Γ函数与Stirling公式
逆瑞利分布的有效估计
逆瑞利分布的有效估计卢建萍;史洁茹;郝博【摘要】The MLE and UMVUE of the density function and distribution function were derived for the inverse Rayleigh distribution,and the explicit expressions of the r-th moment of these estimators were given. The mean square error and variation coefficient of the estimators were asymptotically expanded. Finally,the judgement for the effective estimation of the inverse Rayleigh distribution was given in the large sample.%推导逆瑞利分布的密度函数和分布函数的MLE和UMVUE,并给出估计量r阶矩的精确表达式.对估计量的均方误差和变异系数做渐进展开,在大样本下给出逆瑞利分布有效估计的判断条件.【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2017(030)005【总页数】6页(P86-90,94)【关键词】逆瑞利分布;密度函数;分布函数;MLE;UMVUE【作者】卢建萍;史洁茹;郝博【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041000;四川大学数学学院,四川成都610065;山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041000【正文语种】中文【中图分类】O212.1Abstract∶The MLE and UMVUE of t he density function and distribution function were derived for the inverse Rayleigh distribution, and the explicit expressions of the r-th moment of these estimators were given. The mean square error and variation coefficient of the estimators were asymptotically expanded. Finally, the judgement for the effective estimation of the inverse Rayleigh distribution was given in the large sample.Key words∶inverse Rayleigh distribution; density function; distribution function; MLE; UMVUE逆瑞利分布[1-2]和指数分布[3]、瑞利分布[4]等类似, 都是寿命测试中的重要分布。
数学物理方法12格林函数
对于拉普拉斯方程
第一边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G(r , r0 ) ]dS0 n 0
第三边值问题的解为 u(r )
1
(r0 )G(r , r0 )dS0
12.2无界空间的格林函数
基本解
无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有
u (r ) f (r ) u [ u ] (rp ) n
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) [ G ] 0 n
泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函
上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 拉普拉斯方程的第一边值问题求解 物理模型：若在
M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M 1 ( x0 , y0 ) 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分 布．也就是本问题的格林函数，即为
G (r , r0 ) 1 1 1 1 ln ln 2π | r r0 | 2π | r r1 | 1 1 1 1 ln ln 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
G(r,0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到
T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r,0) dS
T S
G 2 r sin d d S r
T
北京大学数学物理方法(上)课件_8 Gama函数
略−t tz−1 畤t 甽
0 0
略−t tz−1 畤t 甫
1
略−t tz−1 畤t
其中第二部分积分
∞ −t z −1 略 t 畤t 1
对任意的 z 收敛甬 并且在 z 的全平面解析甮 对于第一部分甬 有
1
略−t tz−1 畤t 甽
0
用−由甩n n甡 n=0
∞
∞
1
tn+z−1 畤t
0
甽
用−由甩n 由 n甡 n 甫 z n=0
用由甶甩
男甮
n→∞
畬畩畭 畛ψ 用z 甫 n甩 − 畬畮 n畝 甽 田.
用由男甩
由性质甲和性质男甬 得
n→∞
畬畩畭
ψ 用z 甩 甫
由 由 由 甫 甫 ··· 甫 − 畬畮 n 甽 田 z z甫由 z甫n−由 由 由 由 甫 甫 ··· 甫 z z甫由 z甫n−由 由 由 甫 ··· 甫 甲 n
即 ψ 用z 甩 甽 畬畩畭 例如甬 令 z 甽 由甬 可得 ψ 用由甩 甽 畬畩畭
甀 函数的无穷乘积表示 由 甮 考虑函数 甀用z 甩 由推论申甬 函数在全平面解析甮 函数的零点就是 甀用z 甩 的极点甬 即 田甬 −由甬 −甲甬 甮甮甮 由
由 <∞ n2 n=1 所以甬 由 的无穷乘积展开 甀用z 甩 由 z −z/n 略 甽 略g(z) z 由甫 甀用z 甩 n n=1 可以求出 g 用z 甩 甽 γz γ 甽 畬畩畭 于是甬 甀 函数的无穷乘积表示则为
用畒略z > 田甩
等 式 中甬 左 端 积 分 表 达 式 仅 在 畒略z > 田 时甬 即 在 z 的 右半 平 面 存 在甬 解 析甮 而 右 端 函 数 级 数 则 在 z 甽 田, −由, −甲, . . . 的全平面收敛甬 解析 用不证甩甮 在公共部分 畒略z > 田 相等甮 所以右端函数级数就是左端积分表达 式在全平面上的解析延拓甮 于是就完成了 甀 函数的解析延拓甬 重新定义的 甀 函数为
第八章 Γ函数
e t
−t z −1
()³õ 'h Re z > 0 !ö÷ø!Fùú½ûih Ed 7 i!ü h y (z = 0, −1, −2, · · ·) copq 7b h Ed (z = 0, −1, −2, · · ·) F(ý i7ú½i!ü kþ ½ l 'ûi 01kþ ½h y !Edÿ F
8.1 ( 7mu ! N ( N > x ) 701 ∞ tx −N −1dt l pq 7x ∞ e−ttz−1 dt h z 0 1 ! t cz{| 9copq 7b }h EdF 1 uh i4 c 1 ! 01 h Ed 7 ' h ie !copqFb3
Γ (z ) = 1 Γ (z + 1) . z
•
Q × Γ (z) Ø qr Re z > 1 Ã ÇÊË7w × Γ ÈÉ Çé 7res Γ (0) = 1 F Ã 7 ë è Γ ÈÉ áâã qr Re z > −2 7
Γ (z ) = z=0 z = −1
e−t tz−1 dt.
et =
strstuvw
N
7
et > tN , N!
tn , n! n=0 e −t < N! . tN Re z < x0
∞
xrs z yt cz{| (}{| ~! tu c 7
7 ( 8.1)
e − t tz − 1 < N ! · tx 0 − N − 1 .
Γ (1) = 1 F îï h Γ !%& 9j z = 1 Àf ()³õ F
∞
Γ (z + 1) =
Stirling 公式
谈Stirling 公式（转）彭宇煦12位粉丝1楼甲、一个机率问题什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。
举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。
所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。
不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。
事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。
常识是我们作观念探险之旅的出发点。
问1：丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的问2：当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。
n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。
在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。
因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。
本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。
分数阶差分方程解的振动性
分数阶差分方程解的振动性王志云;刘淑娟;李巧銮【摘要】Fractional calculus is a theory that studies the properties and application of arbitrary order differentiation and integration.It can describe the physical properties of some systems more accurately, and better adapt to changes in the system, playing an important role in many fields.For example, it can describe the process of tumor growth (growth stimulation and growth inhibition) in biomedical science.The oscillation of solutions of two kinds of fractional difference equations is studied, mainly using the proof by contradiction, that is, assuming the equation has a nonstationary solution.For the first kind of equation, the function symbol is firstly determined, and by constructing the Riccati function, the difference is calculated.Then the condition of the function is used to satisfy the contradiction, that is, the assumption is false, which verifies the oscillation of the solution.For the second kind of equation with initial condition, the equivalent fractional sum form of the fractional difference equation are firstly proved.With considering 0<α≤1 and α>1, respectively, by using the properties of Stirling formula and factorial function, the contradictory is got through enhanced processing, namely the assuming is not established, and the sufficient condition for the bounded solutions of the fractional difference equation is obtained.The above results will optimize the relevant conclusions and enrich the relevant results.The results are applied to the specific equations, and the oscillation of the solutions of equations isproved.%分数阶微积分是研究任意阶微分和积分性质及应用的一种理论,它可以更加精确的描述一些系统的物理特性,更加适应系统的变化,可以应用于描述生物医学中的肿瘤生长(生长刺激与生长抑制)过程.为了研究2类分数阶差分方程解的振动性,主要利用反证法,即假设方程有非振动解,对于第1类方程首先确定函数符号,通过构造Riccati函数,对其求差分,利用函数满足的条件得到矛盾,即假设不成立,验证了解的振动性.对于第2类带有初值条件的方程,首先证明了与该分数阶差分方程等价的和分形式,然后分别考虑0<α≤1和α>1两种情况,运用Stirling公式及阶乘函数的性质,放大处理得到与已知条件相矛盾,假设不成立,获得分数阶差分方程有界解振动的充分条件.以上结果优化了相关结论,丰富了相关成果,并把结果应用到具体方程之中,验证了方程解的振动性质.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2017(038)004【总页数】7页(P360-366)【关键词】定性理论;分数阶;振动性;差分;微积分【作者】王志云;刘淑娟;李巧銮【作者单位】河北师范大学数学与信息科学学院,河北石家庄 050024;河北师范大学数学与信息科学学院,河北石家庄 050024;河北师范大学数学与信息科学学院,河北石家庄 050024【正文语种】中文【中图分类】O175.12分数阶微积分可应用于越来越多的领域中，例如：生物学、物理学、粘弹性、控制理论等方面[1-5]。
3随机过程与偏微分方程
Ch. 3
3.1 一维随机走动模型；Langevin方程1.
2.
应用
得到Boltzmann常数
数，Stirling公式1.
2.
渐近展开
收敛级数与渐近级数
3.
基本思想
路径无关性（解析函数）
与等值线垂直方向
点附近的积分决定
等值线
f(z)为解析函数，
27
z 0
复平面沿虚轴'0
s =2()"z s ξ=−
积分沿轴：
, s s s ′′′′−∞<<∞=()f z
Φ
dz
零阶近似二阶近似
实域
f t′=
有最小值，即0()0,
4.
变量替换
零阶解Stirling
高阶近似
3.3 差分方程及其极限
1. 2.
概率密度函数方法
自相似方法
自相似方法：齐次方程，无特征时间和特征长度u∂
∞
概率的极限
极限过程的进一步检查
4.
方程与解
吸收势垒方程与解
3.4有关概率和微分方程关系的进一步考虑1.
2.
镜像法：反射势垒
镜像法：吸收势垒
0(,)(2,)
x t u x L t −−
迭加原理，一般扩散方程的初值问题程与随机走动
首次穿越理论(,)
x y D
1
Γ2
Γ。
第一类Stirling数的两个计算公式
（ １ （ 一 ）ｎ ３ （ 一 ） ５ （ｎ 一 ０ § ： 一 ）凡 ２ （ 一 ） ｎ ４ （ ）３ ５Ｉ 一 ｔ 二
２ ×１ ４ ０
± 墨 鱼
。
证明 当 ｎ ０时 ， ≥１ 在式 （ ） １ 中取 ｔ ５得 ． （ ｎ Ｓ （ ， ５ ： Ｓ ， ） ｎ 凡一 ）＋Ｓ （ ， ２ 凡 ｎ一１ Ｓ （ 一１Ｉ一 ）十Ｓ （ ） １Ｉ ， ５ ｔ ｔ ２ ，
９月
第 一 类 Ｓｉｉｇ数 的两个 计 算 公 式 ｔｌ ｒｎ
拓 磊 ， 高 丽， 晶霞 柴
（延安大学 数学与计算机科学学院 ， 陕西 延安 ７ ６０ ） １０ ０
摘
要 ： 用第一 类 Ｓｉｉｇ 与 第二 类 Ｓｉｉｇ 的 关 系式 ， 出第一 类 Ｓｆｎ 利 ｔ ｎ数 ｌ ｆ ｔ ｎ数 ｌ ｆ 给 ｔｉ ｉ ｇ数 Ｓ （ ｒ一５ ，ｌ ｌ １ ， ｔ ）Ｓ
≥ ６时， （ ，一 ） Ｃ ＋ ０ ： ５ ： Ｓ ｎｎ ３ ＝ ： １Ｃ ＋１Ｃ； ２ ≥８ Ｓ（ 一 ） ＋ ５ ： １５ ： 时，２ ， ４ ＝ ２Ｃ ＋ ０Ｃ ＋ １５ ： ０Ｃ ；
定义 ２
令 ＝ ５ （ ｋ ［ ］ ， ，） 称
，
时 ， ２ ｎ ｎ一 Ｓ （ ∑Ｓ （ ， ） １ ｎ—ｋ 一ｔ ０ ， ）＝ 。
一
≥８时 ，ｌ 凡 ／一 ）＝ Ｓ（ ， ４ ７ ，
ｎ ｎ一１ （ ｆ ） ｎ一２ ｆ ３ （ ４ （ ５ ０ 十 ｎ＋２ ） ｎ一 ） ｎ一 ） １ ｎ 一３ ｎ ５
２ ×ｌ ４ ０
步 给 出第 一 类 Ｓｉｉｇ数 ｜ （ ， ｔｌ ｒｎ ｓ Ｉ ｎ一５ ，１ １ １一 ｌｔ ）５ （７ １ ，， ，
Stirling公式参数_的一个精确估计
0 引 言
记 rn = n e
n
- n
2πn ,熟知的关于阶乘估计 Stirling 公式是
n ! = rn exp (
θ
12 n
) .
( 1)
式中的 θ = θ( n) ∈ ( 0 ,1) ,许多学者对 exp (
1997 年 ,彭求实
[1]
θ
12 n
) 有很多的讨论 ,目的是使 n !有更精确的估计 .
又证明了当 n Ε 10 时
( 5)
1 1 1 1 ) < n ! < rn ( 1 + ) + + 12 n 288 n2 + 249. 2 n 12 n 288 n2 + 222. 4 n
而且 ( 4) 中的常数 222. 4 是最佳的 . 本文将利用 Euler — Maclauring 公式得到 θ一个精确公式 θ n - n ) , 则当 k Ε 1 时 , 定理 1 记 rn = n e 2πn , n ! = rn exp ( 12 n θ= 1 12 B 2 k 12 B 2 k +2 1 1 (θ 1 1 ∈ ( 0 ,1) ) 2 + 4 - …+ 2 k- 2 + θ 2 k ( ) ( 30 n 105 n 2k 2k - 1 n 2 k + 2) ( 2 k + 1) n 1 + 1 293 < n ! < rn 12 n - 0. 5 + 720 n 1 + 1 12 n - 0. 5 + 1 3n ( 7) ( 6)
F ( n)
k
引理 3
[5 ]
) 上有连续的 ( 2 n + 1) 阶导数 ,则 ( Euler — Maclauring) 设 F ( x ) 在 [1 , + ∞
斯特林公式Stirling Formular
题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。
在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：!constant nn n e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：constant =Stirling 公式：!nn n n e σ⎫≈=⎪⎭紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：221111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k nπ-≥⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：0011,0kj j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝⎭∑其中1k ≥。
将(1)式的前m 项记为2211exp 2(21)nm k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫= ⎪⎪-⎭⎝⎭∑同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。
这函数便是Γ-函数：10()t z z e t dt +∞-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：!()lim(1)()zn n n z z z z n →∞Γ=++而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。
之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。
直到最近才有了新的突破。
2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。
其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：3571111!exp 1236012601680nn n e n n n n ⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。
北京大学数学物理方程讲义第十六章：球函数
f (x) = clPl(x)
l=0
当然, 展开系数由 Legendre 多项式的正交性得到
1
cl Pl(x) 2 = f (x)Pl(x)dx
−1
2l + 1 1
cl = 2
f (x)Pl(x)dx
−1
Example 16.1 将函数 f (x) = x3 按 Legendre 多项式展开.
Solution x3 为3次多项式, 而
方程+齐次边界条件构成本征值问题
d (1 − x2) dy + ν(ν + 1)y = 0
dx
dx
y(±1)有界
3
方程通解为 y(x) = APν(x) + BQν(x)
y(1) 有界, 而 Qν(x) 含对数项, ln(x − 1) 在 x = 1 无界, 所以 B = 0,
y(−1) = APν(−1)
(4)
即 θ = 0, π 不是方程解的奇点.
1
方程(3)为 Legendre 方程. 作变换
x = cos θ y(x) = Θ(θ)
Legendre 方程改写为
d (1 − x2) dy + λy = 0
(5)
dx
dx
16.1 Legendre 方程的解
令 λ = ν(ν + 1), 展开
(1
∼
(n + 1)2n+1e−(2n+2)
e
ν
ν+n+1/2
ν + 1 n−ν
=
1+
1−
n+1
n+1
n+1
→ e eν e−ν−1 = 1
rao stirling公式
rao stirling公式Rao - Stirling公式可是个很有趣的东西呢。
你知道吗，它在信息论和多样性测量等好多领域都有着超级重要的地位。
先来说说这个公式是怎么来的吧。
其实它是经过好多学者的研究和探索才出现的。
就像是一群聪明的小伙伴在知识的大森林里探险，不断地发现新的路径，最后找到了这个神奇的公式。
这个公式的诞生可不是偶然的哦，它是为了解决一些在测量多样性等方面遇到的实际问题。
比如说，我们想知道一个生态系统里物种的多样性，或者是一个社区里文化类型的多样性，原来的一些方法可能不太准确或者不太全面，然后这个Rao - Stirling公式就闪亮登场啦。
那这个公式到底长啥样呢？哎呀呀，它看起来可能有点复杂，不过没关系，咱们慢慢理解。
它有一些参数，这些参数就像是公式里的小秘密一样。
这些参数相互作用，就像小伙伴们手拉手，共同构成了这个公式的独特魅力。
在实际应用方面，那可就太广泛了。
在生态领域，我们可以用它来评估一个地区生物多样性的丰富程度。
比如说一片森林里有各种各样的树木、动物和昆虫，通过Rao - Stirling公式，我们就能更精确地知道这个生态系统到底有多丰富多样。
就好像给这个森林的生物多样性拍了一张超级清晰的照片一样。
在社会科学领域，它也大有用处。
想象一下，一个城市里有不同的民族、不同的文化习俗，我们可以用这个公式来看看这个城市文化的多样性程度。
这就像是给这个城市的文化做了一次全面的体检。
不过呢，这个公式也不是完美无缺的。
有时候在数据收集方面就会遇到一些小麻烦。
因为要准确运用这个公式，需要收集到足够准确和全面的数据。
就像我们要做一顿丰盛的大餐，得先把食材都准备好一样。
如果数据不准确或者不完整，那算出来的结果可能就不太靠谱啦。
而且，对于一些不太熟悉数学和相关理论的人来说，理解这个公式可能有点像攀登一座很高的山峰。
但是不要怕呀，只要我们一步一步来，从基础的概念开始了解，就像爬楼梯一样，总能到达山顶，理解这个公式的奥秘的。
gama符号
gama符号
gama（伽马）符号：小写“γ”、大写“Γ”。
阿尔法、贝塔、伽马和德尔塔都是希腊字母，希腊字母是希腊语所使用的字母，也广泛使用于数学、物理、生物、化学、天文等学科，希腊字母跟英文字母、俄文字母类似，只是符号不同，标音的性质是一样的。
Stirling公式：
Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。
这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。
Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和Stirling 公式类似的一个结论：即当x取的数越大，Gamma 函数就越趋向于Stirling 公式，所以当x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。
GAMMA函数渐近估计式在一类极限计算中的应用
∞
时 ,nn!
~
n e
,即 有lim n→ ∞
nn! n
＝
１ e
．
(４)
(５) (６)
３ 渐 近 估 计 式 在 极 限 计 算 中 的 应 用
( ) 例１ 求l＝lni→m∞lnΓn１ln＋nn２ ．
解 由推论１知
( ) ( ) ( ) lnΓ
１＋
n ２
~
１＋
n ２
ln
n ２
＋１
~ n２lnn２ (n → ∞ ),
．
第５期 董锐,等:GAMMA 函数渐近估计式在一类极限计算中的应用
６１
例
２
求l
＝
lim
x→＋∞
１ lnx
æ
ç
è
(Γ(x
＋１))x１
－
x e
ö
÷
ø
．
{ ( ) } [ ( ) ] 解 l＝
xli→m＋∞ln１x
ln(２２eπx)＋ O
ln２x x
＝ lim x→＋∞
方程与组合数学方面有重要的应用．本文基于 Stirling公式 [１]
Γ(x＋１)＝
２πx
æ
ç
è
x e
x
θx １２x
öø e ÷
, θx ∈ (０,１) (x 充分大时)
(１)
给出了lnΓ(x＋１),(Γ(x＋１))x１ 的渐近估计式,见第二节命题１、命题２．利用渐近估计式对一类涉及
Gamma函数的极限、含有n! 的数列极 限 进 行 了 计 算 (这 些 极 限 不 用 渐 近 式 很 难 应 对),并 给 出 了 数 列
６０
大 学 数 学 第 ３４ 卷
幂压缩映射原理在分数阶常微分方程中的应用
幂压缩映射原理在分数阶常微分方程中的应用陈鹏玉;杨娟;张锁兵;葛阳祖【摘要】借助于幂压缩映射原理及伽马函数的相关性质,在非线性函数满足Lispchitz条件的假设下,获得了一类分数阶常微分方程初值问题解的存在唯一性.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】5页(P84-88)【关键词】分数阶微分方程;解;存在唯一性;幂压缩映射原理【作者】陈鹏玉;杨娟;张锁兵;葛阳祖【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O177.51 引言分数阶微积分是数学分析的一个分支，是传统的整数阶微积分的自然推广，它和整数阶微积分具有同样长的历史，早在17世纪，整数阶微分积分还处在发展时期，数学家们就以书信的方式探讨过分数阶微积分和最简单的分数阶微分方程问题.随着科学和数学本身的发展及应用的需求，1974年B.Ross在美国New Haven大学组织召开了第一届分数阶微积分运算理论与应用的国际会议，这次会议不仅使得分数阶微积分在国际上成为一个研究热点，同时也标志着分数阶微积分理论成为一个专门的学科进行研究.近几十年来，研究者们发现分数阶微分方程非常适合刻画具有记忆与遗传性质的材料和过程，如电解化学、半导体物理、分形和多空介质中的弥散，粘弹性系统等等，参见文献[1-6].相对于以往使用的方法，例如利用皮卡逐步逼近法(见文献[7])，或是Schauder不动点定理和压缩映射方法(见文献[8])，以及通过线性方程解算子谱半径的论证，在紧型条件下利用凝聚映射的Leray-Schauder不动点定理及压缩映射不动点定理(见文献[9])等. 本文所使用的幂压缩映射原理研究分数阶常微分方程初值问题解的存在唯一性较为简便. 本文可以看作是对分数阶常微分方程初值问题解的存在唯一性进一步探索研究.鉴于我们现在掌握与了解到的研究常微分方程初值问题解的存在性与唯一性的相关知识结合泛函分析中经典的Banach幂压缩映射原理，本文将研究如下分数阶常微分方程初值问题(1)解的存在唯一性，且证明此时对于Lispchitz常数的要求比起Banach压缩映射定理来说更弱.本文的主要结果如下：定理1 假设非线性函数f(t，u(t))在矩形区域S={(t，u)|0≤t≤a，|u-u0|≤b}上连续，且关于u满足Lispchitz条件.则分数阶微分方程初值问题(1)在区间I=[0，h]上存在唯一解，其中文献[2]定理3.1应用压缩映像原理获得了分数阶常微分方程初值问题(1)在更小的区间上解的存在唯一性，是本文中定理1的推论. 文献[6]在假设非线性项满足全局Lispchitz条件的情形下，利用单调迭代方法获得了Riemann-Liouville意义下的分数阶常微分方程初值问题解的存在唯一性，然而文[6]要求问题存在上下解，这是不容易满足的假设条件，并且文[6]所使用的方法和本文是不同的.2 预备工作及引理令I=[0，h]，其中h>0为一常数. 记C(I，) 为定义于I取值于的全体连续函数按最大值范数构成的Banach空间.定义1 Gamma函数Γ(·)的定义如下Γ(s)=xs-1e-xdx， s>0.定义2 Beta函数B(·，·)的定义如下B(p，q)=xp-1(1-x)q-1dx， p，q>0.性质1 Gamma函数与Beta函数有如下关系性质2 Gamma函数有如下运算性质αΓ(α)=Γ(α+1).定义3 函数f(t)的α阶积分为其中α>0为实数，Γ(·)为Gamma函数.定义4 函数f(t)的下限为0的α阶Caputo分数阶导数定义为其中α为任意实数0≤n-1<α<n.定义5 分数阶微分方程初值问题(1)的解等价于如下积分方程的解.引理1 设X是完备的度量空间，T∶X→X为压缩映射，则T存在唯一不动点.引理2 设X是完备的度量空间，T∶X→X，若Tn为压缩映射(则称T∶X→X为幂压缩映射)，则T存在唯一不动点.引理3 Stirling公式3 主要结果的证明定理1的证明定义算子A∶C(I，)→C(I，)如下(2)由定义5可知分数阶微分方程初值问题(1)的解就等价于由(2)式所定义的算子A的不动点. 下面利用幂压缩映射不动点定理来寻找算子A的不动点. 定义D={u∈C(I，)∶|u(t)-u0|≤b，t∈I}，则D为C(I，)中的有界凸闭集.首先，证明A∶D→D. 对∀u∈D及t∈I，由(2)式及性质2，经计算可得因此Au(D)∈D，从而A∶D→D.其次，证明A∶D→D为幂压缩映射. 对∀u1，u2∈D，由(2)式、性质2及非线性函数f(t，u(t))关于第二变元的Lispchitz连续性，有(3)由(2)式、 (3)式、性质1、性质2及非线性函数f(t，u(t))关于第二变元的Lispchitz连续性，得|A2u2(t)-A2u1(t)|假设 n=k-1 时有(4)当n=k 时，由(2)式、 (4)式、性质1、性质2及非线性项f(t，u(t))关于第二变元的Lispchitz连续性，可得由数学归纳法可知对任意正整数n及t∈I，有上式两端关于t取最大值，可得(5)由引理3 (Stirling公式)，有则因此存在充分大的整数n0，使得(6)结合(5)式与(6)式，可得‖An0u2-An0u1‖<‖u2-u1‖，即An0是压缩算子，因此A是幂压缩算子. 从而由引理1可知算子A存在唯一不动点u∈D，此不动点即为分数阶微分方程初值问题(1)在区间I=[0，h]的唯一解. 定理2 若定理1的假设条件全部满足，则分数阶微分方程初值问题(1)在I′=[0，h′]上存在唯一解，其中证定义算子：A∶C(I′，)→C(I′，)如下(7)由定义5可知分数阶微分方程初值问题(1)的解就等价于由(7)式所定义的算子A的不动点. 下面利用缩映射不动点定理来寻找算子A的不动点. 定义D′={u∈C(I，)∶|u(t)-u0|≤b，t∈I′}，则D′为C(I′，)中有界凸闭集. 首先由定理1的证明知，A∶D′→D′.下面证明A∶D′→D′为压缩算子. 对∀u1，u2∈D′，有上式两端取最大值得‖Au2-Au1‖<‖u2-u1‖. 所以，A∶D′→D′为压缩算子，从而由引理2可知A在D′中存在唯一不动点u∈D′，此u即为初值问题(1)的在I′=[0，h′]上的唯一解.注1 本文应用Banach幂压缩映射原理说明了分数阶微分方程(1)的解的存在唯一性，且证明此时对于Lispchitz常数的要求比起Banach压缩映射定理来说更弱或者说是直接去除了Lispchitz常数的影响.[参考文献]【相关文献】[1] 滕兴虎，李静，寇冰煜，毛自森.分数阶微分不等式及其在分数阶奇摄动初值问题中的应用[J].大学数学，2017， 33(1)：57-62.[2] Lakshmikantham V， Vatsala A S. Basic theory of fractional differential equations[J]. Nonlinear Anal，2008，69(8)：2677-2682.[3] Chen P， Li Y， Chen Q， Feng B. On the initial value problem of fractional evolution equations with noncompact semigroup[J].Comput. Math. Appl.，2014，67(5)：1108-1115.[4] Bai Z， Chen Y， Lian H， Sun S.On the existence of blow up solutions for a class of fractional differential equations[J]. Fract. Calc. Appl. Anal.，2014，17(4)：1175-1187. [5] Xu J， Wei Z， Dong W. Uniqueness of positive solutions for a class of fractional boundary value problems[J]. Appl. Math. Lett.，2012，25(3)：590-593.[6] Zhang S. Monotone iterative method for initial value problem involving Riemann-Liouville fractional derivatives[J].Nonlinear Anal.，2009，71：2087-2093.[7] 李娇. Caputo型分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性[D].天津大学， 2013.[8] 王芳.几类分数阶微分方程解的存在性、唯一性和可控性研究[D].中南大学， 2013.[9] 张玲忠.Banach空间Sturm_Liouville边值问题解的存在性[D].西北师范大学， 2004.[10] 许少亚，范胜君.常微分方程初值问题解的一个存在唯一性结果[J].大学数学，2013，29(6)：44-47.。
北京大学复变函数讲义第八章：Γ函数
再令 p = 1, 2, q = 3, 又得
1
ψ
= −γ − 2 ln 2
2
q−1
2πnp
πn
+ cos
ln 2 sin .
q
q
n=1
1
π
ψ
= −γ − − 3 ln 2
4
2
3
π
ψ
= −γ + − 3 ln 2
4
2
1
π3
ψ
= −γ − √ − ln 3
3
23 2
2
π3
ψ
= −γ + √ − ln 3
由此 上面公式在统计物理学中经常用到.
ln n! = ln Γ(n + 1) ∼ n ln n − n
3
Γ 函数的渐近展开 z 为实数 x 的情形,
∞
Γ(x + 1) = e−ttxdt.
0
假设 x > 0, 分析一下积分的被积函数, 它在 t = 0 时为 0, 随着 t 的增大而增大, 当 t = x 时达到极大, 而后又
n=0
q−1
s(t) = − tp−q ln(1 − tq) + ω−np ln(1 − ωnt)
n=0
= − tp−q ln 1 − tq − (tp−q − 1) ln(1 − t) 1−t
q−1
+ ω−np ln(1 − ωnt)
n=1
6
令 t → 1−, 得 将 p 换成 q − p 再两式相加
性质4: 倍乘公式
Γ(2z)
=
22z−1π−1/2Γ(z)Γ(z
+
1 )
(5)
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1 lim 1 n n
n2
n! n
n
n
2 。 e
n! n
n
n
。
n 解 由 n!~ 2 n （ n ）知 e
1 lim 1 n n
因为
n2
n! nn
1 n n ln 1 1 1 n 1 n 。 2 lim 1 e 2 lim e n n n n
n
n
n
lim
n!
n 1 2
n
lim
n! 2 n
n 1 2
n
2 n
n n
1。 e
n
e n
n
n
于是利用等价无穷大量代换的方法得 n lim lim n n n! n
1 例 求极限 lim 1 n n
n
n2
2 n
n
1 2 1 1 lim n n ln 1 1 lim n n o 2 1 2 n n n n n 2n 1 1 lim o(1) , n 2 2
s
n n! 2 n e 12n 。 e 从这个定理立即得到无穷大量的等价关系：
n
n （ n ） 。 n!~ 2 n e 关于阶乘的 Stirling 公式的意义在于，它可以将阶乘转化成幂函数，使 得阶乘的结果得以更好的估计，而且 n 越大，估计就越准确。 n 例 求极限 lim 。 n n n! n 解 由 n!~ 2 n （ n ）知， e
如何估计阶乘 n! 的增长量级，这在理论与实际应用中是非常重要问题。Γ 函 数与阶乘有着密切的关系，这就是 (n 1) n! 。 因此对Γ函数增长的估计也就蕴含了 n! 的增长估计，这就是下面的定理： 定理（Stirling 公式） Γ 函数有如下的渐进估计：
s ( s 1) 2 s e 12s ， s 0 ， e 这里 0 1 。特别地，当 s n 为正整数时，
Γ函数与 Stirling 公式
Γ 函数定义为
( s )
0
， x s1 e x dx （ s 0 ）
且利用等式
( s 1) s 可以把 ( s) 的定义域延拓到 (, ) \ {0, 1, 2, 3, } 上去，其图像如下图。 ( s )