线性代数期末复习提纲

★ 线性代数基本内容、方法及要求

第一部分 行列式

【主要内容】

1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克拉默法则

2、方阵的行列式

3、几个重要公式：（1）

T

A A ； （2）A

A 11

； （3）A k kA n

； （4）1

*-=n A

A ； （5）

B A AB =； （6）

B A B

A B

A ==

**

0；

（7）

j i j i A A a n

i ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n

j ij ij ，，01 （其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）

4、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；

（2）利用行列式的展开定理降阶； （3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值

【要求】

1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。

2、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。

3、会计算简单的n 阶行列式。

4、知道并会用克拉默法则。

第二部分 矩阵

【主要内容】

1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

3、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A

⇔n A R =)( ⇔0=AX 只有零解

⇔b AX =有唯一解

⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。

4、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

5、等价矩阵的定义、性质、判定。

6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。 【要求】

1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对

称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

第三部分 向量组的线性相关性

【主要内容】

1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：n ααα,,,21K ，向量组B ：

m βββ,,,21K ，则

（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔),,,,(),,,(2121b R R n n ααααααK K = （2）向量组B 可被向量组A 线性表示

⇔),,,,,,,(),,,(212121m n n R R βββααααααK K K =

（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：

),,,,,,,(),,,(),,,(21212121m n m n R R R βββαααβββαααK K K K ==

2、向量组的线性相关性

判别向量组s ααα,,,21K 的线性相关、线性无关的常用方法：

方法一：（1）向量方程02211=+++s s k k k αααK 只有零解⇔向量组s ααα,,,21K

线性无关；

（2）向量方程02211=+++s s k k k αααK 有非零解⇔向量组s ααα,,,21K 线

性相关。

方法二：求向量组的秩),,,(21s R αααK

（1）秩),,,(21s R αααK 小于个数s ⇔向量组s ααα,,,21K 线性相关 （2）秩),,,(21s R αααK 等于个数s ⇔向量组s ααα,,,21K 线性无关。

3、向量组的最大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。

4、等价向量组的定义、性质、判定。

5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。 【要求】

1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。

2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。

3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其最大无关组。

4、了解向量空间及其基和维数的概念。

第四部分 线性方程组

【主要内容】

1、齐次线性方程组0=Ax 只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；

2、齐次线性方程组0=Ax 有非零解⇔系数矩阵A 的秩<未知量个数n .

3、非齐次线性方程组b Ax =无解⇔增广矩阵),(b A B =的秩≠系数矩阵A 的秩；

4、非齐次线性方程组b Ax =有解⇔增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔非齐次线

性方程组b Ax =有唯一解；

2）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩< 未知量个数n ⇔非齐次

线性方程组b Ax =有无穷多解。

【要求】

1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，

2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。

3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。

4、会求解非齐次线性方程组。

第五部分 相似矩阵及二次型

【主要内容】

1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。

2、向量的正交关系及正交向量组的含义。

3、施密特正交化方法。

4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。

（1）特征值求法：解方程0=-A E λ；

（2）特征向量的求法：求方程组()0=-X A E λ的基础解系。

5、相似矩阵的定义（B AP P =-1

）、性质(B A ,相似)()(B R A R =→、B A =、B A ,有相同的特征值)。

6、用正交变换法化二次型为标准形的步骤: （1）写出二次型的矩阵A .

（2）求出A 的所有特征值n λλλ,,,21K

（3）解方程组0)(=-X A E i λ（n i ,,2,1Λ=）求对应于特征值n λλλ,,,21K 的特

征向量n ξξξ,,,21K

（4）若特征向量组n ξξξ,,,21K 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交

的向量组n ηηη,,,21K ，记),,,(21n P ηηηK =，对二次型做正交变换Py x =,