高中数学学案：三角函数的图象与性质(1)

高中数学学案:三角函数的图象与性质(1)1. 能描绘y ＝sin x,y ＝cos x,y ＝tan x 的图象,并能根据图象理解三角函数的性质(定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等)．2. 了解三角函数的周期性,理解三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)、y ＝A cos (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|及y ＝A tan (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1. 阅读:必修4第24～33页．2. 解悟:①如何理解周期函数？三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)、y ＝A cos (ωx ＋φ)、y ＝A tan (ωx ＋φ)的周期各是多少？②怎样作出三角函数的图象？如何抓住其中的关键之处？③你能根据图象说出三角函数的有关性质吗？④你能领会必修4第30～33页例题的意图吗？体会每个例题的作用．3. 践习:在教材空白处,完成必修4第32页练习第2、3、4、5、7题.基础诊断1. 关于正弦函数y ＝sin x 有下列说法: ①图象关于原点对称； ②图象关于y 轴对称； ③关于直线x ＝π2对称； ④关于(π,0)对称；⑤在[－2π,2π]上是周期函数； ⑥在第一象限是单调增函数． 其中正确的是__①③④__．(填序号)2. 函数y ＝2cos 2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π,k ∈Z ．解析:函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ,则函数y 的增区间为－π＋2k π≤2x ≤2k π,k ∈Z,即k π－π2≤x ≤k π,k ∈Z.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为__－2． 解析:因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4,所以f(x)min ＝f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22.4. 下列函数中,最小正周期为π的奇函数有__②__．(填序号) ①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；③y ＝sin 2x ＋cos 2x ； ④y ＝sin x ＋cos x.解析:y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数,且周期为π；y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4为非奇非偶函数；y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为非奇非偶函数．范例导航考向❶ 三角函数的定义域与值域问题 例1 (1) 求下列函数的定义域: ①y ＝lg ()2＋2cos x ； ②y ＝tan x － 3. (2) 求下列函数的值域: ①y ＝1－2sin x,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3；②y ＝2＋sin x 1－2sin x.【点评】 结合函数图象或单位圆考察函数的定义域,可以数形结合,降低思维难度． 解析:(1) ①由2＋2cos x>0得cos x>－22,所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋3π4,k ∈Z.②由tan x －3≥0,得x ∈[k π＋π3,k π＋π2),k ∈Z.(2) ①因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1,所以－2sin x ∈[－2,－1],所以y ∈[－1,0]．②方法一: y ＝2＋sin x 1－2sin x ＝sin x －12＋521－2sin x ＝－12＋52－4sin x,因为sin x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1,所以－4sin x ∈[－4,－2)∪(－2,4],所以2－4sin x ∈[－2,0)∪(0,6]．所以y ∈(－∞,－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.方法二:y ＝2＋sin x 1－2sin x ,则sin x ＝y －22y ＋1,所以－1≤y －22y ＋1<12或12<y －22y ＋1≤1,所以y ∈(－∞,－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.【注】 有关三角函数的定义域、值域问题的求解,处理方法与其他函数大体相同,要注意的是三角函数自身有定义域和值域的限定．如: tan x ,x ≠k π＋π2,k ∈Z ；|sin x |≤1,|cos x |≤1.单位圆是处理求角、求值问题的有力的工具,要熟练掌握．当0<x <π时,求函数y ＝sin x cos xsin x －cos x ＋1的值域．解析:令t ＝sin x －cos x ,则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.因为0<x <π,所以－π4<x －π4<3π4,所以－1<t ≤ 2.又因为sin x cos x ＝1－t 22, 所以y ＝sin x cos xsin x －cos x ＋1＝1－t 22t ＋1＝1－t 2,所以1－22≤y <1,故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－22，1. 考向❷ 三角函数的性质例2 已知函数f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x. (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析:(1) f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4,所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2) 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1,所以函数f(x)的最大值为1＋2,最小值为0.【注】 y ＝a sin x ＋b cos x 型的最值:f(x)max ＝a 2＋b 2,f(x)min ＝－a 2＋b 2.求解中运用的基本方法是“利用辅助角法”,将较复杂的三角式转化成“y ＝A sin (ωx ＋φ)”的形式,将异名三角式化归成同名三角式．当x 的取值范围受限制时⎝ ⎛⎭⎪⎫例如0≤x ≤π2,其值域还得进一步对自变量的取值范围仔细地考察.已知函数f(x)＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin (x ＋π8)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8,求:(1) 函数f(x)的最小正周期； (2) 函数f(x)的单调增区间． 解析:f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x.(1) 函数f(x)的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2) 当2k π－π≤2x ≤2k π即k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z)时,函数f (x )＝2cos2x 是增函数,故函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)．【变式题】已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求函数f (x )的单调增区间．解析:(1) 因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4,所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 由题设知πω＝π,解得ω＝1.(2) 由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4,函数y ＝sin x 的单调增区间为[2k π－π2,2k π＋π2](k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z,所以函数f (x )的单调增区间为[k π－3π8,k π＋π8](k ∈Z)．考向❸ 三角函数的性质及三角求值的综合应用 例3 已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos (α＋π4)·cos 2α,求cos α－sin α.解析:(1) 由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z 得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12,k ∈Z,所以函数f (x )的单调增区间为[2k π3－π4,2k π3＋π12],k ∈Z.(2) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α),即22(sin α＋cos α)＝45·22(sin α－cos α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时,α是第二象限角,则α＝2k π＋3π4,k ∈Z, 此时cos α－sin α＝－2；当sin α＋cos α≠0时,(cos α－sin α)2＝54. 因为α是第二象限角, 所以cos α－sin α＝－52.综上可得,cos α－sin α＝－2或－52.【注】 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间是从ωx ＋φ到x 的运算,就是求x 的范围使得ωx ＋φ在y ＝A sin(ωx ＋φ)能够单调．自测反馈1. 已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增,则ω的取值范围是__⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32__．解析:因为函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增,所以0·ω≥2k π－π2且πω3≤2k π＋π2,k ∈Z.因为ω>0,所以当k ＝0时可得0<ω≤32.2. 设函数f(x)＝A ＋B sin x,当B<0时,f(x)的最大值是32,最小值是－12,则A ＋B ＝__－12__． 解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝32，A ＋B ＝－12，所以A ＝12,B ＝－1,所以A ＋B ＝－12.3. 若关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在[0,π]上有两解,则实数k 的取值范围是____．解析:因为x ∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－1,2],因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在[0,π]上有两解,所以k ∈[1,2)．4. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,若y ＝f(x －φ)(0<φ<π2)是偶函数,则φ的值为__π3__． 解析:因为f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,所以y ＝f(x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6.因为y＝f(x －φ)是偶函数,所以－2φ＋π6＝k π＋π2,k ∈Z,所以φ＝－k π2－π6,k ∈Z,因为0<φ<π2,所以φ＝π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式,常借助三角函数图象来求解．2. 三角函数求值域时要熟悉几种常见形式,主要有:①形如y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式；②含sin x,cos x,tan x 的复合函数形式；③整体思想求解含sin x±cos x,sin x cos x 形式,比如求函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域．3. 对于形如y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等),可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ,将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 你还有哪些体悟,写下来:。