大学物理第9章《真空中的静电场》习题解答

U1 =
ρ 2 ( R2 − rB2 ) 2ε 0
B rB
R2 O
R1
球面内的电荷在 B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B 点
产生的电势。球壳在球面内的体积为
4 π ( rB3 − R13 ) 3 包含的电量为 Q = ρV 这些电荷集中在球心时在 B 点产生的电势为
V =
U2 =
Q ρ 3 = ( rB − R13 ) 4πε 0 rB 3ε 0 rB
b/2Байду номын сангаас
∫
−σ = ln(b / 2 + a − x ) 2πε 0 =
b/2
−b / 2
σ b ln(1 + ) 2πε 0 a
①
场强方向沿 x 轴正向。 9－7 有 一 半 径为 r 的 半 球 面 ,均 匀 地 带有 电 荷 ,电 荷 面 密度 为 σ ,求 球 心 处的 电 场强度。 解 : 如 图 所 示 ， 在 球 面 上 任 取 一 面 元 ， 其 上 带 电 量 为
=
L x
q ln 4πε 0 L
r 2 + L2 + L r
（3）P1 点的场强大小为
E1 = −
∂U 1 ∂r
=
q 1 1 ( − ) 8πε 0 L r − L r + L q 1 ， 2 4πε 0 r − L2
①
=
方向沿着 x 轴正向。 P2 点的场强为
E2 = −
=
∂U 2 ∂r
q 1 r [ − ] 2 2 4πε 0 L r r + L ( r 2 + L2 + L)
Ex = −
dV σ x = (1 − ) dx 2ε 0 R2 + x2
9－20 电量 q 均匀分布在长为 2L 的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为 r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为 r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强。 解：电荷的线密度为λ = q/2L （1）建立坐标系，在细线上取一线元 dl，所带的电量为 dq = λdl 根据点电荷的电势公式，它在 P1 点产生的电势为
� � Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E 2πrl
S S
根据高斯定理Φe = q/ε0，所以
E=
λ ， (R1 < r < R2) 2πε 0 r
（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以 E = 0， （r > R2） 9－12 一个均匀带电圆盘，半径为 R ，电荷面密度为 σ ，求： (1) 轴线上任一点的电势（用 x 表示该点至圆盘中心的距离 ） ； (2) 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。 解： 如图所示 ，将均匀 带电圆盘 视为一系 列连续分 布的同心带电细圆环所组成 ， 距 O 点 r 处取一宽为 dr 的 细圆环 ， 其带电量为 dq = σ d S = σ ⋅ 2π rdr ， dq 在 P 点 处产生的电势为
B rB A
O rA
R1
dU O =
dq ρ = rd r 4πε 0 r ε 0
R2 O r dr R1
球心处的总电势为
ρ UO = ε0
R2
ρ rdr = ( R22 − R12 ) ∫ 2ε 0 R
1
这就是 A 点的电势 UA。 过 B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。 球面外的电荷在 B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可 得
d S = r 2 sin θ dθ dϕ
d q = σ ⋅ d S = σ r 2 sin θ dθ dϕ ， 电荷元 d q 在球心处产生
的场强的大小为
1 dq 1 σ r 2 sin θdθdϕ dE = = 4πε 0 r 2 4πε 0 r2
方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直 向下，其大小为
E = E z = ∫ dE cos θ = ∫ dϕ ∫ 2
0 0
2π
π
σ sin θ cosθdθ 4πε 0
=
σ 4ε 0
9－9 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点 O 为中心，R 为半径作 一半球面，如习题 9－9 图所示。求通过此半球面的电通量。
R
O
解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电 荷为 σ q = πR2 R2σ 通过球面的电通量为 Φe = q/ε0 通过半球面的电通量为 σ/2 ε0 Φ`e = Φe/2 = πR2 R2σ /2ε 9－10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2(R2 > R1)，带有等量异号电荷，单位 长度的电量分别为λ和-λ，求（1）r < R1； （2） R1 < r < R2； （3）r > R2 处各点的场强。 解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。 （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以 E = 0， （r < R1） （2）在两个圆柱之间做一长度为 l，半径为 r 的同轴圆柱形高斯面，高斯 面内包含的电荷为 q = λl 穿过高斯面的电通量为
方向沿着 x 轴正向。 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强． 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上 O 点产生的场 强大小为
R E`` O θ E` x
E` =
λ 4πε 0 R
由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在 O 点产生的合场强为
` Ex = 2 E ` cos
θ λ θ = cos 2 2πε 0 R 2
B 点的电势为 UB = U1 + U2
=
ρ R3 2 (3 R2 − rB2 − 2 1 ) ． 6ε 0 rB
（2）A 点的场强为
EA = −
B 点的场强为
∂U A = 0． ∂rA
EB = −
∂U B ρ R3 = (rB − 1 ) ∂rB 3ε 0 rB2
讨论： 过空腔中 A 点作一半径为 r 的同心球形高斯面， 由于面内没有电荷， 根据高斯定理， 可得空腔中 A 点场强为 E = 0， (r≦R1) 过球壳中 B 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
4 V = π (r 3 − R13 ) 3
包含的电量为 q = ρV ε0 根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ q/ε 可得 B 点的场强为
E=
ρ R3 (r − 1 ) ， (R1≦r≦R2) 3ε 0 r2
这两个结果与上面计算的结果相同。 在球壳外面作一半径为 r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
R1
R2
∞
=
B 点的电势为
ρ ( R22 − R12 ) ． 2ε 0
∞
∞
U B = ∫ E ⋅ d l = ∫ Ed r
rB rB
R2
=
rB
∫
3 ρ ( R2 − R13 ) ρ R13 dr (r − 2 )dr + ∫ 3ε 0 r 2 3ε 0 r R2
∞
ρ R13 2 2 = (3 R2 − rB − 2 ) ． 6ε 0 rB
9－5 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题 9－5 图所示的对称形状，试问θ为何值时， 圆心 O 点处的场强为零。 解： 设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 R 强。 O θ 在圆弧上取一弧元 ds =R dφ 所带的电量为 dq = λds 在圆心处产生的场强的大小为
dE = k
dq λ ds λ = = dϕ 2 2 r 4πε 0 R 4πε 0 R
4 3 V = π ( R2 − R13 ) 3
包含的电量为 q = ρV 根据高斯定理得可得球壳外的场强为
E=
A 点的电势为
3 q ρ ( R2 − R13 ) ，(R2≦r) = 4πε 0 r 2 3ε 0 r 2
∞
∞
U A = ∫ E ⋅ dl = ∫ Edr
rA rA
3 ρ ( R2 − R13 ) ρ R13 dr = ∫ 0dr + ∫ ( r − 2 )dr + ∫ 3ε 0 r 2 3ε 0 r R2 rA R1
=
q 4πε 0 r
1
②
r + L2
2
方向沿着 y 轴正向。 9－21 如习题 9－21 图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为 R1 和 R2 的均匀带电球 壳，所带电荷体密度为 ρ，试计算： （1）A，B 两点的电势； R2 （2）利用电势梯度求 A，B 两点的场强。 解： （1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此 A 点的电势就等于球心 O 点的电势。 在半径为 r 的球壳处取一厚度为 dr 的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr 包含的电量为 r2dr dq = ρdV = 4πρ πρr 在球心处产生的电势为
dV =
1 dq 1 σ 2π rd r = 2 2 12 4πε 0 (r + x ) 4πε 0 ( r 2 + x2 )1 2
所以，整个带电圆盘在 P 点产生的电势为
V = ∫ dV = ∫
轴线上的场强分布为
R
0
σ 2π rd r σ = ( R 2 + x 2 − x) 2 2 12 4πε 0 (r + x ) 2ε 0
A 和 B 点的电势与前面计算的结果相同．
dU 2 =
积分得
λ dl ， 2 4πε 0 (r + l 2 )1/ 2
U2 =
λ 4πε 0
L
−L
∫ (r
2
1 dl + l 2 )1/ 2
L
λ = ln( r 2 + l 2 + l ) 4πε 0
y P2 r θ o l dl
l =− L
-L
q r 2 + L2 + L = ln 8πε 0 L r 2 + L2 − L
解：
E=
λ 2πε 0 r
得带电直线在 P 点产生的场强为
dE =
dλ σ dx = 2πε 0 r 2πε 0 (b / 2 + a − x)
y b O dx a P x
其方向沿 x 轴正向。 由于每条无限长直线在 P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为
E=
σ 2πε 0
1 dx b/2+a− x −b / 2
由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴方向为正，场强为 dEx = -dEcosφ 总场强为
Ex =
−λ 4πε 0 R
2π −θ / 2
θ /2
2 π −θ / 2
∫
cos ϕ dϕ
dφ R O φ θ x dE
=
−λ sin ϕ 4πε 0 R
θ /2
=
λ θ sin 2πε 0 R 2
方向沿着 x 轴负向
` 当 O 点合场强为零时，必有 E x = E x ，可得
tanθ/2 = 1
因此 所以
θ/2 = π/4， θ = π/2
9－6 一宽为 b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题 9－6 图所示。试
求 平板所在平面内，离薄板边缘距离为 a 的 P 点处的场强。
建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电直线，电荷的线密度为 dλ = σd x 根据直线带电线的场强公式
dU 1 =
总电势为
1 λ dl 4πε 0 r − l
-L
y
r P1 x
o l dl L
λ U1 = 4πε 0
L
−L
∫ r −l
L l =− L
dl
−λ = ln(r − l ) 4πε 0 =
q r+L ln 8πε 0 L r − L
（2）建立坐标系，在细线上取一线元 dl，所带的电量为 dq = λdl，在线的垂直平分线 上的 P2 点产生的电势为