电子电工技术第四章 电路的暂态过程分析

1S
i
t=0
+
2
U
_
+
R uR
_
+
C _uC
1S
i
t=0
+
2
U
_
根据基尔霍夫电压定律，
+ 列出t≥0 时的电路方程
R uR
_
uR uC 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
+
C _uC
将 i C duC
dt
和 uR Ri
代入上面的方程：
这是一阶线性常系数齐次微分方程，
RC
duC dt
uC
0
初始条件 uC (0 ) U uC (0 ) 令此方程的通解为 uC Ae pt ，得：
i C duC
US
t
e
dt R
t
uR Ri U S e
曲线分别为 uC 、uR 、i 随时间变化的曲线。
uC US
uC
uC"
uR,i
US
t
US
uR
uC'
R
i
t
-US
在分析较为复杂电路的暂态过程时，也可以应用戴维宁 定理或诺顿定理将换路后的电路化简为一个简单电路，然后 再利用经典法求解电路。
与经典法相比较，三要素法省略了求解微分方程的过程， 简便易行，所以在电路的过渡过程分析中得到了广泛的应用。 但在使用一阶电路的三要素法对电路进行暂态分析时应当注 意：三要素法仅适用于直流电源作用下一阶线性电路暂态过程 的分析，对二阶以及二阶以上的电路并不适用。
i 10K
ic(0+) 10K
+ 10V _
40K
ic +
_ uc
+ 10V _
+ _ 8V
S
解：t 0 时，电容相当于开路，可得
10 40 uC (0 ) 10 40 8V
由换路定则：
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画出 t 0 时刻的等效电路如右图所示，可得
iC
(0
)
10 10
uC uC uC
齐次方程的解
t
uC Ae
非齐次方程的特解 uC 即是充电结束后电路达到新的稳态时
电容两端的电压。因此，我们容易得到
所以
uC U S
t
uC uC uC Ae U S
将初始条件 uC (0 ) uC (0 ) 0 代入上式得 A U S
因此
t
t
uC U S U S e U S (1 e )
特征方程 RCp 1 0
特征根： p 1
RC
将初始条件代入方程的通解，得积分常数 A uC (0 ) U
可得：
uC
Ae pt
1t
Ue RC
可以看出，电容两端的电压是按照指数规律衰减的，衰
1
减的快慢取决于 RC ，定义参数：
RC
称为 RC电路的时间常数，如果电阻 的单位是欧姆
（Ω），电容的单位是法拉（ F），则 的单位是秒（s）。
3103 9 (6 3) 103
3V
利用戴维宁定理求等效电阻的方法，求出从电容二端看
进去的等效电阻 R0（电压源短路）
R0
R1R2 R1 R2
(6 3) 106 (6 3)103
2103
2
kΩ
所以，戴维宁等效后的电路如图所示，电路的时间常数 为
R0C 2 103 1000 1012 2 106 s
R1 1 2
S
t=0 i
+
R2
u +
uC_
C
R _
R3
R3C 3103 1106 3103 s
uC
t
uC (0 )e
t
uC (0 )e
6e3.3102 tV
i C duC 2e3.3102 t mA dt
二、RC电路的零状态响应
电路中的电容元件在换路前没有初始储能，即 uC (0 ) 0 ，换路后由外接激励引起的电路响应，称为RC电路的零状态
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
Uc US
U0
uC" 稳 态 分 量
uC 全 响 应
0 U0-US
t
uC' 暂 态 分 量
Uc US uC
U0 0
全响应
零状态响应 零输入响应
t
例 4-5 在图示电路中，开关合在位置1时电路处于稳定状态，
如在 t 0 时将开关合在位置2上，求换路后电容元件上电
间为从0到 0。根据理论分析计算表明，从 0 到0 瞬间，电
容元件上的电压和电感元件中的电流不能发生跃变，因此换路
定则用公式表示为
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定 t 0 时刻
电路中的电压与电流，也就是暂态过程的初始值。
只有电容元件二端的电压 uC (0 )和电感元件中流过的电流 iL (0 ) 满足换路定则，而电路中其它参数的初始值如 iC (0 ) 、
画出 t 0 时刻的等效电路如右图所示，可得
uL (0 ) 2 4 8V
第二节 RC电路的响应
根据激励（电源电压或电流），通过求解电路的微分方程 得出电路的响应（电压或电流），这种分析电路的方法称为经 典法 。
一、RC电路的零输入响应 电路的外接激励为零，而由电容元件的初始储能引起的电 路响应，称为RC电路的零输入响应。
第四章 电路的暂态过程分析
第一节 储能元件和换路定则 第二节 R C电路的响应 第三节 一阶线性电路暂态分析的三要素法 第四节 R L电路的响应
本章要求：
1. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、 全响应的概念，以及时间常数的物理意义。
2. 掌握换路定则及初始值的求法。
3. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
0
从理论上讲电容二端的电压经过无限长时间才能衰减至零
，但在工程上一般认为换路后，经过4 ~ 5 时间过渡过程即结
束。如图所示曲线分别为 uC 、i 、uR 随时间变化的曲线。
uC,uR
i
U
uC
t
t
uR
-U
US R
例 4-3 在图中，开关S长期合在位置1上，当t 0 时把它
合在位置2上，求换路后电容元件上电压uC和放电电流 i 。
第一节 储能元件和换路定则
由于电路结构（例如电路的接通、断开、短路等）或参
数的变化而引起电路从一种状态转变到另一种状态称之为换路
。
当初始时刻无储能，电容、电感中储存的能量与任一时刻
电压与电流的关系为
WC
1 2
Cuc
2
WL
1 2
LiL2
我们将换路的那一瞬间定为 t 0 ，把换路前的最终时刻定 为 t 0，将换路后的最初时刻定为 t 0，这样换路经历的时
)
在 t≥0时，根据基尔霍夫电流定律列出电流方程
uC
i1 i2 iC 0
由元件的伏安特性关系有
U1 uC uC C duC 0
R1
R2
dt
整理后得
R1C
duC dt
(1
R1 R2
)uC
U2
这是一阶常系数非齐次微分方程，将各元件的参数代入，根 据前面介绍的解法，可得
R0C
R1R2 R1 R2
t
uC (U0 U S )e U S
对于上式，等式右边第一项是暂态分量，它随着过渡过 程的结束而趋于零，第二项是稳态分量，它等于电路中施加 的独立电源电压。因而从普遍意义上讲，我们有
全响应 = 暂态分量 + 稳态分量
上式还可以写成：
t
t
uC U0e US (1 e )
上式中我们又看到，等式右边第一项是当外接独立电源 为零时，电容具有初始储能时的零输入响应，而第二项是当 电容没有初始储能而外接独立电源时的零状态响应，二者根 据叠加定理就构成了
设一阶线性电路中所求变量为 f (t) ，变量的初始值为 f (0 ) ，变量在过渡过程结束后的稳态值为 f () ，时间常
数为 ，则我们可直接写出全响应的表达式为
f (t)
f ' (t)
f "(t)
f () [ f (0 )
t
f ()]e
式中，f '(t) 和 f "(t) 分别表示全响应中对应齐次方程的解和对 应非齐次方程的特解。
压uC和电流 iC。已知 R1 1k ，R2 2k ，C 3 F ，U1 3V ，
U2 5V 。
1S
R1
i1
i2
+ 2 t=0
U1
+
_
U2
_
iC +
C
uC R2
_
解：开关在位置1时，电容相当于开路，电阻 R1、R2串联，
则有
uC
(0
)
R2 R1 R2
U1
2 103 (1 2) 103
3
2 (V
uL (0 )、iR (0 ) 、uR (0 )等都不满足换路定则。
初始值是暂态过程分析的关键，其求解步骤如下：
（1）先由t
0
时的电路求出
iL (0
)或
uC
(0 )。换路前如果储能元
件储有能量，并设电路已处于稳态，则在 t 0 时的直流
电路中，电容元件可视作开路，电感元件可视作短路。
（2）由换路定则，求出 uC (0 ) 、iL (0 ) 。 （3）画出t 0时刻的等效电路，电容用电压为uC (0 ) 的电压源
3
uC
10 3
4 e 500t 3
所以:
iC
C duC dt
2e500t
第三节 一阶线性电路暂态 分析三要素法
一般情况下，如果电路中只有一个储能元件或可等 效为一个储能元件的线性电路，称为一阶线性电路，描 述一阶线性电路的微分方程都是一阶常系数线性微分方 程。
通过对一阶线性 电路的全响应分析知道，全响应可 看成是暂态分量和稳态分量的叠加，从公式4-15可知， 只要我们确定了所求变量的初始值、过渡过程结束后的 稳态值、时间常数这三个量值，就可以直接写出在直流 电源作用下一阶电路全响应的表达式，这种方法称为一 阶电路的三要素法。
C
1103 2103 (1 2)103
3106
2103 s
齐次方程的解
uC
t
Ae
Ae V 500t
非齐次方程的特解
uC
R2 R1 R2
U2
2 103 (1 2) 103
5
10V 3
所以：
uC
uC
uC
10 3
Ae500t
将 uC (0 ) uC (0 ) 2 V，代入上式有 A 4 ，得
例4-4 uC (0 )
在图示电路中, U 9 V , 0,试求 t ≥ 0 时的电压
Ru1 C。6k , R2
3k,
C
1000
pF,
S
R1
i
R0
+
t= 0
+
+
+
U
_
R2
C
_ uC
E
uC
_
_
解：首先，根据戴维宁定理，将除电容以外的电路用戴维 宁等效电路代替。 戴维宁等效电压源的电压为
E
R2U R1 R2
响应。
i
+
US
_
S +
t=0
uR _
R +
C _ uC
动画演示
列出t≥0的电路方程： uR uC U S
将i C duC
dt
和 uR
Ri 代入上面的方程：
RC
duC dt
uC
US
这是一阶线性常系数非齐次微分方程，通常方程的通解
由二部分组成，即对应齐次方程的解 uC 和非齐次方程的
特解 uC 组成。
可以求出t ≥0时电容器上的放电电流和电阻R上的电压
分别为:
iC
duC
C
d
t
(Ue
) U
t
e
dt dt
R
t
uR Ri Ue uC
表4-1给出了在不同的时间常数情况下，电容两端电压随
时间的变化规律。
表4-1 电容二端电压随时间的变化规律
t
0
2 3 4 5
uC (t) U 0.368U 0.135U 0.05U 0.018U 0.007U
在含有电感、电容元件的电路中，当电路的结构 或元件参数发生变化时（如电路的电源断开或接入、 元件参数的变化、电路结构的变化等），电路就会从 一种稳定状态（电压、电流已达到稳定值）转变到另 一种稳定状态，这种转变需要经历一个时间过程，我 们将这个时间过程称之为过渡过程。一般情况下过渡 过程持续时间非常短暂，所以也称暂态过程。
8
0.2mA
例4-2 如图所示的电路在换路前已处于稳态，在 t 0时闭
合开关S，试求换路后的 iL (0 )、uL (0 ) 。
1
4
1
4
+
10V
S
_
+
+
u_L L
10V _
S
+
u_L L
解：t 0 时，电感相当于短路，可得
iL
(0
)
10 1 4
2A
由换路定则： iL (0 ) iL (0 ) 2A
已知 R1 1k ，R2 2k ，R3 3k，C 1 F，电流源 IS 3mA。
解：在t 0 时，电容相当于开路，
则按图所标出 i 和 uC 的参考
方向，则t≥0时有：
uR uC 0
IS
因为： uR R3i
i C duC dt
由此得：
R3C
duC dt
uC
0
由前面的RC电路的零输入分析有
方程
i
+
US
_
S +
t=0
uR _
R +
C _ uC
uR uC US
将电容元件的伏安特性关系 i C d uC
上式有
dt
和欧姆定律
uR
Ri 代入
RC
duC dt
uC
US
将初始条件 uC (0 ) uC (0 ) U0 代入到解
uC
uC'
uC"
t
Ae
US
中,可得 因此：
A U0 US
替代，电感用电流为iL (0 )的电流源替代。而当 uC (0 ) 0 iL (0 ) 0 时，电容可用短路替代，电感可用开路替代。
（4）由 t 0 的电路求所需的 u(0 ) 、i(0 ) 。
例4-1 如图所示的电路在换路前已处于稳态，在 t 0 时
打开开关S，试求换路后的 uc (0 ) 、ic (0 ) 。
uC
t
E(1 e
)
3(1
t
e 2106
)
3(1
e5105 t
)
三、RC电路的全响应
由电容元件的初始储能和外接激励共同作用所产生的电路
响应，称为RC电路的全响应。
在图示电路中，电容元件
已具有初始储能 uC (0 ) U0 ＜U S
当开关S在 t 0 时刻合向电路 ，根据KVL，列出t ≥ 0 的电路