微分学在经济学领域的应用

微分学在经济学领域的应用

摘要：本文系统讨论了微分学基本知识，包括一元函数微分学、二元函数微分学以及常微分方程.并根据这些知识结合实例对微分学在经济学领域的应用进行分析探究.

关键词：微分；常微分方程；经济学；应用

Differential calculus applications in economics

Abstract: This article discusses systemly the basic knowledge of differential calculus, in- cluding functions of one variable differential calculus, calculus of vicariate functions and ordinary differential equations. And we analyze the application of the differential Calculus applica-

tion in economics by examples.

Keywords: differential; ordinary differential equations; economics; application

前言

在研究微分学在经济学领域上的应用，首先要研究微分学里面的概念和基本性质.微分学包括一元函数微分学和多元函数微分学以及微分方程等知识.为了更好的研究微分学在经济学领域的应用，下面给出微分学相关理论.

1. 基本定义

1.1 一元函数微分学[1]

定义1.1.1 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内.当给0x 一个增量

00,()x x x U x ∆+∆∈时，相应的得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-.如果存在常数A 使得y ∆能够表示成 ()y A x x ο∆=∆+∆ （1） 则称函数f 在点0x 可微，并称（1）式中的A x ∆为f 在点0x 的微分，记作

0|x x dy A x ==∆ 或 0()|x x df x A x ==∆ （2）

由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是

x ∆的线性函数，所以当0A ≠时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部.

定义 1.1.2 若函数(y f x =）在区间上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.

函数(y f x =）在I 上任意一点x 处的微分记作

'(),dy f x x x I =∆∈

定义 1.1.3 将一阶微分只作为x 的函数，若f 二阶可导，那么dy 对自变量x 的微分'""2()(())()()()d dy d f x dx f x dx dx f x dx ==⋅= 或写作 2"2()()d y f x dx = 称它为函数

f 的二阶微分.

定义1.1.4 一般地, n 阶微分是1n -阶微分的微分，记作n d y ,即

1(1)1()()(())()n n n n n n d y d d y d f x dx f x dx ---===.

对2n ≥的n 阶微分均称高阶微分. 1.2 多元函数微分学[2]

定义 1.2.1 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于

0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为：

0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ορ∆=+∆+∆-=∆+∆+ （3）

其中,A B 是仅与点0P 有关的常数，ρ=()ορ是较ρ的高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 可微.并称（3）式中关于,x y ∆∆的线性函数A x B y ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分，记作 000|(,)p dz df x y A x B y ==∆+∆.

定义 1.2.2 设函数(,)z f x y =，(,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈，且0(,)f x y 在0x 的某

一邻域内有定义，则当极限00000000(,)(,)(,)

lim

lim x x x f x y f x x y f x y x x

∆→∆→∆+∆-=∆∆存在时，称

这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或00(,)|x y f

x

∂∂.

定义 1.2.3 设函数00(,)z f x y =在区域D 上每一点(,)x y 都存在关于x （或对y ）的偏导数，则得到函数(,)z f x y =在区域D 上对x （或对y ）的偏导函数（也简称偏导数），记作(,)x f x y 或

(,)

f x y x ∂∂ （(,)y f x y 或 (,)f x y y

∂∂），也可简单地写作,x x f z 或 (,y y f

f z x ∂∂或f y

∂∂）.

1.3 微分方程[3]

定义 1.3.1 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 定义 1.3.2 未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程.

定义 1.3.3 未知函数为多元函数并出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程.

定义 1.3.4 如果方程F (,,,n n dy d y x y dx dx …,)=0的左端为y 及,,,n n dy d y x y dx dx …,的

一次有理整式，则称F (,,,n n dy d y

x y dx dx

…,)=0为n 阶线性微分方程.一般n 阶线性微分

方程具有形式

1111()()()()n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx

---=++++… 这里11(),(),()n n a a x a x f x -(x),… 是x 的已知函数.

不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程.例如，方程

22sin 0d g

dt l

ϕϕ+= 是二阶非线性微分方程.

2. 基本性质

2.1 微分中值定理[1]

2.1.1 （Lagrange 中值定理）若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；

（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导，

则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得 '

()()

()f b f a f b a ξ-=

-.

证：作辅助函数 ()()

()()()f b f a F

x f x f a x a b a

-=----（） 显然，()F a F b =（）（=0）

，且F 在[,]a b 上满足罗尔定理的另两个条件，故存在(,)a b ξ∈，使''()()()()0f b f a f f b a ξξ-=-

=-，移向后即得'()()

()f b f a f b a

ξ-=-.