第一章 预备知识
第1章 预备知识(数制与码制)
1.2
二进制数的运算
1.2.1二进制数的算术运算
二进制数不仅物理上容易实现，而且算术运算
也比较简单，其加、减法遵循“逢2进1”、“借1当2” 的原则。 以下通过4个例子说明二进制数的加、减、乘、 除运算过程。
1. 二进制加法
续2
2. 二进制减法
1位二进制数减法规则为: 1－0＝1 1－1＝0 0－0＝0 0－1＝1 例2: 求10101010B－10101B。 解: 被减数 10101010 (有借位)
减数
借位 －) 差
10101
00101010 10010101
则10101010B－10101B＝10010101B。
它代表计数制中所用到的数码个数。
如：二进制计数中用到0和1两个数码； 八进制计数中用到0～7共八个数码。 一般地说，基数为R的计数制(简称R进制)中，包 含0、1、…、R-1个数码，进位规律为“逢R进1”。
续1
(2)位权W(Weight):
进位计数制中,某个数位的值是由这一位的数码值 乘以处在这一位的固定常数决定的,通常把这一固定常数 称之为位权值,简称位权。各位的位权是以R为底的幂。 如：十进制数基数R=10，则个位、十位、百位上的位
2D07.AH＝2×163＋13×162＋0×161＋7×160
＋10×16-1
＝8192＋3328＋7＋0.625＝11527.625
续2
2.十进制数转换为二、八、十六进制数
任一十进制数N转换成q进制数，先将整数部分与 小数部分分为两部分，并分别进行转换，然后再用小数 点将这两部分连接起来。
1)整数部分转换
_新教材高中数学第一章预备知识1
1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集， 则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
2．补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合 A 的 补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
1．已知全集 U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则 A＝
所以－m≤－2，即 m≥2， 所以 m 的取值范围是{m|m≥2}．
[母题探究] 1．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则 m
的取值范围又是什么？
解：由已知得 A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得 m<2. 故 m 的取值范围为{m|m<2}． 2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R ”，其他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？
A 的元素组成的集合，叫作 U 中子集 A 的补集，记作∁UA. 2．符号：∁UA＝{x|___x_∈__U_，__且___x_∉_A__ }． 3．Venn 图
4．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝__U__； (2)A∩(∁UA)＝__∅__； (3)∁UU＝__∅__，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝__A_； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
解：由已知 A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2 或 x≥4}．
又(∁UB)∪A＝R ，所以－m≤－2，解得 m≥2. 故 m 的取值范围为{m|m≥2}．
由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解； (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般 利用数轴分析求解．
第1章 预备知识
第1章 预 备 知 识在这一章里，我们将首先介绍在本书中要用到的一些基础知识，包括随机过程和排队模型方面的相关概念和结论，然后简单地介绍一下本书所涉及领域的两种常用的研究方法，包括无穷小摄动分析方法和Markov 过程无穷小矩阵摄动方法及其相关概念和结果．1.1 随 机 过 程本节我们将复习一下随机过程的有关知识，包括概率论、Poisson 过程、Markov 链、Markov 过程、再生过程和Markov 更新过程等，着重于这些过程的状态特征描述及稳态性能方面的概念和结果．本节材料可参看文献[1~4]．1.1.1 概率论我们将以测度论的观点来简单地介绍一下概率论的一些基本概念和结论．定义1.1.1 设Ω是一个非空基本集，F 是Ω的一个子集族，且满足条件：(1) 若12,E E ∈F ，则12E E -∈F ；(2) 若n E ∈F ，1,2,n =L ，则1∞=∈U n n EF ，则称F 为Ω上的一个σ-环．若还有Ω∈F ，则称F 为Ω上的一个σ-域或σ-代数． 设G 是Ω的一个子集族，包含G 的最小σ-域称为由G 生成的σ-域．由实数空间R 上的所有开区间生成的σ-域称为Borel σ-域或Borel 集类，记为B ．定义1.1.2 设F 为Ω上的一个σ-域，μ是定义在F 上的一个非负的，允许取+∞，但不恒取+∞的集函数，若它满足可列可加性：当n E ∈F ，1,2,n =L ，i j E E =∅I(i j ≠)时，有11()()μμ∞∞===∑U n n n n E E ，则称μ是F 上的一个测度，(,,)ΩμF 称为一个测度空间，F 中的集合称为可测集，()E μ称为E 的测度．定理1.1.1 设μ是σ-域F 上的一个测度，则有(1) 规定性：()0μ∅=；(2) 有限可加性：若1,,n E E ∈L F ，i j E E =∅I (i j ≠)，则11()()n nk k k k E E μμ===∑U ；(3) 单调性：若12,E E ∈F ，12E E ⊂，则12()()E E μμ≤．定义1.1.3 设(,,)ΩμF 为一个测度空间，若()1μΩ=，并记()()P μ⋅=⋅， 称P 为σ-域F 上的一个概率测度，并称(,,)P ΩF 为一个概率空间，而F 中的任一元素称为一个事件．换句话说，定义在σ-域F 上的一个集函数称为一个概率测度，若它满足条件：(1) 对任意的A ∈F ，()0P A ≥；(2) ()1P Ω=，()0P ∅=；(3) 若n A ∈F ，1,2,n =L ，i j A A =∅I (i j ≠)，则有11()()n n n n P A P A ∞∞===∑U ．设(,,)P ΩF 为一个概率空间，则由定理1.1.1的（3）可以知道，对任意的A ∈F ，()1P A ≤．对A ∈F ，若()1P A =，则称A 为P 的支集．定义1.1.4 设(,,)P ΩF 为一个概率空间，B ∈F ，()0P B >，定义()()()P AB P A B P B = ，A ∈F ， （1.1.1） 则()()B P P B ⋅=⋅为定义在F 上的一个概率测度，称为给定事件B 的条件概率，而称(,,)B P ΩF 为给定事件B 的条件概率空间．条件概率除了具有概率的有关性质外，还具有以下一些特殊性质：(1) 设(,,)A P ΩF 为一条件概率空间，B ∈F ，()0A P B >，则有()()()A AB P C B P C AB P C ==； （1.1.2）(2) (乘法公式)设n A ∈F ，1,2,,n k =L ，且121()0k P A A A ->L ，则有12121312121()()()()()k k k P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=L L ； （1.1.3）(3) (全概率公式)设A ∈F ，n B ∈F ，1,2,n =L ，i j B B =∅I (i j ≠)，()0n P B >，1n n B A ∞=⊃U ，则有1()()()n n n P A P B P A B ∞==∑； （1.1.4）(4) (Bayes 公式)设A ∈F ，n B ∈F ，1,2,n =L ，i j B B =∅I (i j ≠)，()0P A >，()0n P B >，1n n B A ∞=⊃U ，则有 1()()()()()n n n i ii P B P A B P B A P B P A B ∞==∑，1,2,n =L ． （1.1.5）定义 1.1.5 设(,,)P ΩF 为一个概率空间，n A ∈F ，1,2,,n k =L ，若对任意的n （1n k ≤≤）及任意的121n i i i k ≤<<<≤L ，都有1212()()()()n n i i i i i i P A A A P A P A P A =L L ， （1.1.6）则称事件12,,,n A A A L 是独立的．定义 1.1.6 设(,,)P ΩF 为一个概率空间，:X Ω→R ，若对任意的t ∈R ，均有{}{:()}X t X t ωΩω≤=∈≤∈F ，则称X 为(,,)P ΩF 上的一个随机变量．设X 为概率空间(,,)P ΩF 上的一个随机变量，称(){}F t P X t =≤ （1.1.7）为随机变量X 的分布函数．易见，()F t 不减，且()0F -∞=，()1F +∞=．若存在一个非负函数()f t ，使对任意的t ∈R ，均有()()d t F t f t t -∞=⎰， （1.1.8） 则称()f t 为随机变量X 的概率密度函数，并称X 为连续型随机变量．随机变量X 的数学期望或均值定义为 [](d )()d E X tF t tf t t +∞+∞-∞-∞==⎰⎰， （1.1.9） 它的方差定义为222[][([])][]([])D X E X E X E X E X =-=-， （1.1.10）风险率函数定义为()()1()f t h t F t =-． （1.1.11）如果()F t 在R 上绝对连续，则()()f t F't =，从而有()d ()()e th t t f t h t -∞-⎰=． （1.1.12） 如果X 表示一个事件的寿命，则()h t 表示该事件活到时刻t ，而将在时间段[,)t t t +∆内终结的比率．下面将简单介绍一下在本书中要用到的有关概率论的一些基本事实和结论．首先，我们来考虑所谓的逆变换方法，该方法可被用来从一个在[0,1)上服从均匀分布的随机变量，生成一个具有已知分布函数()F t 的随机变量，它在排队网络的仿真中有重要应用．已知随机变量X 的分布函数为()F t ，注意到()F t ξ=服从[0,1)上的均匀分布，为了生成随机变量X ，我们先产生一个随机变量ξ，它服从[0,1)上的均匀分布，然后令1()sup{:()}t F t F t ξξ-==≤， （1.1.13）这样生成的随机变量就一定具有分布函数()F t ．这是因为1{}{()}{()}()P X t P F t P F t F t ξξ-≤=≤=≤=．下面我们来考虑随机变量序列的收敛性．设(,,)P ΩF 为一个概率空间，n X ，1,2,n =L 及X 为定义在其上的随机变量，我们有下列四种收敛概念：(1) 以概率1收敛（几乎肯定收敛）：若{lim }1n n P X X →∞==，或等价地，对任意的0ε>，有lim {,}0ε→∞->≥=对某个k n P X X k n ，则称随机序列{}n X 以概率1收敛到X ，记为lim n n X X →∞=（w.p. 1），也称随机序列{}n X 几乎肯定收敛到X ，记为lim n n X X →∞=(a.s.)． (2) 以概率收敛：若对任意的0ε>，有lim {}0n n P X X ε→∞-≥=，则称随机序列{}n X 以概率收敛到X ，记为lim n n X X →∞=(P )． (3) r 阶收敛：设对0r >，[]r n E X <∞，[]r E X <∞，若lim []0rn n E X X →∞-=，则称随机序列{}n X r 阶收敛到X ，记为lim n n X X →∞=(r )．特别当1,2r =时，分别称为均值收敛和均方收敛．(4) 以分布收敛和弱收敛：设()n F t 和()F t 分别是n X 和X 的分布函数，1,2,n =L ，若lim ()()n n F t F t →∞=，则称随机序列{}n X 以分布收敛到X ，记为lim n n X X →∞=(d )，也称分布函数序列{()}n F t 弱收敛到()F t ．可以证明：lim n n X X →∞=(a.s.)⇒lim n n X X →∞=(P )⇒lim n n X X →∞=(d )；lim n n X X →∞=(r )⇒lim n n X X →∞=(P )． 定理 1.1.2（单调收敛定理） 设{}n X 为一个单调不降的非负随机变量序列，如果lim n n X X →∞=(a.s.)，则有 lim [][]n n E X E X →∞=． 定理1.1.3（Lebesgue 控制收敛定理） 设{}n X 为一随机变量序列，若存在一个具有有限均值的随机变量Y ，使对任意的n ，有n X Y ≤，且lim n n X X →∞=(P )，则 lim [][]n n E X E X →∞=． 定义 1.1.7 设{}n X 为定义在概率空间(,,)P ΩF 上存在均值的随机变量序列，若11lim {[]}0nk k n k X E X n →∞=-=∑(P )，则称{}n X 服从（弱）大数定律． 定理 1.1.4 设{}n X 为定义在概率空间(,,)P ΩF 上的随机变量序列，若对任意的自然数n ，1[]nk k D X =∑存在，且211lim []0n k n k D X n →∞==∑，则{}n X 服从大数定律． 定理1.1.5（辛钦大数定律） 设{}n X 为相互独立同分布的随机变量序列，则{}n X 服从大数定律的充分必要条件是1X 具有有限的均值．定义 1.1.8 设{}n X 为定义在概率空间(,,)P ΩF 上存在均值的随机变量序列，若11lim {[]}0nk k n k X E X n →∞=-=∑(a.s.)，则称{}n X 服从强大数定律． 定理1.1.6 设{}n X 为相互独立的随机变量序列，若21[]n n D X n ∞=<∞∑，则{}n X 服从强大数定律．定理1.1.7 设{}n X 为相互独立同分布的随机变量序列，则{}n X 服从强大数定律的充分必要条件是1X 具有有限的均值．设(,,)P ΩF 为一个概率空间，t X ，t T ∈为定义在(,,)P ΩF 上的一族随机变量，我们称{;}t X X t T =∈为定义在(,,)P ΩF 上的一个随机过程．这里，T ⊂R 称为随机过程X 的参数集．如果{0,1,2,}T +==L Z ，则称X 为离散时间的随机过程，一般用n 表示离散的时间参数；如果[,]T a b =，或R ，或[0,)+=+∞R ，则称X 为连续时间的随机过程，一般用t 表示连续的时间参数．令Φ为随机过程X 的所有可能取值组成的集合，我们称Φ为X 的状态空间，Φ中的元素称为状态．Φ可以是一个有限集，或可数无限集，或不可数无限集．我们也称X 为定义在状态空间Φ上的一个随机过程．1.1.2 Poisson 过程定义在概率空间(,,)P ΩF 上的一个随机过程{;0}t N N t =≥，如果它是非减的，纯跳跃的，右连续的，且00N =，则称其为一个到达过程．应用最广泛的一类到达过程是Poisson 过程．定义1.1.9 状态空间{0,1,2,}Φ=L 上的一个到达过程{;0}t N N t =≥称为Poisson 过程，如果它满足下列条件：(1) 对任意的,0s t ≥，t s t N N +-与{;}u N u t ≤独立；(2) 对任意的,0s t ≥，t s t N N +-的分布与t 无关．我们有下列引理，它描述了Poisson 过程的基本特征，通过它可给出Poisson 过程的多种定义．引理1.1.1 如果{;0}t N N t =≥是一个Poisson 过程，则(1) 存在一个常数0λ≥，使对所有的0t ≥，{0}e t t P N λ==；(2) 0{2}lim0t t P N t→≥=； (3) 0{1}lim t t P N t λ→==． 我们称引理1.1.1中的常数λ为Poisson 过程{;0}t N N t =≥的到达率．定理1.1.8 如果{;0}t N N t =≥是一个到达率为λ的Poisson 过程，则对任意的0t ≥，有e (){}!t kt t P N k k λλ-==，0,1,k =L ． （1.1.14） 设{;0}t N N t =≥是一个到达率为λ的Poisson 过程，Λ<<<=2100T T T 是相继的到达时刻，则我们有下列引理：引理 1.1.2 如果{;0}t N N t =≥是一个到达率为λ的Poisson 过程，则对任意的0≥n ，有10{,,}1e t n n n P T T t T T λ-+-≤=-L ，0t ≥． （1.1.15）由引理1.1.2可知，一个到达率为λ的Poisson 过程，其相继到达时间间隔n n T T -+1，Λ,1,0=n 相互独立，且具有共同的指数分布1e t λ--．由这个引理，可给出Poisson 过程的另一个等价定义：定理 1.1.9 设Λ<<<=2100T T T 是一个到达过程{;0}t N N t =≥的相继到达时刻，则N 是一个Poisson 过程的充分必要条件为到达时间间隔n n T T -+1，Λ,1,0=n 相互独立，且具有共同的指数分布1e t λ--．Poisson 过程还有许多其他等价的定义，请参看文献[2]．1.1.3 Markov 链如果一个随机过程在已知当前状态的情况下，它未来的行为与它过去的历史无关，则我们一般称该随机过程具有Markov 性．Markov 链和下一小节将要介绍的Markov 过程都是这样的随机过程．为叙述方便，以下如无特殊声明，均设状态空间{1,2,}Φ=L 为一个可数集．定义1.1.10 状态空间Φ上的一个随机过程}0;{≥=n X X n ，如果它对任意的j Φ∈及0≥n ，满足}{},,{101n n n n X j X P X X j X P ===++Λ， （1.1.16）则称X 为一个具有状态空间Φ的Markov 链．对Markov 链}0;{≥=n X X n ，条件概率}{1i X j X P n n ==+，,i j Φ∈称为Markov 链X 的转移概率，若它与n 无关，记ij n n P i X j X P ===+}{1，则称其为时间齐次的，简称齐次的．本书中出现的Markov 链均是齐次的．矩阵][ij P P =称为Markov 链X 的转移矩阵．显然，对任意的,i j Φ∈，0≥ij P ，且1ij j P Φ∈=∑．满足此条件的矩阵一般称为一个Markov 矩阵或随机矩阵．对,i j Φ∈，及0≥k ，令)(k ij P 为矩阵kP 的第),(j i 个元素，则易证 )(}{k ij n k n P i X j X P ===+ ． （1.1.17）因此，矩阵k P 称为Markov 链X 的k -步转移矩阵．这里，特别I P =0为单位矩阵．显然，对任意的0,≥m n ，有m n m n P P P =+， （1.1.18）或等价地()()()n m n m ij ik kj k P P P Φ+∈=∑， （1.1.19）上式称为Markov 链X 的Chapman-Kolmogorov 方程．设X 为一个具有状态空间Φ和转移矩阵P 的Markov 链，对j Φ∈，令T 是过程首次到达状态j 的时刻．以下用}{A P j 表示}{0j X A P =，}{A E j 类似．对,i j Φ∈，置(,){}i F i j P T =<∞，它表示Markov 链X 始于状态i 到达状态j 的概率．定义1.1.11 如果{}1j P T <∞=，则称状态j 是常返的，否则，如果{}0j P T =+∞>，则称j 是瞬态的或滑过的；一个常返态j 称为零常返的，如果∞=}{T E j ，否则，称为正常返的或非零常返的；一个常返态j 称为周期的，且具有周期δ，如果2≥δ，且是满足下式的最大整数：{,1}1j P T n n δ=≥=对某一个，否则，称为非周期的．一个正常返且非周期的状态称为遍历的．如果X 的所有状态都是正常返的，则称X 为正常返的；如果X 的所有状态都是非周期的，则称X 为非周期的．定理1.1.10 如果状态j 是瞬态的或零常返的，则对任意的i Φ∈，有0lim )(=∞→n ij n P ；如果状态j 是正常返非周期的（遍历的），则0lim )()(>=∞→n jj n P j π，且对任意的i Φ∈，有()lim (,)()n ij n P F i j j π→∞=． （1.1.20） 定义1.1.12 如果对某个0≥n ，0)(>n ij P ，则称状态i 可达状态j ，记为j i →；如果j i →，且i j →，则称状态i 与状态j 互通，记为j i ↔．显然，可达关系具有传递性，即若j i →，且k j →，则k i →．定义1.1.13 一个状态的集合称为闭的，如果它内部的状态都不能到达它外部的状态；仅有其本身构成一个闭集的状态称为一个吸收状态；一个闭集称为不可约的，如果它没有真闭子集；一个Markov 链称为不可约的，如果它的状态空间是惟一的闭集．易证，状态j 是吸收的当且仅当1=jj P ；一个Markov 链是不可约的当且仅当其所有状态相互可达；如果Markov 链X 是不可约的，且具有有限状态空间，则X 无瞬态和零常返态．而由定义1.1.12易见，一个Markov 链是不可约的当且仅当其转移矩阵P 是不可约的．一个随机矩阵P 称为可约的，如果通过对其指标重新排序后，P 可表为下列形式：1121220⎛⎫= ⎪⎝⎭P P P P ， （1.1.21）这里，11P 为一个有限阶方阵；否则，称P 为不可约的．定义1.1.14 概率分布((1),(2),)πππ=L 称为Markov 链X 的一个平稳分布或不变分布，如果P ππ=． （1.1.22）定理1.1.11 设Markov 链X 是不可约的，则X 为正常返的充分必要条件是X 存在惟一的平稳分布((1),(2),)πππ=L ，且()0i π>，i Φ∈．下面这个定理反映了Markov 链的平稳分布与其极限概率之间的关系．定理1.1.12 设Markov 链X 是不可约的和非周期的，则X 为正常返的充分必要条件是X 存在惟一的平稳分布((1),(2),)πππ=L ，且()()lim 0n ij n j P π→∞=>，,i j Φ∈．此时，我们也称((1),(2),)πππ=L 为X 的极限分布或稳态分布．由于具有有限状态空间的不可约Markov 链X 无瞬态和零常返态，故我们有下列推论：推论1.1.1 设Markov 链X 是不可约的和非周期的，且具有有限状态空间，则X 存在惟一的平稳分布((1),(2),)πππ=L ，且()()lim 0n ij n j P π→∞=>，,i j Φ∈．下面我们来简单介绍一下强遍历Markov 链的有关概念和结果．设Markov 链X 是不可约的，转移矩阵为][ij P P =，记0inf{0,}ij n T n X j X i =≥==为过程从状态i 出发首次到达状态j 的时间，[]ij ij M E T =为过程从状态i 出发首次到达状态j 的平均时间，[]ij M M =称为平均首达时矩阵．定义1.1.15 设不可约Markov 链{;0}n X X n =≥的转移矩阵为][ij P P =，0π>是X 的一个平稳分布，如果M π有限，则称Markov 链X 是强遍历的．定理1.1.13 如果Markov 链X 是不可约、非周期、正常返的和强遍历的，π是X 的稳态分布，则矩阵()I P e π-+非奇异，且10()()n n I P e P e ππ∞-=-+=-∑． 这里，e 为一个所有分量均为1的列向量．1.1.4 Markov 过程定义1.1.16 状态空间Φ上的一个随机过程{;0}t Y Y t =≥，如果它对任意的j Φ∈，及,0t s ≥，满足{;}{}t s u t s t P Y j Y u t P Y j Y ++=≤==， （1.1.23）则称Y 为一个具有状态空间Φ的Markov 过程．对Markov 过程{;0}t Y Y t =≥，（1.1.23）式中的条件概率一般依赖于t 和s ，如果对所有的,i j Φ∈及0s ≥，{}()t s t ij P Y j Y i P s +===与0t ≥无关，则称Markov 过程Y 是时间齐次的，简称齐次的．对固定的,i j Φ∈，称0(){}ij t P t P Y j Y i ===为转移函数；称矩阵()[()]ij P t P t =为Markov 过程Y 的转移概率矩阵．如果()P t I →(0t →+)，这里I 为单位矩阵，则称Markov 过程Y 具有标准转移概率矩阵．本书中出现的Markov 过程均是齐次的，以后不再声明．易见，对任意的,i j Φ∈及,0t s ≥，有()0ij P t ≥，()1ik k P t Φ∈=∑， （1.1.24） ()()()ik kj ijk P t P s P t s Φ∈=+∑． （1.1.25） （1.1.25）式称为Markov 过程Y 的Chapman-Kolmogorov 方程．设{;0}t Y Y t =≥为一个随机过程，T 是一个取值于+R 的随机变量，若对每一个有限的0t ≥，事件{}T t ≤的发生与否可以由过程Y 直到时刻t 的历史{;}u Y u t ≤来确定，则称T 为Y 的一个停时．定理 1.1.14 设Y 为一个Markov 过程，T 为Y 的一个停时，则对任意的j Φ∈及0s ≥，有{;}()T s u ij P Y j Y u T P s +=≤=，这里T Y i =．这个定理中的性质称为Markov 过程Y 在停时T 的强Markov 性．下面我们来讨论Markov 过程的结构．以下设状态空间Φ上的Markov 过程Y 具有标准转移概率矩阵，00T =，1T ，2T ，L 是过程Y 相继的状态转移时刻，0X ，1X ，2X ，L 是Y 相继到达的状态．若n X i =，则1n n T T +-为Y 在状态i 的逗留时间．我们设对几乎所有的ωΩ∈，()t Y ω在+R 上是右连续的，即0n n T X Y +=．定理1.1.15 对任意的0n ≥，,i j Φ∈及0t ≥，如果事件{}n X i =发生，则有()1100{,,,;,,}(1e)i t n n n n n ij P X j T T t X X T T P λ-++=-≤=-L L ， （1.1.26） 这里，0()i λ≤<∞．且有0ij P ≥，0ii P =，1ij j P Φ∈=∑． （1.1.27）该定理说明，序列0X ，1X ，2X ，L 构成一个具有转移矩阵[]ij P P =的Markov 链，称为Markov 过程Y 的嵌入Markov 链，记为{;0}n X X n =≥．定理中的()i λ称为Markov 过程Y 在状态i 的转移率．如果()0i λ=，则称i 为Y 的一个吸收状态．如果n X i =，则过程Y 在状态i 的逗留时间1n n T T +-具有参数为()i λ的指数分布．定义1.1.17 如果对几乎所有的ωΩ∈， ()sup ()n n T ζωω==+∞，则称Markov 过程Y 为正则的．下面两个定理是确定Markov 过程Y 是否正则的判别准则．定理1.1.16 如果Markov 过程Y 的转移率有界，即存在一个常数λ<∞，使对所有的i Φ∈，有()i λλ≤，则Y 正则．特别地，如果Φ有限，则Y 正则．定理1.1.17 如果Markov 过程Y 的嵌入Markov 链X 是常返的，则Y 正则．以下设Markov 过程Y 正则，具有标准转移概率矩阵()[()]ij P t P t =，{;0}n X X n =≥为其嵌入Markov 链，[]ij P P =为X 的转移矩阵，()i λ为Y 在状态i 的转移率，并记diag((1),(2),)Λλλ=L ．我们来讨论()P t 与P 及Λ之间的关系．定理1.1.18 ()P t 在+R 上连续可导，且d()()d P t P t A t =， （1.1.28） d()()d P t AP t t=， （1.1.29） 其中，矩阵[]ij A a =为()P t 在0t =点的导数，且()A P I Λ=-． （1.1.30）方程（1.1.28）和（1.1.29）分别称为Kolmogorov 前瞻方程和后顾方程，定理中的矩阵A 称为Markov 过程Y 的无穷小矩阵或无穷小生成子．由定理1.1.18可得0()e !n Atnn t P t A n ∞===∑． （1.1.31）由定理1.1.15，对所有的i Φ∈，0ii P =，即Markov 过程Y 的每一个状态都不一步转移到自己．但我们可以构造一个等价的嵌入Markov 链，使得Markov 过程Y 的每一个状态都可以转移到自己．任选01i p <<，i Φ∈，置ii i P p =，(1)ij ij i P P p =-，i j ≠．则以[]ij P P =为转移矩阵的Markov 链相对于Markov 过程Y 是一个等价的嵌入Markov 链．此时，Markov 过程Y 具有状态转移率()()(1)i i i p λλ=-，i Φ∈．这是因为diag((1),(2),)()()P I P I A λλΛ-=-=L ．设对所有的i Φ∈，()i λλ≤<∞．如果我们置1()i p i λλ=-，则对所有的i Φ∈，()i λλ=，这称为Markov 过程的一致化，而此时的等价Markov 链称为一致化Markov 过程的嵌入Markov 链．下面我们来讨论Markov 过程的极限行为．定义1.1.18 状态i 称为瞬态（常返的，零常返的，正常返的），如果i 在嵌入Makrov 链中是瞬态（常返的，零常返的，正常返的）．Markov 过程Y 称为不可约的（常返的，正常返的），如果其嵌入Makrov 链是不可约的（常返的，正常返的）．可以证明，上述定义与采用离散骨架的定义是一致的．由于我们总可以构造一个非周期的等价嵌入Markov 链，故Markov 过程总是非周期的．因此，对Markov 过程来说，正常返态就是遍历的．如果状态j 是瞬态的或零常返的，则对任意的i Φ∈，当t →+∞时，有()0ij P t →．此外易见，一个Markov 过程是不可约的当且仅当其无穷小矩阵A 是不可约的．一个无穷小矩阵称为不可约的定义与一个随机矩阵称为不可约的定义完全类似．定理1.1.19 如果Markov 过程Y 是不可约正常返的，则对任意的j Φ∈，极限()lim ()ij t p j P t →+∞= （1.1.32）存在，与i 无关，且()0p j >，j Φ∈．若嵌入链X 的稳态分布为((1),(2),)πππ=L ，Y 的状态转移率为()0j λ>，j Φ∈，则()()()()()i j m j p j i m i Φππ∈=∑， （1.1.33）这里，()1()m j j λ=为Y 在状态j 的平均逗留时间．定理中的概率分布()p j ，j Φ∈称为Markov 过程Y 的极限分布或稳态分布，记为((1),(2),)p p p =L ．由定理1.1.18和定理1.1.19可得1pe =， 0Ae =，0pA =， （1.1.34）这里，(1,1,)e τ=L ．注意到0pA =，p 也称为Markov 过程Y 的平稳分布或不变分布．这是因为，如果0Y 具有分布p ，则对任意的j Φ∈及0t ≥，{}()t P Y j p j ==．可以证明，在定理1.1.19的条件下，Markov 过程Y 具有惟一的平稳分布．置:f Φ→R ，称f 为一个性能函数，并记((1),(2),)f f f τ=L ，即f 既表示一个函数，也表示一个向量．定理1.1.20 如果Markov 过程Y 是不可约正常返的，((1),(2),)p p p =L 为其稳态分布，则01lim[()d ]()()T t T i E f Y t p i f i pf T Φ→∞∈==∑⎰． （1.1.35）设Markov 过程{;0}t Y Y t =≥是不可约的，记0inf{0,}ij t T t Y j Y i =≥==为过程从状态i 出发首次到达状态j 的时间，[]ij ij M E T =为过程从状态i 出发首次到达状态j 的平均时间，[]ij M M =称为平均首达时矩阵．定义1.1.19 设Markov 过程{;0}t Y Y t =≥是不可约的，0p >是Y 的稳态分布，如果pM 有限，则称Markov 过程Y 是强遍历的．定理1.1.21 设Markov 过程Y 是不可约正常返的和强遍历的，p 是Y 的稳态分布，如果Y 的状态转移率()i λ有界，即存在λ<∞，使()i λλ≤，i Φ∈，则对任意的0α≥，矩阵()I A ep αλ-+非奇异，且111()()()n n n I A ep A I ep αλλλλα∞-+=-+=+-+∑．下面简单介绍一下两类特殊的Markov 过程，即准生灭过程与生灭过程的有关结果．定义1.1.20 状态空间{(,);0,1}E i j i j m =≥≤≤上的一个Markov 过程Y ，如果它的无穷小矩阵可表示为001102102100B A B A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L M M O ， （1.1.36）这里，0B ，1B ，0A ，1A ，2A 均为m m ⨯阶矩阵，则称Y 为一个准生灭过程，简称QBD过程．定理1.1.22 如果QBD 过程Y 不可约，则Y 正常返的充分必要条件是2阶矩阵方程22100R A RA A ++= （1.1.37）的最小非负解R 的所有特征值都在单位圆的内部，且方程001()0x B RB +=，10()1x I R --= （1.1.38）具有惟一的一个正解0x ．如果QBD 过程Y 是不可约正常返的，则其平稳分布01(,,)x x x =L 由下式给出：0i i x x R =，0i ≥． （1.1.39）定义1.1.21 状态空间{0,1,}E =L 上的一个Markov 过程Y ，如果它的无穷小矩阵为11112222333()()()A λλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫ ⎪-+ ⎪⎪=-+ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O ， （1.1.40）则称Y 为一个生灭过程．特别地，如果0i μ=，1i ≥，则称Y 为一个纯生过程；如果0i λ=，0i ≥，则称Y 为一个纯灭过程．显然，当0i λ>，0i μ>时，生灭过程Y 是一个不可约的Markov 过程．若令01112i i ip λλλμμμ-=L L ，1i ≥，则生灭过程Y 存在平稳分布的充分必要条件是1δ∞==<∞∑i i p ．而其平稳分布为1(0)(1)p δ-=+，1()(1)i p i p δ-=+，1i ≥．特别地，当i λλ≡，i μμ≡时，若记ρλμ=，则生灭过程Y 存在平稳分布的充分必要条件是1ρ<，且平稳分布为()(1)i p i ρρ=-，0i ≥．此平稳分布也是Y 的稳态分布．1.1.5 再生过程考虑一个随机现象， 010T T =<<L 是该现象相继发生的时刻，则1n n n S T T +=-，0,1,n =L 为该现象相邻两次发生的时间间隔．定义1.1.22 如果01,,S S L 是独立同分布的非负随机变量，则称随机序列{;0}n T n ≥为一个更新过程，n T 称为更新时刻．若()F t 为n S 的分布函数，记t N 为一个更新过程在时间间隔[0,]t 内的更新次数，()[]t R t E N =为在[0,]t 内的期望更新次数，一般称()R t 为相应于分布函数()F t 的更新函数，则1()()n n R t F t ∞==∑． （1.1.41）这里，()nF t 表示()F t 的n 重卷积，即1()()F t F t =，10()()d ()tn n F t F t x F x -=-⎰，2n ≥．如果(0)1F <，则()R t <∞，0t ≥，且分布函数()F t 与更新函数()R t 相互惟一确定．定义1.1.23 如果n S <∞对每一个n 具有概率1成立，则称更新过程{;0}n T n ≥是常返的；否则，称其为瞬时的．如果随机变量01,,S S L 仅取离散值0,,2,δδL ，且δ是最大的这样的数，则称更新过程{;0}n T n ≥为周期的，且具有周期δ；否则，如果没有这样的0δ>，则称其为非周期的．易见，更新过程{;0}n T n ≥常返或瞬时，由()1F +∞=或1<决定．以下总设(0)1F <，()1F +∞=．令[](d )[1()]d >0μ∞∞===-⎰⎰n E S tF t F t t ，我们有下列基本更新定理：定理1.1.23 对更新过程{;0}n T n ≥，有()1limt R t t μ→+∞=． （1.1.42）定义 1.1.24 设00T =，1T ，L 为状态空间Φ上的随机过程{;0}t Y Y t =≥的一个停时序列，如果{;0}n T n ≥为一个更新过程，且对任意的正整数n ，m ，1,,n t t +∈L R 及定义在n Φ上的任意有界函数f ，有11[(,,),][(,,)]++≤=L L m m n n T t T t s m t t E f Y Y Y s T E f Y Y ， （1.1.43）则称Y 为一个再生过程．（1.1. 43）式称为再生性，0T ，1T ，L 称为再生时刻．由定义可知，一个再生过程始于任何再生时刻的行为与始于00T =的行为在统计上是完全相同的．下面我们简单介绍一下更新理论的有关结果．设()f t 和()g t 均为定义在+R 上的函数，()F t 为非负分布函数，且有()()()(d )tf tg t f t x F t =+-⎰， （1.1.44）如果()g t 和()F t 已知，()f t 未知，则()f t 可看作是上述积分方程的解，我们称这个积分方程为更新方程．研究更新方程解的理论就称为更新理论，它是研究再生过程的重要工具．定理1.1.24 更新方程（1.1.44）有惟一解()()()(d )tf tg t g t x R t =+-⎰， （1.1.45）其中，()R t 为相应于分布函数()F t 的更新函数．定义1.1.25 如果非负随机变量X 仅取离散值0,,2,δδL ，且δ是最大的这样的数，则称X 为格的，且具有周期δ；否则，如果没有这样的0δ>，则称X 为非格的．当X 为格（非格）随机变量时，其分布函数也称为格（非格）的．定理1.1.25 如果分布函数()F t 非格，则对任意的0τ>，有lim[()()]t R t R t ττμ→+∞+-=； （1.1.46）如果()F t 是格的，且具有周期δ，则（1.1.46）式仅对n τδ=，1,2,n =L 成立．上述定理称为Blackwell 定理．为了给出关键更新定理，我们先来介绍直接Riemman 可积的概念．定义 1.1.26 设()f t 为定义在+R 上的函数，且在任意有限区间上有界，0τ>，记()n M τ和()n m τ分别为()f t 在区间[(1),)n n ττ-上的上确界与下确界．如对任意的0τ>，级数1()nn Mτ∞=∑与1()n n m τ∞=∑均收敛，且1lim [()()]0n n n M m ττττ∞→+=-=∑， （1.1.47）则称()f t 在+R 上是直接Riemman 可积的．易证，如果()f t 非增，且()f t 在+R 上绝对可积，则()f t 直接Riemman 可积．当()f t直接Riemman 可积时，有11lim ()lim ()()d ττττττ∞∞∞→+→+====∑∑⎰n n n n M m f t t ，其中最后一个积分就是()f t 在+R 上的Riemman 积分．故直接Riemman 可积的函数一定是Riemman 可积的．定理1.1.26 如果分布函数()F t 非格，()f t 直接Riemman 可积，则1lim ()(d )()d tt f t x R x f t t μ∞→+∞-=⎰⎰； （1.1.48）如果()F t 是格的且具有周期δ，()f t 直接Riemman 可积，且对t +∈R ，级数0()n f t n δ∞=+∑收敛，则对任意的0τ≥，有lim ()(d )()n n n f n x R x f n τδδτδτδμ∞+→∞=+-=+∑⎰． （1.1.49）这个定理称为关键更新定理．下面这个定理是再生过程的主要极限定理，我们仅给出非周期的情况．定理1.1.27 设{;0}t Y Y t =≥为一个具有再生时刻{;0}n T T n =≥的再生过程，且对任意的i Φ∈，1(,){,}t f t i P T t Y i =>=在+R 上Riemman 可积，如果T 是非周期的，则1lim {}(,)d t t P Y i f t i t μ∞→+∞==⎰． （1.1.50）定义1.1.27 设{;0}n T T n =≥为一个随机变量序列，如果0{;0}n T T T n =-≥为一个更新过程，且00T ≥与T 独立，则称{;0}n T T n =≥为一个延时更新过程．1.1.6 Markov 更新过程在这一小节里，我们将介绍一下Markov 更新过程、半Markov 过程以及半再生过程的有关概念和结论．1.1.6.1 Markov 更新过程以下除非特别声明，状态空间{1,2,}Φ=L 为一个可数集．定义 1.1.28 设{;0}n X X n =≥与{;0}n T T n =≥分别为取值于Φ及+R 上的随机变量序列， 且0120T T T =<<<L ，若对任意的0≥n ，任意的Φ∈-j i i i n ,,,,10Λ和任意的实数0≥t ，均有110{,,0,1,,1,;,,}n n n k k n n P X j T T t X i k n X i T T ++=-≤==-=L L11{,}n n n n P X j T T t X i ++==-≤=)(t Q ij =， （1.1.51）则称随机过程(,){,;0}n n X T X T n =≥为Markov 更新过程；转移概率族{(),,}ij Q t i j ∈Φ称为空间Φ上的半Markov 核．若记()[()]ij Q t Q t =， lim ()t P Q t →+∞=，则0P ≥，Pe e =， （1.1.52） 即P 为一个随机矩阵．因此，{;0}n X X n =≥为一个具有状态空间Φ和转移矩阵P 的Markov 链，称为Markov 更新过程(,)X T 的嵌入Markov 链．以下设(,){,;0}n n X T X T n =≥为一个Markov 更新过程，其半Markov 核为()Q t ．对0n ≥，我们定义()0(){,}n ij n n Q t P X j T t X i ==≤=，,i j Φ∈，t +∈R ， （1.1.53）并记()()()[()]n n ij Q t Q t =，则(0)()Q t I =为单位矩阵．对一个固定的状态j Φ∈，事件{}n X j =发生的时刻n T 构成一个可能延时的更新过程{;0}j j n T T n =≥，该更新过程在时间段[0,]t 内的更新次数为[0,]01()()∞=∑j nt n n XI T ，这里，1()j ⋅与[0,]()t I ⋅均为市性函数．可以证明，对任意的,i j Φ∈，t +∈R ，函数[0,]00()[1()()]ij j n t n n R t E X I T X i ∞===∑00{,}n n n P X j T t X i ∞===≤=∑()()n ij n Q t ∞==∑ （1.1.54） 有限．我们称()ij R t 为Markov 更新函数，()[()]ij R t R t =为Markov 更新核．对0α≥，我们定义e (d )t Q Q t αα∞-=⎰， ()()0e (d )n t n Q Q t αα∞-=⎰， （1.1.55）且对0α>，定义e (d )t R R t αα∞-=⎰． （1.1.56）可以证明，对任意的0n ≥及0α≥，()n nQ Q αα=．故当0α>时nn R Q αα∞==∑． （1.1.57）因此有()R I Q I αα-=， ()I Q R I αα-=． （1.1.58）定理1.1.28 当0α>时，如果Φ有限，则1()R I Q αα-=-； （1.1.59）如果Φ无限，则R α是方程()I Q R I α-=，0R ≥ （1.1.60）的最小解．定义1.1.29 状态j Φ∈称为瞬时的，或常返的，或非周期的，或具有周期δ的周期的，如果相应的更新过程0{;0}j j jn T T T n =-≥是瞬时的，或常返的，或非周期的，或具有周期δ的周期的．可以证明，状态j Φ∈常返（瞬时）当且仅当j 是嵌入Markov 链X 的常返态（瞬态）．但这样定义的周期性却可能和在嵌入Markov 链X 中的周期性不同．不过，我们有下列结论：定理1.1.29 如果嵌入Markov 链X 是不可约的，则Markov 更新过程(,)X T 所有状态的周期性相同．为了讨论Markov 更新方程，我们先来引进一个函数类．设:f Φ+⨯→R R ，B 是满足下列条件的所有函数f 的集合：(1) 对每一个i Φ∈，函数(,)f i t 在+R 的任何有限区间上有界；(2) 对每一个t +∈R ，函数(,)f i t 在Φ上有界．显然，对每一个固定的j Φ∈，函数()ij Q t 和()ij R t 均属于B ．设f ∈B ，如果对所有的i Φ∈，t +∈R ，及某一个g ∈B ，均有(,)(,)(,)(d )tij j f i t g i t f j t s Q s Φ∈=+-∑⎰， （1.1.61）则称f 满足Markov 更新方程．下面我们将限定函数,{:0}f g f f +∈=∈≥B B ．定理1.1.30 Markov 更新方程（1.1.61）有解0(,)(,)(d )t ij j f i t g j t s R s Φ∈=-∑⎰，且每一个解可表为(,)(,)(,)(d )tij j f i t h i t g j t s R s Φ∈=+-∑⎰， （1.1.62）其中，h +∈B ，且满足(,)(,)(d )tij j h i t h j t s Q s Φ∈=-∑⎰．而其具有惟一解的充分必要条件是sup n T =+∞（w.p. 1）．我们称sup n T 为Markov 更新过程的寿命．下列定理是判别sup n T =+∞（w.p. 1）的几个准则：定理1.1.31 如果下列条件之一成立，则sup n T =+∞（w.p. 1）： (1) 所有状态都是常返的；(2) 仅有有限个瞬态，特别Φ有限；(3) 如果存在一个0τ>，及一个1c <，使对所有的i Φ∈，均有()ijj Q c Φτ∈≤∑．1.1.6.2 半Markov 过程定义 1.1.30 若状态空间Φ上的随机过程}0;{≥=t Y Y t 满足下列条件, 则称Y 为一个半Markov 过程：(1) 对任意的Φ∈j i ,，若已知过程处于状态i ，则它下一次转移到j 的概率是ij p ；(2) 若已知过程处于状态i 和下一次将转移到状态j ，则它在状态i 的逗留时间的分布为ij F ，即11(){,}ij n n n n F t P T T t X i X j ++=-≤==．设}0;{≥=t Y Y t 为状态空间Φ上的一个半Markov 过程，0120T T T =<<L 是Y 相继的状态转移时刻，0X ，1X ，2X ，L 是Y 相继到达的状态，则(,){,;0}n n X T X T n =≥是一个Markov 更新过程，且半Markov 核为)()(t F p t Q ij ij ij =，Φ∈j i ,．而{;0}n X X n =≥也称为半Markov 过程Y 的嵌入Markov 链，它的转移矩阵为[]ij P p =．设(,){,;0}n n X T X T n =≥为一个Markov 更新过程，其半Makrov 核为()[()]ij Q t Q t =，若设sup n T =+∞（w.p. 1），则由n t X Y =，1n n T t T +≤< （1.1.63）定义的随机过程}0;{≥=t Y Y t 为一个半Markov 过程，()[()]ij Q t Q t =也称为半Makrov 过程Y 的半Makrov 核．因此，我们可以认为，Makrov 更新过程和半Markov 过程不过是同一个过程的两种不同描述方式．现在设}0;{≥=t Y Y t 为一个半Makrov 过程，其半Makrov 核为()[()]ij Q t Q t =，(,){,;0}n n X T X T n =≥是相应的Markov 更新过程，P 是嵌入Markov 链的转移矩阵，()[()]ij R t R t =是相应于()Q t 的Markov 更新核．对任意的Φ∈j i ,及t +∈R ，令0(){}ij t P t P Y j Y i ===， （1.1.64） 则对任意的Φ∈j i ,及t +∈R ，我们有()(,)(d )tij ij P t h j t s R s =-⎰， （1.1.65）其中(,)1()jk k h j t Q t Φ∈=-∑，j Φ∈，t +∈R ． （1.1.66）设:f Φ→R ，对0α≥，我们定义00()[e ()d ]t t i E f Y t Y i ααη∞-==⎰， （1.1.67）并称其为f 在状态i 的α-势．特别地，如果0α=，我们省略下标，称为f 在状态i 的势．对0α>，令e ()d t U P t t αα∞-=⎰， （1.1.68）这里，()[()]ij P t P t =．则可得U R H ααα=， （1.1.69）其中，diag((1),(2),)H h h ααα=L ，而()e (,)d t h j h j t t αα∞-=⎰，j Φ∈． （1.1.70）若记((1),(2),)h h h ααατ=L ，则易知()h I Q e ααα=-． （1.1.71）记0()(,)d m j h j t t ∞=⎰为过程在状态j 的平均逗留时间，我们有下列极限定理：定理 1.1.32 如果(,)X T 是不可约、非周期和常返的，π是X 的一个不变测度，()m j <∞，则对任意的i Φ∈，有0()()lim {}t t j m j P Y j Y i mππ→∞===． （1.1.72）我们称0()lim {}t t p j P Y j Y i →∞===，j Φ∈为半Markov 过程Y 的稳态分布或极限分布，并记((1),(2),)p p p =L ．特别地，如果X 还是正常返的，则()0j π>，j Φ∈，故当m π<∞时，()0p j >，j Φ∈．。
高一第一章预备知识点
高一第一章预备知识点高一的第一章是预备知识点，为同学们打下学习的基础。
本章主要包括数学、化学、物理、生物、地理、历史、政治等学科的一些基础知识点。
下面将分别介绍各学科的预备知识点。
1. 数学在高一的数学课程中，预备知识点主要集中在数与代数方面。
包括常见的数集与数的运算、分式与有理数、整式与分式、二次根式等等。
同学们需要熟练掌握基本的数学运算法则和公式，并能熟练运用到实际问题中。
2. 化学在化学方面，高一的预备知识点主要包括化学元素、化合物和化学方程式等内容。
同学们需要学习元素周期表，了解各种元素的基本性质和特点，同时还需要掌握化学方程式的书写和化学反应的基本原理。
3. 物理高一的物理预备知识点主要涉及力学和电学方面的内容。
同学们需要掌握牛顿运动定律、力的合成与分解、机械功和机械能、电路的基本组成和性质等。
这些内容是后续学习物理课程的基础，同学们需要牢记。
4. 生物生物方面的预备知识点主要包括基本的细胞结构和生物进化的基础概念。
同学们需要了解细胞的构成、功能和分类，以及生物进化的基本原理和演化过程。
这些知识将有助于后续学习更深入的生物学知识。
5. 地理在地理方面，高一的预备知识点主要涵盖地球与地图的基本概念、自然地理和人文地理的基本内容。
同学们需要了解地球的形状和结构，学习地图的读法和使用方法，还需要了解地球上各种自然地理和人文地理现象的形成原因和影响。
6. 历史历史方面的预备知识点主要包括中国历史的基本轴线和历史时期的划分。
同学们需要了解中国历史的主要事件和人物，学习不同历史时期的社会背景和演变过程。
这些知识将为后续学习具体历史时期提供基础。
7. 政治政治方面的预备知识点主要涉及国家制度与国家管理的基本概念。
同学们需要掌握国家的定义，了解国家组织和管理的基本原则，同时还需要学习国家的基本制度和行政管理的基本方式。
以上就是高一第一章的预备知识点的简要介绍。
同学们在学习这些知识点的过程中，要注重理解和实际应用。
新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第1节集合课件
根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中 的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若 是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取 到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
1．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝1}，则 A∩B
(5,6] 解析：因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P＝{3,4,5}，故 k 的取值范围为(5,6]．
与集合中的元素有关问题的求解思路 (1)确定集合中元素的特征，即集合是数集还是点集或其他集合． (2)看清元素的限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检 验参数是否满足集合元素的互异性．
1．A∪B＝A⇔B⊆A． 2．A∩B＝A⇔A⊆B． 3．∁U(∁UA)＝A．
4．常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有(2n －1)个，非空真子集有(2n－2)个． (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C． (3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(4)集合与集合间的基本关系 ①子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素．用符号表 示为 A⊆B (或 B⊇A )． Venn图如图所示：
②真子集：集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x A．用符号表示 为：A B(或 B A)．
Venn 图如图所示：
③集合相等：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集 合B的任何一个元素都是集合A的元素．用符号表示为 A＝B ．
1．设全集 U＝R，则集合 M＝{0,1,2}和 N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0} 的关系可表示为( )
《高数》课件讲解第一章第一节《预备知识》
左邻域
M OM () M
右邻域
O 例 解不等式 x 2 x 1，并用区间表示该不等 式的解集.
解 方法一 不等式两边同时平方
x 22 x 12 .
方法二 几何意义 待解不等式要求的点 x 的集合为：
到 2 的距离小于它到1 的距离. 当x 1 时 , x 到 2 的距离小于 x 到1 的距离.
三、区间与邻域
1. 常用数集的表示法: 自然数集 (非负整数集) N {0, 1, 2, , n, }; 整数集 Z { , n, , 2, 1, 0, 1, 2,, n, };
有理数集
Q
p
q
pZ, qN,q
0,
且
p 与q 互质;
实数集 R; 复数集 C; 正整数集 N ;
排除了零的实数集 R*;
端点为无限的区间表示及其含义： [a, ) {x a x } {x x a} ;
Oa
x
无
(,a) {x x a} {x x a} ;
限 区
Oa x
间
(, ) R {x x } .
4. 邻域:
(1) x0 的 邻域:
O (x0 ) (x0 , x0 ) x x x0 , 0
1 O 1 2 P x
二、实数的绝对值及其基本性质
定义1.1 设 x 是一个实数，则 x 的绝对值定义为
x
x, 当x x，当x
0时 0时
注1：绝对值 x 的几何意义是：
x 表示点x 到O的距离, 而 x y 则表示点x 与点 y
之间的距离 . 注2：设a 0 , 不等式 x a 表示点 x 到原点的距离小
由性质 3 可得 x x x， y y y
因此
第1章_预备知识
第1章预备知识模糊数学理论的基本思想就是用模糊集合取代经典数学理论中的集合，从而通过量化的方法来研究模糊现象。
作为模糊数学理论基础的模糊集合和模糊关系，它们的定义、表示、运算、性质等都是在经典集合和经典关系的框架下发展而来的，是经典集合和经典关系的推广；而为了在结构意义下讨论模糊集合与模糊关系，格与代数系统又有重要意义。
因此，本章将对经典集合、二元关系以及格与布尔代数的基本内容予以简单介绍。
1.1 集合当人们描述一个思维对象所对应的概念时，通常从它的内涵和外延两个方面入手。
内涵是指一个概念所概括的思维对象本质属性的总和，外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。
集合则是概念外延的体现，它是近代数学最基本的内容之一，并已渗透到自然科学的许多领域。
1.1.1 集合的概念当我们讨论某一个具体问题时，总是把所考虑的对象限制在一定的范围之内，这个范围称为论域，也称为全集。
论域中的每个对象称为元素，简称为元；论域中具有某些特定属性的元素的全体称为论域的经典子集或普通子集，也称为论域上的经典集合或普通集合，简称集合或集。
通常以大写字母U, V, W, … 等表示论域，以大写字母A, B, X, Y, … 等表示集合，以小写字母a, b, x, y, … 等表示元素。
在论域U中任意指定一个元素x及一个集合A，当x属于集合A时，记作x∈A；当x不属于集合A时，记作x∉A。
经典集合论要求，元素x与集合A之间的关系只有两种：x∈A或x∉A，二者必居其一且仅居其一，非此即彼。
没有元素的集合称为空集，记为∅；含有有限个元素的集合称为有限集；含有无穷多个元素的集合称为无限集；集合中所含元素的数目称为该集合的基数，记作| ⋅ |。
设A和B是同一论域上的两个集合。
若A中的元素全部属于B，则称A是B的子集或A包含于B，记作A⊆B；若A⊆B且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集或A真包含于B，记作A⊂B；若A⊆B且B⊆A，则称A等于B，记作A = B。
新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第2节充分条件与必要条件课件
03
一题N解·深化综合提“素养”
已知 p：x>1 或 x<－3，q：5x－6>x2，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[四字程序]
读
想
算
思
1．充分条件、必要
判断充分条 条件的概念． 件、必要条件 2．判断充分条件、
解不等式
转化与化归
(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．
(√)
(2)当q是p的必要条件时，p是＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条
件．
(√)
(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的真子
集．
(√)
2．(2021·惠州市二调)“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B 解析：设等比数列{an}的公比为 q， 充分性：当 a1>0，q<0 时，Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，无法判断其正 负，显然数列{Sn}不一定是递增数列，充分性不成立； 必要性：当数列{Sn}为递增数列时，Sn－Sn－1＝an>0，可得 a1>0， 必要性成立．
A 解析：由题意，若 a>6，则 a2>36，故充分性成立；若 a2>36， 则 a>6 或 a<－6，推不出 a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是 “a2>36”的充分不必要条件．
2．已知 a，b，c∈R，则“abbc>>00， ”是“b－a c<b＋a c”的(
)
A．充分不必要条件
第一章 预备知识
, xk n ,
, , ¥
)
定理1.2.3 若 F ( x1 , , xd ) 是随机向量 X 的联合分布函数， 则： （1） F ( x1 , , xd ) 对每个变量都是单调不减的； （2） F ( x1 , , xd ) 对每个变量都是右连续的； （3）对 i = 1, 2, , d , lim F ( x1 , , xi , , xd ) = 0,
xi ? x1 , xd
lim
F ( x1 , , xd ) = 1
复值随机变量 Z : X + iY , X 和 Y 为两实值随机变量。 由随机变量 X 生成的最小 s 代 数 s 包含所 有形如 { X Ｎx}， x 。
( X)： (X
1
类似的，可定义由随机变量 X 1 , , X n生成的 s 代数 s
g ( x ) dF ( x )
(3) òa dF ( x) = F ( b) - F ( a ) , 其中 a , b均可为有限数或无穷大； (4) 蝌g ( x) d 轾 F1 ( x ) + b F2 ( x ) = a a 臌 a (5) 若 g ( x) ? 0, F ( x) 单调 不减 , b
定理 1.2.2 （1）若 X , Y 是随机变量,则 { X < Y } , { X ? Y } , { X Y }及
{X ¹
Y } 都属于 F ；
（2）若 X , Y 是随机变量,则 X ± Y 与 XY 亦然； （3）若 { X n } 是随机变量序列，则 sup X n , inf X n , lim sup X n
}
0。
定义1.2.2 若 P {w 蜽 : X ( w ) ? Y ( w )} 0，则随机变量 X 与 Y 是 等价的 。 注： 两个等价的随机变量可视为同一。 定理1.2 .1 下列命 题等价： （1） X 是随机变量； (2) {w : X ( w) 澄x} F , " x (3) {w : X ( w) > x} ? F , (4) {w : X ( w) < x} ? F , x x ; ; ;
随机过程第一章 预备知识及补充
n
PAn,i.o. P(A) 0
命题 1.3（波莱尔－坎泰利（Borel-Cantelli）第二引理）：如果An , n 1 为独立的事件
序列，使得 P( An ) ，则 n1
PAn,i.o. 1
第一引理证明：
根据定义 1.4 对事件序列An , n 1 上极限的定义可知，因为样本点 在无穷多个事件
n1
n1
假定一些事件组成了一个可数的集合，那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件
发生的概率的和。）；
当 An , n 1, 2,两两互不相容时，则 P( An ) P( An ) ；
n1
n1
概率函数 P 的一个重要性质是连续性，为了更精确地阐明这一性质，需要引进极限事
件的概念。定义如下：
An , n 1发生，则在 An ,k 1也同样发生，从而在
An 亦发生；另一方面，如果
nk
k 1 nk
样本点 在
An ，则对于 k 1， 在 An 发生，从而对于 k 1至少有一个 n k ，
k 1 nk
nk
即 n k ，使得 在 An 发生，因此有 在无穷多个 An 发生。
若 An An1, n 1，称事件序列An , n 1 为递增的；
当 An An1, n 1，则事件序列An , n 1 为递减的。
如果
An
,
n
1
是一递增的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
lim
n
An
：
lim
n
An
Ai ；
i 1
如果
An
,
n
1
是一递减的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
第1章预备知识
P
1.2.2
几乎必然收敛
几乎必然收敛又称为以概率 1 收敛. 定义 1.2.2 (几乎必然收敛) 随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, · · · }, 当 P (limn→∞ Xn = a.s. X ) = 1 时， 说它几乎必然 (以概率为 1) 收敛于一个随机变量 X， 记为： Xn → X . a.s. 注：等价地， 若对 ∀ > 0， 有 P (limn→∞ |Xn − X | < ) = 1， 则 Xn → X . 下面介绍另一个 a.s. 收敛的定义. a.s. 定理 1.2.4 Xn → X 当且仅当对 ∀ > 0， limm→∞ P (supn m |Xn − X | ) = 1. 注： 若 ∀ > 0， limn→∞ P (|Xn − X | ) = 1， 则 Xn → X . 由上面定理知几乎必然收 敛强于依概率收敛. 定理 1.2.5 (强大数定律) 假设 X1 , X2 , · · · , Xn 是独立同分布的随机变量序列，且有 E |X1 | < ∞, 则当 n → ∞ 时， 有 ¯n = 1 X n
σ2 P ¯n → = 0, 即 X µ. nε2 定理 1.2.1 (弱大数定律) 假设 X1 , X2 , · · · , Xn 是独立同分布随机变量，且 E |X1 | < ∞， 则当 n → ∞ 时有 n P ¯n = 1 X Xi → E (X1 ). n
i=1
第1 章
预备知识
3
注：(1) 更一般的情况下，{Xn , n = 1, 2, · · · } 是独立随机变量序列，并且 E (Xi ) = µi ， 有 n n 1 1 P Xi − µi → 0. n n
i=1 i=1
高等数学第一章预备知识
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量， 变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论 和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个 部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解 设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元
2021高中数学第一章预备知识4套 教案北师大版必修第一册
（3）设由 1～20以内的所有质数组成的集合为 C，那么 C = {2，3，5，7，11，13，17，19}. （2）描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法称为描述法。 具体方法是：{x及 x 的范围|x满足的条件}
例 2:用描述法表示下列集合 （1）小于 10的所有有理数组成集合 A （2）所有奇数组成集合 B （3）平面 a 内，到定点 O 的距离等于定长 r 的所有点组成集合 C
（1）我班全体学生；
（2）我国的直辖市；
（3）我们班高个子男生； （4）大于 200的数。
[学生活动]:学生回答：
（1）可以，全体学生
（2）可以构成集合，元素是直辖市；
（3）有的说可以，有的说不可以； （4）可以，大于 200的数。
[教师总结]：
（1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不 是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
如果集合 含有 个元素，那么它的子集个数为 个。 思考讨论：
(1) 你 能 说 出 集 合 的关系吗？
与集合
(2)集 合 都有
，非空集合
满足：
，并且任意
，这样的集合
有多少个，请写出来？
提示：(1)
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)满 足 条 件 的 非 空 集 合
、
、
有 7 个，依次为
、
、
、
、
。
三、课题练习 教材 P7，练习 1、2、3、4。
Z 所有整数组成的集合叫做整数集，记作 ．
Q 所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作 ．
R 所有实数组成的集合叫做实数集，记作 ．
不含任何元素的集合叫做空集，记作 （五）集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法 （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，一般可将集合表 示为{a, b ,c,……} 例如：20以内的所有素数组成的集合 C 用列举法可表示为 C={2,3,5,7,11,13,17,19} 注：用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同，例如：{1,2,3},{2,1,3}{3,2,1}这些 都是同一集合 例 1 ：用列举法表示下列集合 （1）由大于 3 且小于 10的所有整数组成的集合 （2）方程 x2-9=0的所有实数解组成的集合 答案：（1）A={4,5,6,7,8,9}
_新教材高中数学第一章预备知识1
1．用描述法表示函数 y＝3x＋1 图象上的所有点的是
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，故选 C. 答案：C 2．用描述法表示不等式 4x－5＜7 的解集为________．
用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等； (3)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确； (4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x 为自然数}或
第一
章
预备知识
§1 集合 1．1 集合的概念与表示
第 2 课时 集合的表示
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又 有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”， 用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
[问题] 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 列举法 把集合中的元素__一__一__列__举__出来写在花括号“_{_}_”内表示集合的方法，
用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
1．区间(－3，2]用集合可表示为 A．{－2，－1，0，1，2}
[跟踪训练] B．{x|－3＜x＜2}
即kΔ≠＝0，（－8）2－4×k×16<0，解得 k>1.
综上，实数 k 的取值集合为{k|k＝0 或 k≥1}．
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空气密度 ρ0=0.002377磅· 2/英尺4 秒 音速 a0=661.5海里/小时
第一章 第 8 页
2、温度、密度、压强、音速随高度的变化 ● 音速
a dp d RT 38.97 T (海里 / 小时）
1.3.1 飞行速度对发动机性能的影响
图 1-8
燃油流量与耗油 率随速度的变化
随速度增大，燃油流 量和耗油率增大。
第一章 第 38 页
1.3.2 飞行高度对发动机性能 的影响 高度增加，发动机推力和燃 油流量减小；耗油率基本不 变。
图 1-9
某发动机高度特性
第一章 第 39 页
1.3.3 气温对发动机性能的影响 在气温较低时，发动机的推力随温度增加可 保持基本不变，当气温增加到一定值时，发动 机推力随温度的增加而减小。
飞行性能与计划
飞行性能与计划
Contents
绪论 飞行性能与计划课程介绍
本课程是飞行原理的后续课程。
概念
完全理解大型运输机的飞行性能相关概念
图表
掌握相关性能图表的使用方法
考试题型
填空 单选 计算 简述 图表
第一章 第 2 页
飞行剖面
第一章 第 3 页
本书章节
第1章 预备知识 第2章 起飞性能
第一章 第 15 页
●非标准大气的密度计算：
例：实际温度为30 ℃，气压高度3000ft,确定空气密度。
解：首先可求出温度比，θ＝（273＋30）/288=1.0521 再根据气压高度查表得 δ＝0.8962 由 σ = δ/θ即可求出σ＝0.8518 。 则实际的空气密度ρ＝ ρ0× σ＝0.0020247
θ=T/0 页
表 1.1
国际标准大气表
第一章 第 11 页
1.1.1 非标准大气
● 压力高度：高度表调至参考面气压值后指示出的高度 1）当高度表设定值为标准海压(QNE)时，指示高度为标 准海压高度。 2）当高度表设定值为修正海压(QNH)时，指示高度为修 正海压高度。 3）当高度表设定值为机场压力(QFE)时，指示高度为场压 高度。 ● 密度高度：对非标准大气温度经过修正后的压力高 度。能直接用来确定飞机的飞行性能。
第3章 飞机上升,巡航和下降性能
第4章 着陆性能 第5章 重量与平衡 第6章 飞行计划的制定
第一章 第 4 页
第一章 预备知识
1．1 大气和国标大气（ISA）
1．2 高速飞机的升阻力特性
1．3 涡轮风扇发动机性能
第一章 第 5 页
1.1 大气和国际标准大气
飞行性能与计划
1.1 大气和国际标准大气
★ ISA偏差 ★ 飞行M数对升阻力系数及最大升力系数的影响
★ 飞机重心位置对升力、阻力的影响
★ 飞机重量对最大升力系数的影响 ★ FAR失速与1g失速的关系
第一章 第 42 页
第一章 第 24 页
6、高速飞行对临界迎角的影响
高亚音速飞行,飞机的临界迎角会减小。
第一章 第 25 页
1.2.2 飞机重心对升、阻力系数的影响
重心靠前，会使同迎角下飞机的升力系数和最大升 力系数减小，阻力系数增加。
平尾负升力增加, 飞机总升力减少, 总升力系数减少。
第一章 第 26 页
1.2.3 飞机重量对升、阻力系数的影响 飞机重量增大，会使同迎角下飞机的升力系数和最 大升力系数减小。
第一章 第 12 页
Example 1 由标高求标准海平面高度
机场标高600 ft, QNH是997 hPa, 找出标准海平面高度。
注：高度升高30ft, 压强降低1hPa.
第一章 第 13 页
Example 2 由标高求标准海平面高度
机场标高600 ft, QNH是1027 hPa, 找出标准海平面高度。
第一章 第 21 页
4、M数对飞机的最大升阻比KMAX的影响
第一章 第 22 页
5、衡量飞机气动性能好坏的标准 低速飞行时，常常用飞机的最大升阻比，高速飞行时， 常常用气动效率MK来衡量飞机的气动性能的好坏。
图 1-5
某飞机的极曲线
第一章 第 23 页
5、衡量飞机气动性能好坏的标准
随着飞行M数的增加,气动效率MK会先增大后减小。
音速是指弱扰动波的传播速度，反映了传播介质
可压缩性的大小，音速越大，物质越难压缩。
第一章 第 9 页
● 温度变化
·H≤36089英尺 t=t0-0.002H℃ H↑,P↓,ρ↓ 即高度每升高1000ft，温度降低2 ℃ · 36089≤H≤65574英尺 t=-56.5℃ H↑,P↓,ρ↓
● 温度比θ、压力比δ、密度比σ概念
●所谓国际标准大气（ISA),就是人为的规定一个不变的 大气环境，包括温度、密度、气压等随高度的变化关系， 得出统一的数据，作为计算和试验飞机的统一标准。
国际标准大气由国际民航组织(ICAO)制定，它是以 北半球中纬度地区大气物理特性的平均值为依据建立的。
第一章 第 7 页
1.1.1 标准大气物理性质
第一章 第 14 页
●实际大气与标准大气的相互换算
确定实际大气与标准大气的温度偏差（△t），即 ISA偏差， 将温度表示为 ISA+ △t 例：某机场气温20 ℃，气压高度2000ft,确定机场的 ISA偏差。 ISA温度=15-2×2=11 ℃
ISA温差=20-11=9 ℃
温度表示为：ISA+9 ℃
第一章 第 27 页
1.2.4 扰流板对升、阻力系数的影响 使用扰流板后，会使飞机的升力系数减小，阻力系数增 大。
第一章 第 28 页
1.2.4 扰流板对升、阻力系数的影响
第一章 第 29 页
1.2.5 一台发动机失效对阻力系数的影响 一台发动机失效后，会 使飞机的阻力系数增大。
第一章 第 30 页
1．3 涡轮风扇发动机性能介绍
风扇发动机功率（推力）的主要指示参数为低压转子转速N1或发
动机的压力比EPR，燃油流量FF和排气温度EGT为辅助指示参数。
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涡扇发动机工作状态显示
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1.3.1 飞行速度对发动机性能的影响
图 1-7b
发动机推力特性
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飞行中很多速度均以Vs为基准确定，使用不同的Vs为基准， 则确定这些速度采用的因子也不同。 如：起飞安全速度V2应不小于1.2VSFAR或1.13VS1g。
新型飞机审定中，越来越多的倾向于使用Vs1g
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1.3 涡轮风扇发动机性能介绍
飞行性能与计划
Contents
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1.2 高速飞机的升阻力特性
飞行性能与计划
1.2.1 飞行M数对升、阻力系数的影响
1. M数对飞机的升力系数CL的影响
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2、M数对飞机的最大升力系数CLMAX的影响
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3、M数对飞机的阻力系数CD的影响
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3、M数对飞机的阻力系数CD的影响
图 1-10
某发动机高度特性
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1.3.4 燃气涡轮发动机常用的工作状态:
· 最大起飞/复飞工作状态 · 最大上升工作状态 · 最大连续工作状态 · 最大巡航工作状态 · 减推力/功率工作状态 · 慢车工作状态 · 反推工作状态
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本章小结
★ 标准海平面大气参数及其变化规律
1.2.6 FAR失速和1g失速介绍
由于试飞确定失速速度的方法不同，导致得到的失速速度大 小不同。分别称为FAR失速速度（早）和1g失速速度（晚）。FAR 失速速度较1g失速速度小。 例： B747-400的1g失速速度比FAR失速速度大6%。
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图B6 表明，升力系数增加到增加到最大升力系数(CLmax)，并 在迎角增加超过某个值时，突然减小。这个现象叫作失速，可 以确定两个速度： - VS1g，对应最大升力系数（即：在升力即将减小之前）。在 这个时刻，过载系数仍然等于1。 - VSFAR，对应常规失速（即：当升力开始快速减小时）。在 这个时刻，过载系数总是小于1。