刚体的质心

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刚体作定轴转动时,可令 z 轴与转轴重合,则 x y 0 , 故 ω z k ,β z k 。前文定轴转动中讲到的 ω 和 正是 这里的 z 与 z ,它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转 轴(即 z 轴)上的投影。今后为明确起见,凡涉及角速度投影, 均附以角标。
7.6.1
§2 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因, 只有给出刚体上所有质元的运动状况,才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中,刚体上任意两质元连线的空间方向始终保 持不变,这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞 的往返等都是平动。
注:对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长不同, 即各质点的位移、速度、加速度(线量)各不相同,但各个质 点角位移 ,角速度 、角加速度 (角量)都相同。由 转动平面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见,角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
(对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析,从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件) →刚体三维运动。研究刚体力
学时,设想将它分割成许多部分,每一部分都小到可看作质点, 叫作刚体的“质元”,对于刚体,它的任意两质元之间的距离 保持不变,因此,刚体就像是一个冻结的质点系,由于每个质 元服从质点力学规律,由此出发,就能推演出刚体的运动规律。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ,j 是任意两个质元,所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度,各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察, 时针转动; 0 ,刚体顺时针转动。
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
d lim t 0 t dt
0 ,刚体逆
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时, 刚体作加速运动;反之,转速减小,作减速运动。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动, 只有“正”“反”两种转动方向,通 过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时,其转轴 的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转 d ω ω 轴的方位,可以统一地用角速度矢量 来描述。 的大小 dt 是 ,
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用 于刚体转动,也适用于质点的运动。在定轴转动下,可利用 ω 将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。 ω ω
v
r r
原点在圆心的情况
v
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率,角加速度也是矢量:
dω β dt
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
ω x i z j y k, β x i y j z k
其中
d y d x d z x , y , dt dt dt
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动,这条直线称为转轴,转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动,门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系,而转轴的方向在变动,这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明:刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动(定 轴转动或定点转动)的叠加,例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时,通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面,如图所示,通过分析,转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了,整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P,P在这一转动平面内绕O点作圆周运动,用矢径 r 与Ox 轴间
四、刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动,且这些平面均与一固定平面 平行,称作刚体作平面运动,其特点是,刚体内垂直于固定平
面的直线上的各点,运动状况都相同。根据此特点,可利用与
这是刚体力学研究的基本方法。
二、本章的基本要求
1. 理解描写刚体定轴转动的物理量(角坐标、角位移、角速 度和角加速度)并掌握角量与线量的关系; 2. 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量;
3. 掌握刚体定轴转动的动力学规律;
4. 了解刚体平面平行运动的特点。
三、wenku.baidu.com章的思考题及练习题
1. 思考题:在教学过程中布置; 2. 练习题:7.1.5 7.2.3 7.3.6 7.4.2 7.5.2 7.5.4 7.5.7
第七章 刚体力学
(Chapter 7 Mechanics of a rigid body)
前言 刚体运动的描述
刚体的动量和质心运动定理
刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡
自转与旋进
§1 前

一、本章的基本内容及研究思路
前面几章讨论了质点和质点系的运动规律,本章将讨论具 有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体 的运动一般是较复杂的,它可以平移、转动,还可能发生形变。 为了使问题简化,一般假定物体无论受多大外力或转动得多快 都不变形,并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是:刚体运动学→刚体 动力学(刚体定轴转动,刚体的平面平行运动) →刚体静力学
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置, 称为角坐标, 规定逆时针方向转动的 为正,顺时针方向为负。
z
转轴
t ——刚体绕定轴
O 转动平面

P
x
参考方向
转动的运动学方程。
描述 不同位置质元在 t 时间内的角位移 都相同,可见, 的是整个刚体转过的角度,故称为刚体转动的角位移。
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