第六节交通流理论排队论
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有各式各样的输入过程，例如： ? 定长输入：顾客等时距到达。 ? 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种输入过程最容易处理，因
而应用最广泛。 ? 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
? 2)排队系统的3个组成部分： ? (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如： ? 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不
? 为叙述方便，引用下列符号，令 ? M代表泊松分布输入或负指数分布服务； ? D代表定长分布输入或定长分布服务； ? Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 ? 于是泊松输入、负指数分布服务， N个服务台的排队系统可以写成 M/M/N； ? 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成 M/D/1。 ? 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 ? 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务，单个服务通道的
二、排队论的基本原理
? 1．基本概念 ? 1) “排队”与“排队系统”的概念 ? “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； ? “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
? 排队的 ? 排队系统
8辆车 10辆车
? 2)排队系统的3个组成部分：
? (1)输输入入过程就是指各种类型排的“队顾客(车辆或行人)输”按出怎样的规律到达。
三、M/M/1系统—单通道服务系统
设顾客平均到达率为 ?，则到达的平均时距为 1/ ?。排队从单通道服务后 通过接受 服务后通过的平均服务 率为?，则平均服务时间为 1/ ?。比率? ? ? / ?叫做服务强度
或交通强度，可以确定 系统的状态。所谓状态 ，指的是排队系统的顾 客数。
1)在系统中没有顾客的概 率为P(0) ? 1 ? ?
非零平均排队长度
qw
?1
1? ?
?
1 1 ? 0.89
?
9.09辆
系统中的平均消耗时间 排队中的平均等待时间
d ? n ? 8 h / 辆 ? 36s / 辆
? 800
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1
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36 ?
Baidu Nhomakorabea
4
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32s / 辆
例2今有一停车场，到达率? 为60辆 / h，服从泊松分布。停车场的服务能力为 ? 为100辆 / h，服从负指数分布。其单一的出入车道可存车6辆，问该数量 是否合适？ 解：这是一个M / M /1排队系统问题 ? ? 60辆 / h，? ? 100辆 / h ? ? ? / ? ? 60 /100 ? 0.6 ? 1，系统是稳定的。 因出入道存车量为6辆，如果超出6辆的概率很小时（一般认为小于5%），则 认为合适，否则认为不 合适。 P(0) ? (1? ? ) ? 1? 0.6 ? 0.4，P (1) ? ? (1? ? ) ? 0.6? 0.4 ? 0.24 P (2) ? ? 2 (1? ? ) ? 0.62 ? 0.4 ? 0.14，P (3) ? 0.63 ? 0.4 ? 0.09 P (4) ? 0.64 ? 0.4 ? 0.05，P(5) ? 0.65 ? 0.4 ? 0.03 P (6) ? 0.66 ? 0.4 ? 0.02
等待制系统。
? 3)排队系统的主要数量指标 ? 最重要的数量指标有3个： ? (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。 ? (2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。 ? (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾客之分，这是排队系
统提供的服务水平的一种衡量。
第八章 交通流理论
第三节 排队论的应用
一、引言
? 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队 的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，是运筹学 中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。
? 典型的例子——食堂排队；
? 排队论是 20世纪初开始发展的。 1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱 尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机既能满足 通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多 领域内被采用。在交通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信 号灯配时以及停车场、加油站等交通设施的设计与管理方面得到广 泛的应用。 1936年亚当斯（ Adams.W.F ）用以考虑未设置交通信号交 叉口的行人延误问题， 1951年唐纳予以推广应用， 1954年伊迪 （ Edie ）应用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的 报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
少时间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次 就装载大批乘客。 ? 服务时间的分布主要有如下几种： ? ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）； ? ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布(看 病)； ? ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。
2)在系统中有 n个顾客的概率为 P(n) ? ? n (1 ? ? )
3)系统中的平均车辆数 n ? ? ? ? 1? ? ? ? ?
4)系统中的平均方差
?
2
?
? (1 ? ? )2
5)平均排队长度 q ? n ? ?
6)非零平均排队长度
qw
?
1
1? ?
7)系统中的平均消耗时间 d ? n
?
8)排队中的平均等待时间 w ? d ? 1
?
例1 某条道路上设计一观测 统计点，车辆到达该点 是随机的，单向车流量 为800辆/h。 所有车辆到达该点要求 停车领取 OD调查卡片，假设工作人 员平均能在 4s内处理一辆 汽车，符合负指数分布 。试估计在该点上排队 系统中的平均车辆，平 均排队长度，
非零排队平均长度，排 队系统中的平均消耗时 间以及排队中的平均等 待时间。
解：这是一个 M / M /1排队系统。
? ? 80（0 辆 / h）
? ? 1 辆 / s ? 90（0 辆 / h）
4
? ? 800 ? 0.89 ? 1,系统是稳定的
900
系统中的平均车辆数
n ? ? ? ? ? 800 ? 8辆 1? ? ? ? ? 900 ? 800
平均排队长度 q ? n ? ? ? 8 ? 0.89 ? 7.11辆
再来。 ? 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服
务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、 消防车优先)等多种规则。 ? 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长等于L， 顾客就离去，永不再来。
? 2)排队系统的3个组成部分： ? (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多
而应用最广泛。 ? 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
? 2)排队系统的3个组成部分： ? (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如： ? 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不
? 为叙述方便，引用下列符号，令 ? M代表泊松分布输入或负指数分布服务； ? D代表定长分布输入或定长分布服务； ? Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 ? 于是泊松输入、负指数分布服务， N个服务台的排队系统可以写成 M/M/N； ? 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成 M/D/1。 ? 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 ? 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务，单个服务通道的
二、排队论的基本原理
? 1．基本概念 ? 1) “排队”与“排队系统”的概念 ? “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； ? “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
? 排队的 ? 排队系统
8辆车 10辆车
? 2)排队系统的3个组成部分：
? (1)输输入入过程就是指各种类型排的“队顾客(车辆或行人)输”按出怎样的规律到达。
三、M/M/1系统—单通道服务系统
设顾客平均到达率为 ?，则到达的平均时距为 1/ ?。排队从单通道服务后 通过接受 服务后通过的平均服务 率为?，则平均服务时间为 1/ ?。比率? ? ? / ?叫做服务强度
或交通强度，可以确定 系统的状态。所谓状态 ，指的是排队系统的顾 客数。
1)在系统中没有顾客的概 率为P(0) ? 1 ? ?
非零平均排队长度
qw
?1
1? ?
?
1 1 ? 0.89
?
9.09辆
系统中的平均消耗时间 排队中的平均等待时间
d ? n ? 8 h / 辆 ? 36s / 辆
? 800
w
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1
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36 ?
Baidu Nhomakorabea
4
?
32s / 辆
例2今有一停车场，到达率? 为60辆 / h，服从泊松分布。停车场的服务能力为 ? 为100辆 / h，服从负指数分布。其单一的出入车道可存车6辆，问该数量 是否合适？ 解：这是一个M / M /1排队系统问题 ? ? 60辆 / h，? ? 100辆 / h ? ? ? / ? ? 60 /100 ? 0.6 ? 1，系统是稳定的。 因出入道存车量为6辆，如果超出6辆的概率很小时（一般认为小于5%），则 认为合适，否则认为不 合适。 P(0) ? (1? ? ) ? 1? 0.6 ? 0.4，P (1) ? ? (1? ? ) ? 0.6? 0.4 ? 0.24 P (2) ? ? 2 (1? ? ) ? 0.62 ? 0.4 ? 0.14，P (3) ? 0.63 ? 0.4 ? 0.09 P (4) ? 0.64 ? 0.4 ? 0.05，P(5) ? 0.65 ? 0.4 ? 0.03 P (6) ? 0.66 ? 0.4 ? 0.02
等待制系统。
? 3)排队系统的主要数量指标 ? 最重要的数量指标有3个： ? (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。 ? (2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。 ? (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾客之分，这是排队系
统提供的服务水平的一种衡量。
第八章 交通流理论
第三节 排队论的应用
一、引言
? 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队 的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，是运筹学 中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。
? 典型的例子——食堂排队；
? 排队论是 20世纪初开始发展的。 1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱 尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机既能满足 通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多 领域内被采用。在交通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信 号灯配时以及停车场、加油站等交通设施的设计与管理方面得到广 泛的应用。 1936年亚当斯（ Adams.W.F ）用以考虑未设置交通信号交 叉口的行人延误问题， 1951年唐纳予以推广应用， 1954年伊迪 （ Edie ）应用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的 报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
少时间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次 就装载大批乘客。 ? 服务时间的分布主要有如下几种： ? ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）； ? ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布(看 病)； ? ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。
2)在系统中有 n个顾客的概率为 P(n) ? ? n (1 ? ? )
3)系统中的平均车辆数 n ? ? ? ? 1? ? ? ? ?
4)系统中的平均方差
?
2
?
? (1 ? ? )2
5)平均排队长度 q ? n ? ?
6)非零平均排队长度
qw
?
1
1? ?
7)系统中的平均消耗时间 d ? n
?
8)排队中的平均等待时间 w ? d ? 1
?
例1 某条道路上设计一观测 统计点，车辆到达该点 是随机的，单向车流量 为800辆/h。 所有车辆到达该点要求 停车领取 OD调查卡片，假设工作人 员平均能在 4s内处理一辆 汽车，符合负指数分布 。试估计在该点上排队 系统中的平均车辆，平 均排队长度，
非零排队平均长度，排 队系统中的平均消耗时 间以及排队中的平均等 待时间。
解：这是一个 M / M /1排队系统。
? ? 80（0 辆 / h）
? ? 1 辆 / s ? 90（0 辆 / h）
4
? ? 800 ? 0.89 ? 1,系统是稳定的
900
系统中的平均车辆数
n ? ? ? ? ? 800 ? 8辆 1? ? ? ? ? 900 ? 800
平均排队长度 q ? n ? ? ? 8 ? 0.89 ? 7.11辆
再来。 ? 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服
务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、 消防车优先)等多种规则。 ? 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长等于L， 顾客就离去，永不再来。
? 2)排队系统的3个组成部分： ? (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多