Ψ (ω ), ⎪ dt ⎩ U (ω , t ) = A cos aωt + B sin aωt Ψ (ω ) B= U (ω , 0) = A = Φ (ω ) aω Ψ (ω ) U (ω , t ) = Φ (ω ) cos aωt + sin aωt aω
数学物理方法试题汇总
12届真题1． 求下列各小题（2*5=10分）：（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<； （2）给出序列(1/)sin 6n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。
2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：（1）320Re izdz +⎰，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；（2）11,==⎰积分路径由z=1出发的。
3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：（1）241x dx x +∞-∞+⎰； （2）3||1zz e dz z =⎰。
4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。
5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y∂∂-=-∂∂（15分）。
6．利用分离变量法求解：（20分）2222000(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====⎧∂∂-=-⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞⎧∂∂-=>>⎪∂∂⎪⎪=>⎨⎪=>⎪⎪⎩有界，2005级一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换五套试题及答案复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为：，，。
3．Ln z 在的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=??0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．?=-2||)1(z z z dz2．?-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=?∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组??='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ?∞+-0)(dt e t f st二、解：∵yu x x v ??-=-=?? xuy y v ??==??∴c xy u +=（5分）c xy y x i z f ++??? ??+-=22212 1)(∵f (0)=0 c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--= （2分）三、解：原式=（2分）??--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z（2分）??---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1 Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66?=??--分）z z z s--=∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 26 6z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126??i π=i 63π- 四、1．解：原式??-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221（3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 （2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π- 五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=--?-=-+-=+-?-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：??-+?-=-+?-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=??? ??---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i （2分）六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-? （3分）∴结论成立（2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-?ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-?dt e t i（2分）七、解：∵=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX （3分）S （2）-（1）：∴??? ??-?-=s s s Y 111)(2??++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模.幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）：∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（ ）条件。
积分变换考试题及答案
积分变换考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 积分变换中，傅里叶变换的数学表达式为：A. F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtB. F(ω) = ∫f(t)e^(jωt)dtC. F(ω) = ∫f(t)cos(ωt)dtD. F(ω) = ∫f(t)sin(ωt)dt答案：B2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 整个复平面B. 右半平面C. 左半平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪个函数的拉普拉斯变换是1/(s^2+1)？A. cos(t)B. sin(t)C. e^(-t)D. t答案：A4. 傅里叶变换的逆变换公式是：A. f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(jωt)dωB. f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(-jωt)dωC. f(t) = ∫F(ω)e^(jωt)dωD. f(t) = ∫F(ω)e^(-jωt)dω答案：B5. 函数f(t)的Z变换定义为：A. F(z) = ∑f(k)z^(-k)B. F(z) = ∑f(k)z^kC. F(z) = ∑f(k)z^(k-1)D. F(z) = ∑f(k)z^(-k-1)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(t)的傅里叶变换为F(ω)，则其傅里叶逆变换为__________。
答案：f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(jωt)dω2. 函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，其逆变换为__________。
答案：f(t) = L^(-1){F(s)}3. 函数f(t)的Z变换为F(z)，其逆变换为__________。
答案：f(n) = Z^(-1){F(z)}4. 函数f(t)的傅里叶变换的频域表示为F(ω)，其频域中的直流分量为__________。
答案：F(0)5. 函数f(t)的拉普拉斯变换的收敛区域为Re(s) > σ，其中σ是函数f(t)的__________。
答案：增长指数三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算函数f(t) = e^(-at)u(t)的拉普拉斯变换，其中a > 0，u(t)为单位阶跃函数。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
数学物理方法综合试题及答案 ()
复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =，则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+，则(,)uxy=（ ）A.(cos sin )ye y y x y -)B.(cos sin )xe x y x y -C.(cos sin )xe y y y y - D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
【最新】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分）1、试阐述解析延拓的含义。
解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。
判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数f(z)的奇点；B，把函数在的环域作洛朗展开1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。
3、何谓定解问题的适定性？（6分）1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。
满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。
4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.2）()()⎩⎨⎧==21,,CyxvCyxu这两曲线族在区域上正交。
3）()yxu,和()yxv,都满足二维拉普拉斯方程。
(称为共轭调和函数)4）在边界上达最大值。
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。
波动方程属于其中的双曲线方程。
5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分）()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-⎰⎰⎰∞∞∞-∞∞-)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x fδδδ6、写出复数231i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3sin3cos231cos sin 2321isin cos 222ππϕϕρϕϕρi i i+=++=+=+指数形式：由三角形式得：313πρπϕi ez ===7、求函数2)2)(1(--z z z在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=21)2)(1()1(lim Re 21)1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→z z zz sf z1)1(1lim )2)(1()2(!11limRe 22222)2(\-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→→z z z z z dz dsf z z8、求回路积分 dz zzz ⎰=13cos （8分）解：)(z f 有三阶奇点z=0（在积分路径内）[]21-cosz lim z cosz !21limRe 033220)0(\==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→z z z dzd sf ∴原积分=i i sf i πππ-=-=)21(2)0(Re 29、计算实变函数定积分dx x x ⎰∞∞-++1142（8分）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++=)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242i z i z i z i z z z z z f它具有4个单极点：只有z=)1(22i --和z=)1(22i +在上半平面，其留数分别为：ππ2)221221(2I 221)1(22)1(22)1(221lim Re 221)1(22)1(22)1(221lim Re 20))1(22(\20))1(22(\=+=∴=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=→+→--iii i i z i z i z z sfi i z i z i z z sfz i z i10、求幂级数kk i z k)(11-∑∞= 的收敛半径（8分）111lim111limlim1≤-=+=+==∞→∞→+∞→i z kk k k a a R k k k k k 所以收敛圆为二、计算题（共30分）1、试用分离变数法求解定解问题（14分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===><<=-====0,2/100,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u令)()(),(t T x X t x u =，并代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0''''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X XT a T ''2'' ⎪⎩⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''''l X X X X λ和02''=+T a T λxC x C x X C x C x X eC eC x X x xλλλλλλλsincos)(0)(0)(0212121+=+==+=---时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在由边界条件0)(0)0(''==l X X ，得：xl n C x X ln n l l C l C l C l X C C X xC x C x X CXx x X ππλπλλλλλλλλλλλλλλλcos)(0sinsincos)(000)0(sincos)(0(00)(01222121'22'21'==→=∴=≠=+-==≠==+===≡（否则方程无解），，时，＞时，时，＜)3,21(sin cos )()(000002''222，得：的方程代人和把=⎪⎩⎪⎨⎧+=+==+==n l at n B l at n A t T tB A t T T a T T ln n n nππλπλλx ln lat n B lat n A t B A t x U n n n πππcos)sincos(),(100+∑++=∴∞=由初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∑+-=∑+∞=∞=0cos 21cos 1010x l n l a n B B x x l n A A nn n n πππ把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得⎰⎰⎰⎰⋅=⋅-==-=ln ln llxdxl n an B xdxln x lA dx lB dxx lA 000cos02cos )21(201)21(1πππ得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=∴-=-=)2(0)12(4)1(cos 22122220k n k n n l A n n l A l A n n πππxl n lat n n ll t x U n πππcoscos)4(21),(221-∑+-=∴∞=2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-==∆====0,sin 0),(000b y y a x x u a xB u u y b Ay u u π),(),(),(t x w t x v t x u +=令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====+====0sin 00000by y a x x yy xx v a x B v v v v v ，，π ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-==+====000)(000b y y ax x yyxx w w w y b Ay w w w ，，则，v ，w 都可以分别用分离变量法求解了。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
积分变换考试题及答案
积分变换考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 积分变换中，傅里叶变换属于哪一种变换？A. 线性变换B. 非线性变换C. 正交变换D. 反演变换答案：A2. 拉普拉斯变换的定义域是：A. 复平面的左半平面B. 复平面的右半平面C. 复平面的虚轴D. 复平面的实轴答案：B3. 以下哪个函数的傅里叶变换是频域中的冲击函数？A. 常数函数B. 正弦函数C. 指数函数D. 矩形脉冲函数答案：D4. 函数f(t)的拉普拉斯变换记作F(s)，则f(at)的拉普拉斯变换是：A. F(as)B. aF(s)C. 1/aF(s/a)D. aF(as)答案：C5. 函数f(t)的傅里叶变换是F(ω)，则f(-t)的傅里叶变换是：A. F(ω)B. -F(ω)C. F(-ω)D. -F(-ω)答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(t)的拉普拉斯变换定义为∫_0^∞ e^(-st)f(t)dt，其中s 是复变量。
2. 傅里叶变换的频率域表示为F(ω)，其定义为∫_(-∞)^∞f(t)e^(-jωt)dt。
3. 函数f(t)的逆拉普拉斯变换是f(t)，即F(s)的逆变换。
4. 函数f(t)的傅里叶变换是F(ω)，其逆变换是f(t)，即1/(2π)∫_(-∞)^∞ F(ω)e^(jωt)dω。
5. 函数f(t)的Z变换定义为F(z) = ∑_(n=-∞)^∞ f(n)z^(-n)，其中z是复变量。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算函数f(t) = e^(-at)u(t)的拉普拉斯变换，其中a > 0，u(t)是单位阶跃函数。
答案：F(s) = 1/(s+a)，s > -a。
2. 计算函数f(t) = sin(ωt)的傅里叶变换。
答案：F(ω) = (π/2j)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)]，其中ω0是角频率。
3. 计算函数f(t) = (1/2)^t u(t)的Z变换。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案(K12教育文档)
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一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分,共30分) 1．下列复数中,位于第三象限的复数是( ）A 。
12i +B 。
12i --C 。
12i -D 。
12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan 3A i π-+-的主辐角为.arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A 。
1z >表示圆的内部 B 。
Re()0z >表示上半平面C 。
0arg 4z π<<表示角形区域D 。
Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A 。
0ω= B 。
ω不存在 C.1ω=- D 。
1ω=5．下列函数中,在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上,下列命题中，正确．．的是( ） A. cos z 是有界函数B 。
22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中,使得z e i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+,则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z π= 712.i C z π= 3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A 。
上海交通大学数学物理方法-积分变换试题
8．
像函数 F ( )
9．
已 知 某 函 数 f( t ) 的 傅 里 叶 变 换 为 F ( )
[( 2) ( 3)], 则
f (t )
1 2it [e e 3it ] 2 2 3t 3 p 1 e 2t 的拉普拉斯逆变换为 e 5 5 p p 6
6.
设解析函数 f (z ) u(x ,y )
iv(x ,y ) 的实部 u(x ,y ) 是以下拉普拉斯方程的边值
u xx u yy 0, 问题 u(0,y ) 2y ,u(1,y ) 0 的解. u(x ,0) 0,u(x ,1) 2(x 1)
一、 单项选择题
1. 设 f ( t) (A)
te 3t sin 2t ，则拉普拉斯变换 L[f (t )] 为（A）
(B)
4(P 3) ; [(P 3)2 4]2
(P 3) ; [(P 3)2 4]2
(C)
4(P 3) ; (P 3)2 4
(D)
4P . [P 4]2
（B）
（A）
1 (1 i ) 1
2
1 (1 i )2 1 1 (1 i )2 1
（C）
1 (1 i ) 1
2
（D）
5.
设函数 f ( t )的拉普拉斯变换 L[f (t )]
F ( p )，则以下公式不正确的是（C）
（ B）
（A） f (t )
2
2．利用拉普拉斯变换的性质，实积分
0
te at sin btdt(a 0) 的值为（C）
（ B）
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e p 1 e p e p 1 ( ). 利用 L[e kt ] 代数方程得 X ( p ) 2 及 5 p 4 p 1 p k p 3p 4
t t0 ) u(t t0 )] 延迟性： L[f(
得 x( t)
e pt L[f(t )],
0
L1[X ( p )]
10. 按题意要求计算： （1） 用留数定理计算 I(b )
0
cos bx dx(a 0,b 0); x 2 a2 1 的傅里叶逆变换. a2
p 1 , 则其拉普拉斯逆变换 L1[F ( p )] （D） 9p 6 p 5
2
t t 1 1 1 1 1 1 3 （A） (sin t cos t ) e ; （B） (sin t cos t ) e 3; 3 3 3 3 3 3
（C） (sin
1 9
t t 2 2 1 2 2 t cos t ) e 3; （D） (sin t cos t ) e 3. 3 3 9 3 3
p
1 ( p a )2 b 2 ln 2 ( p m )2 n 2
p 0
1 a2 b 2 1 m 2 n2 ln 2 ln 2 . 2 m n2 2 a b2
4.
t) 设 f(x ,
x sin tx ,t 0, 按题意要求求解： 1 x2
( 2), 则 f (t ) f (t )的拉普拉斯变为
（A） （A）
p p 4
2
; （B）
2 p 2 ;（C） 2 ; （ D） 2 . p 4 p 4 p 4
2
二、 填空题
1． 设 u(x )
0,x 0 e x cos x ， 则 函 数 f (x ) u(x ) 1,x 0
的傅里叶逆变换 F [cos a ] （A）
1
（A）
1 [(x a ) (x a )]; 2 1 [(x a ) (x a )];
t
（B）
2
[(x a ) (x a )];
（C）
（D）
2
[(x a ) (x a )].
p 2 ,则其拉普拉斯逆变换 L1[F ( p )] （D） 2 ( p 4 p 5)
2
（A）
1 1 t t sin te 2t; （B） sin te 2t;（C） sin te 2t;（D） sin te 2t . 2 2 2 2
1 , 则其拉普拉斯逆变换 L1[F ( p )] （B） 2 p 5p 4
拉斯变换 L[f ( t )]
p(1 e 2 p ) 1 2 2 p 1 p 1
1,t 0, 则 傅 里 叶 变 换 F[ tu(t ) u(1 t )] 0,t 0,
7．
设 函 数
u(t )
(
1
2
i i 1 ) e 2
( 2) 的傅里叶逆变换 F 1[F( )]
7.
函数 e
cosh t 的拉普拉斯变换的像函数为（D）
（ B）
（A）
; ( p )2 2
; ( p )2 2
p . ( p )2 2
（C） 8.
p ; ( p )2 2
（ D）
常数 1 的傅里叶变换 F [1]为（C） （ B）
4． 5．
函数 f ( t)
(t 1)(t 2)2 sin t 的傅里叶变换 F [f (t )] sin 1e i
t) 设 u(
1,t 0, 1 e t ] , t) e t 的傅里叶变换为 F [u(t ) 已知函数 u( 1 i 0,t 0,
2
1
p
p p 42
2
.
所以， I
3
(
1
P
P P 4
2 2
) dp ln
p p 4
2
ln
3
3 5
2.
利用拉普拉斯变换的性质，解微分方程的初值问题：
x (t ) 3x (t ) 4x(t ) (t 1) x(0) 0,x (0) 0.
（C） 2e
2t
cos 3 t
12.
设函数 f ( t )的傅里叶变换为 F ( )，则函数 f (t 2)的傅里叶变换为（D）
i 2
（A） F ( 2); （B） F ( 2);（C） e 13. 已知像函数 F ( p )
F( ); （D） e i 2 F( ).
则微分方程 x (t ) x(t ) 2(t )( 6．
e t t ) 的解为 x(t ) 2u(t )
t) 设 u(
1,t 0, f(t ) u(2 t )cos t u(t )sin t , 则函数 f (t ) 的拉普 0,t 0,
L1[pF(p ) f(0)]
t
0
f(s ) ds L1[
(1)n
F(p ) ] p
(C) f ( t) e
at
L [F ( p a )]
1
（D） f ( t)
t
n
L1[F ( n )(p )]
6.
已知 cos ax 的傅里叶变换为 F [cos ax ]
[( a ) ( a )], 则 cos a
解：记 L[x( t )]
X ( p ),则
L[x (t )] p 2X (p ) px(0) x (0),L[x(t )] pX (p ) x(0),L[(t 1)] e p .
方程两边做拉普拉斯变换， 并利用初始条件得 p
2
X ( p ) 3pX ( p ) 4X ( p ) e p , 解上述
（B）
（A）
1 (1 i ) 1
2
1 (1 i )2 1 1 (1 i )2 1
（C）
1 (1 i ) 1
2
（D）
5.
设函数 f ( t )的拉普拉斯变换 L[f (t )]
F ( p )，则以下公式不正确的是（C）
（ B）
（A） f (t )
（1） 验证： u(x ,y ) 2(x 1) y; （2） 若 f (2) i , 求解析函数 f (z )的表达式，并表示为 z 的形式
t ds e t sinh t , y (t ) 3y(t ) 20 y(s ) 7. 利用拉普拉斯变换解方程 y(0) 0.
一、 单项选择题
1. 设 f ( t) (A)
te 3t sin 2t ，则拉普拉斯变换 L[f (t )] 为（A）
(B)
4(P 3) ; [(P 3)2 4]2
(P 3) ; [(P 3)2 4]2
(C)
4(P 3) ; (P 3)2 4
(D)
4P . [P 4]2
2
10． 像函数 F ( p )
三、 计算题
1. 利用拉普拉斯变换的性质，求积分 I
1 cos 4t
0
t
e 3tdt 的值
解：设 f ( t ) 1 cos 4t , 则 L[f ( t )]
1
p
p p 4
2 2
, L[
f (t ) ] t
p
L[f (t )] ds
2
2．利用拉普拉斯变换的性质，实积分
0
te at sin btdt(a 0) 的值为（C）
（ B）
（A）
b 2 a2 ; (a 2 b 2 )2
2ab ; (a b 2 )2
2
（C）
2ab ; 2 (a b 2 )2
（ D）
a2 b 2 . (a 2 b 2 )2
11. 已知像函数 F ( p )
2p 5 , 则其拉普拉斯逆变换 L1[F ( p )] （C） p 4 p 13
2
（A） 2e
2t
sin 3 t
1 2t 1 e cos 3t; （B） 2e 2t cos 3t e 2t sin 3t; 3 3 1 2t 1 e sin 3t; （D） 2e 2t sin 3t e 2t cos 3t; 3 3
8.
利用拉普拉斯变换求方程
t
0
cos(t )y( ) d t cos t 的解.
ut 2u xx ,0 x ,t 0, 9. 利用拉普拉斯变换求下列问题的解： u(0,t ) 0,u( ,t ) 0,t 0, u(x ,0) sin 2x ,0 x .
（A）1
1
（C） 2( )
（ D）
1
i
( )
9.
已知像函数 F( p )
1 e 2 p
p
2
, 则其拉普拉斯逆变换 L1[F ( p )] （C）
（B）t u( t 2); （D）t ( t 2) u(t 2).
（A）t u( t 2); （C）t ( t 2) u(t 2); 10. 已知像函数 F ( p )
3.
已知像函数 F ( p )
1 1 , 则其拉普拉斯逆变换 L1[F (P )] （B） p 2 p 2
（B） 2 cosh 2 t （D） 2 cos 2 t