备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题

专题58 巧选数学模型解排列组合问题

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．

有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）处理排列组合问题的常用思路：

1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？

2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.

3、先取再排（先分组再排列）：排列数m

n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列. （二）排列组合的常见模型

1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.

2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序

注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序

3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住

4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）

5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中

6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有1

1m n C --种.解决此

类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子.

7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.

【经典例题】

例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则

的正

偶数因数的个数是（ ） A. 48 B. 72 C. 64 D. 96 【答案】A

由分步计数乘法原理可得的因数共有

，

不含的共有

，

正偶数因数的个数有个， 即

的正偶数因数的个数是

，故选A.

例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合

中各取一个

数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B

【解析】分析：分别从集合A ，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：

例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.

例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不

能剩余）为（ ）

A. 48

B. 60

C. 96

D. 120 【答案】C

对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：

()()()()()()2,2,4,6,6,4,2,2,8,6,6,8,2,6,4,2,6,8共6种，

可以组成的三位数的个数为： 3!

23!42

⨯+⨯

种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为： 3!

23!42

⨯+⨯

种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!

123!8163!962

⨯+⨯=⨯=. 本题选择C 选项. 例4.已知集合(){}

2

2,|1,,A x y x

y x y Z =

+≤∈， (){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（ ）

A. 77

B. 49

C. 45

D. 30

例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()

A. 192种

B. 128种

C. 96种

D. 12种

【答案】C

【解析】试题分析：根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．

根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有

2 46

C=种情况，

对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种，

故选C．

例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（）种

A. 432

B. 576

C. 720

D. 864

【答案】B

【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有4

424

A=种，列交换共有4

424

A=种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有2424=576

⨯种，故选B.