人教备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶圆的综合及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．

（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；

（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；

（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．

试题解析：连接AD，OA，

∵∠ADC=∠B，∠B=60°，

∴∠ADC=60°，

∵CD是直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，

∵AP=AC，OA=OC，

∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，

∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，

即OA⊥AP，

∵OA为半径，

∴AP是⊙O切线．

（2）连接AD，BD，

∵CD是直径，

∴∠DBC=90°，

∵CD=4，B为弧CD中点，

∴BD=BC=，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DCB=45°，

即∠BDE=∠DAB，

∵∠DBE=∠DBA，

∴△DBE∽△ABD，

∴，

∴BE•AB=BD•BD=．

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．

2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；

（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB

中，利用已知条件求得答案．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．

考点：切线的性质．

3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝1

2

，求AB和FC的长．

【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403

CF =

【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；

（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

详解：⑴证明：连结OC

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C 在⊙O 上

∴CF 是⊙O 的切线

⑵∵AE=4，tan ∠ACD

12

AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E

∴AD AC =

∵∠FCA ＝∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2

CE BE

∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE ⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE = 即106=8CF ∴40CF 3

= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.

4．如图1

O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．

()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；

()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12

BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；

②求PC 的长．

【答案】（1）262）333①见解析，②．

【解析】

分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出

OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即

可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，