向量的线性运算技巧及练习题附答案解析

向量的线性运算技巧及练习题附答案解析
一、选择题
1．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．
A ．CA
B ．A
C C ．0
D ．AE
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形法则计算即可解决问题．
【详解】
解：原式()()AB BE CD DE =+-+
AE CE =-
AE EC =+ AC =，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
2．已知233m a b =-，1124
n b a =+，那么4m n -等于（ ） A ．8
23
a b - B ．443a b - C ．423a b - D ．843
a b - 【答案】A
【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，1124n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433
a b b a a b b a a b -
-+=---=-． 故选A ．
3．计算45a a -+的结果是（ ）
A ．a
B ．a
C ．a -
D ．a -
【答案】B
【解析】
【分析】
按照向量之间的加减运算法则解题即可
-4a+5a=a ,
所以答案为B 选项
【点睛】
本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
4．如图，ABCD 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==，那么向量AE 用向量a b 、表示为（ ）
A ．12a b
B ．12a b -
C ．12a b -+
D ．12a b -- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据AE AB BE =+，只要求出BE 即可解决问题. 【详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝，
BC AD b ∴==，
BE CE ＝，
1BE b 2
∴=， AE AB BE,AB a =+=，
1AE a b 2
∴=+， 故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
5．下列判断不正确的是（ ）
A ．如果A
B CD ，那么AB CD
B ．+＝+
C ．如果非零向量a
b(0)k k ，那么a 与b 平行或共线 D ．AB BA 0
【解析】
【分析】
根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA 可判断D 错误 【详解】
A 、如果A
B CD ，那么AB CD =，故此选项正确；
B 、a b b a +=+，故本选项正确；
C 、如果非零向量a b(0)k k ，那么a 与b 平行或共线，故此选项正确；
D 、0AB
BA ，故此选项错误； 故选：D ．
【点睛】
此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键
6．以下等式正确的是（ ）．
A ．0a a -=
B ．00a ⋅=
C ．()a b b a -=--
D ．km k m = 【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的运算法则进行判断．
【详解】
解：A. 0a a -=，故本选项错误；
B. 00a ⋅=，故本选项错误；
C. ()
a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误.
故选：C.
【点睛】
考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．
7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．
A ．()12
a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】
解：∵AB a =，AC b =
∴CB AB AC a b =-=-
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线
∴()
1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+
故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.
8．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量()
12m n +相等的向量是（ ）.
A ．OA
B ．OB
C ．OC
D ．OD
【答案】C
【解析】
【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==，然后由三角形法则，求得AC 与BD ，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD n ==，
∴AC ＝AB BC m n +=+，=BD AD AB n m -=-，
∴()11=-22OA AC m n =-+，()
11=22OC AC m n =+
()11=-22OB BD n m =--，()
11=22
OD BD n m =- 故选：C ．
【点睛】 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
9．如图，已知向量a ，b ，c ,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=
B ．b c a +=
C ．a c b +=
D ．a c b +=-
【答案】D
【解析】 【分析】
【详解】
由平行四边形法则，即可求得：
解：∵CA AB CB +=，
即a c b +=-
故选D ．
10．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ） A ．3a e =
B ．3a e =-
C ．3e a =
D ．3e a =-
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的定义解答即可．
【详解】
解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，
∴3a e =-．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，2b c =-，那么下列说法中，错误的是（ ）
A ．//a b
B ．a b =
C ．72B
D = D ．a 与b 方向相反
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.
【详解】 解：已知2a c ＝，2b c -＝，故a b ，是长度相同，方向相反的相反向量，
故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误，
故选C.
【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确. 12．已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∥b 的是（ ）
A ．a //c ，b //c
B ．1,22a c b c ==
C ．2a b =
D ．a b = 【答案】D
【解析】
【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】 解：A.∵a //c ，b //c ，∴a ∥b ，故本选项错误；
B.∵1,22
a c
b
c ==∴a ∥b ，故本选项错误. C.∵2a b =，∴a ∥b ，故本选项错误； D.∵a b =，∴a 与b 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．
13．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+
B ．D
C a b =-； C ．DC a b =-+
D ．DC a b =--．
【答案】C
【解析】
【分析】 由平行四边形性质，得DC AB =，由三角形法则，得到OA AB OB +=，代入计算即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC AB =，
∵OA a =，OB b =，
在△OAB 中，有OA AB OB +=，
∴AB OB OA b a a b =-=-=-+，
∴DC a b =-+；
故选择：C.
【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
14．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．||2||a b =；
B ．a ∥b ；
C ．a 与b 方向相反；
D ．20a b +=． 【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】
A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =，该选项不符合题意错误；
B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；
C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
15．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A ．a //b
B ．a -2b =0
C ．b =12a
D ．2a b =
【答案】B
【解析】
试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.
故选B.
16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）
A ．12
CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=
【答案】B
【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =
，故本选项错误； B 、12
CB AB =，故本选项正确； C 、0AC BC +=，故本选项错误；
D 、AC CB AB +=，故本选项错误．
故选B ．
17．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．m na mn a （）＝（）
B ． m n a ma na ++（）＝
C ．m a b ma mb +（+）＝
D ．若0ma =，那么0a =
【答案】D
【解析】
【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．
【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；
∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．
故选D ．
【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
18．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b
= 【答案】B
【解析】
【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.
【点睛】 本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
19．若a ＝2e ，向量b 和向量a 方向相反，且|b |＝2|a |，则下列结论中不正确的是（ ） A ．|a |＝2
B ．|b |＝4
C ．b ＝4e
D ．a ＝12b - 【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件可以得到：b ＝﹣4e ，由此对选项进行判断．
【详解】
A 、由a ＝2e 推知|a |＝2，故本选项不符合题意．
B 、由b ＝-4e 推知|b |＝4，故本选项不符合题意．
C 、依题意得：b ＝﹣4e ，故本选项符合题意．
D 、依题意得：a ＝-
12b ，故本选项不符合题意． 故选C ．
【点睛】
考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
20．下列关于向量的运算中，正确的是
A ．a b b a -=-；
B ．2()22a b a b --=-+；
C ．()0a a +-=；
D ．0a a +=．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则进行计算.
【详解】 A. ()
,a b b a A ---＝所以错误；
B. ()222a b a b B ---＝＋，所以正确；
C. ()0a a -＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误．
故选B.
【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.。