西南交《线性代数》离线作业
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西南交《线性代数》离线作业
(共10道小题每题10分)
1. 0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 n-1 0
n 0 0 0
L L L L L L ＝______0________。
2. 设1α=(6 −2 0 4) ,
2α=(−3 1 5 7 ) ，则1232αα- = （24 −8 −10 −2）。
3. 设 A 是 m×n 矩阵, B 是 p×m 矩阵，则 A T B T 是 n × p 阶矩阵。
4. 行列式 1 2 3
1 2 41 2 5
= 4 。
5. 设α=()1 1 0-, A= 2 0 10 4 21 1 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ , B=1 00 32 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,则 αAB= （0 1 4） 。
6. 已知123,,ααα是其次线性方程组0Ax =的一个基础解系，若 112223331,,βαλαβαλαβαλα=+=+=+，讨论实数λ满足什么条件时，123,,βββ也是0Ax =的一个基础解系。
解：只需讨论123,,βββ线性无关的条件。
K 1β1+k 2β2+k 3β3=0 <=> (k 1+λk 3)α1+ (k 2+λk 1)α2+(k 3+λk 2)α3=0
因为123,,ααα线性无关，所以：k 1+λk 3
=0 λk 1+k 2=0
λk 2+k 3=0
123,,βββ是0Ax =基础解系
则齐次线性方程组k 1+λk 3=0 只有零解，故系数行列式不为零。
λk 1+k 2=0
λk 2+k 3=0
|1 0 λ;λ 1 0；0 λ 1| ≠0 <=> 1+λ3≠0 <=>λ≠−1 ，所以当λ≠−1 时，123,,βββ是0Ax =基础解系
7. 求一个正交变换P ，化二次型22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++为标准形。 解: 二次型的矩阵 A=2 0 0
0 3 2
0 2 3
|A-λE| =2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,5.
A-E =1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
A-2E =0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2 0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
A-5E =-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 单位化得
P 1=(0,1/√2,-1/√2)'
P 2=(1,0,0)'
P 3=(0,1/√2,1/√2)'
令 P = (P 1, P 2, P 3), 则 P 是正交矩阵, 且P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换, 满足
f = y12+2y22+5y32.
8.设矩阵
1 0 1
0 3 0
1 0 1
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，矩阵2
(),
B kE A k R
=+∈。
（1）求对角阵D，使B与D相似。
（2）求k的值，使B为正定矩阵。
解：A的特征值：|A-λE|=λ（λ-2）（λ-3），所以特征值是：0，2，3 B的特征值为：k2,(k+2) 2,(k+3) 2, D={ k2 }
(k+2) 2
(k+3) 2
B为正定，则k2>0且(k+2) 2>0且(k+3) 2>0，即K≠0，-2，-3.
9.设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。证明(E−A) (E+A) −1是正交矩阵。
解：因为A T=-A,故
[(E-A)(E+A)-1]T[(E-A)(E+A)-1]=(E+A T)-1（E-A）T（E-A)(E+A)-1
=(E-A)-1（E+A）（E-A)(E+A)-1
（E+A）与（E-A)可交=(E-A)-1（E+A） (E+A)-1（E-A)=E
所以，(E−A) (E+A) −1是正交矩阵。
10. 已知3阶方阵A可逆且A−1 =
1 0 1
2 2 0
3 3 3
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，求A的伴随矩阵的逆矩阵.
解：|A|=1/|A-1|=1/6
A+=|A|A-1=1/6 A-1
A=（A-1）-1=1/6[6 3 -2]
-6 0 2
0 -3 2
(A+)-1=(1/6 A-1) -1=6A=[ 6 3 -2]
-6 0 2
0 -3 2