代几综合题(含答案)
苏教版六年级数学下册试题 一课一练 《数与代数-应用题综合》 习题【含答案】
《数与代数-应用题综合》习题1.三、四年级同学共植树256棵，四年级比三年级多植树30棵，求三、四年级同学各植树多少棵？2.体育老师买篮球和足球共10个，用去740元钱。
每个篮球78元，每个足球68元。
篮球和足球各几个？3.笼子里有鸡与兔共8只，一共有26只脚，求鸡与兔各有多少只？（1）可以这样想：先假设笼子里全部都是鸡，那么一共有（）只脚，比应有脚的只数少（）只，这是因为把兔当成鸡后，每只少算了（）只脚，由“一共少的脚的只数÷每只兔少算的脚的只数”可以算出（）的数量是（）只。
（2）也可以这样想：先假设笼子里全部是兔子，那么一共有（）只脚，比应有的脚的只数多（）只，这是因为把鸡当成兔子后，每只多算了（）只脚，由“一共多的脚的只数÷每只鸡多算的脚的只数”可以算出（）的数量是（）只。
4.两筐苹果共有296个，如果从第一筐中拿24个放到第二筐中，那么第二筐的苹果个数比第一筐的苹果个数还多4个。
两筐原来各有多少个苹果？5.米德家有梨和苹果一共3000斤，其中苹果的重量是梨的6倍还多200斤，问米德家有多少斤的苹果？6.一个除法算式，商是5，余数是1，被除数、除数、商和余数的和是109，除数是多少？7.甲乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆汽车，又从乙站开出45辆，这时乙站停的汽车辆数是甲站的2倍，原来甲乙两站各停放了多少辆汽车？8.甲、乙两个粮仓存粮吨数相等，甲仓取出80吨，乙仓取出50吨后，乙仓存粮的吨数是甲仓的2倍。
甲仓原来存粮多少吨？9.有乒乓球160个，白色乒乓球比黄色乒乓球的3倍还差8个，求黄、白乒乓球各有多少个？10.米德和卡尔各有钱若干元，若米德给卡尔24元，两人钱数就相等；如果卡尔给米德30元，则米德的钱数就是卡尔的3倍，米德和卡尔原来各有钱多少元？11.大水池里有水2600立方米，小水池里有水1200立方米，如果大水池里的水以每分钟23立方米的速度流入小水池。
中考压轴题代几综合题
❖ 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求 解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
分类常见的依据是：
❖ 一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角 可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是 对应角；
在中考试卷中，代成.
► 热考一 坐标系中的几何问题
❖ 本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何 图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求 出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索 研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三 角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、 梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④ 探究线段之间的位置关系等．
❖ 二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一 个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以 是三角形，也可以是四边形、五边形等；
❖ 三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端 点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．
► 热考二 动点问题
❖ 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的 眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变 化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关 系，并特别关注一些不变量和不变关系或特 殊关系；在求有关图形的变量之间关系时， 通常建立函数模型或不等式模型来求解；求 图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时， 通常建立方程模型求解
二、应用举例 [2012·北京]
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－m－4 1x2＋54mx＋m2－3m ＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求 B 点的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点 运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，
专题10 代几综合题中的新定义-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (解析版)
专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】 二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
dd12-秋-09s-p06 一模 代几综合题
专题五 2012年一模 代几综合题一、因动点特殊情况产生相似【例1】 （石景山）已知二次函数)34()22(22-+++-=m m x m x y 中，m 为不小于0的整数，它的图像与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD=AC （D 在线段AB 上），有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，求四边形ACQD 的面积．二、动点产生图形【例2】 （延庆） 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数213y ax x c =++的图像经过原点及点1,2A （），与x 轴相交于另一点B 。
（1）求：二次函数1y 的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线1y 以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数2y ,已知二次函数2y 与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点. 点P 在线段OC 上，从O 点出发向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线AO 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF （当P 点运动时，点D 、点E 、点F 也随之运动）； ①当点E ②若点P 从O 出发向O 运动）。
过Q 点作x 运动时，点G 、点M三、简单几何最值+面积问题【例3】 （昌平） 如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得△PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，1S S 9PDEABMC =四边形．四、坐标系内等面积问题【例4】 （顺义）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =++经过点A （−4，0）和点B （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A’，点B 的对应点为B’，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P ，使'OA P △的面积与四边形AA’B’B 的面积相等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．五、坐标系内特殊三角形、四边形与相似【例5】 （房山）如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线28166y ax ax a =＋＋＋经过点B （0，4）.⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，过点D 、B 作直线交x 轴于点A ，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为-4，联结BC 、AC.求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB 沿y 轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A B ''、，是否存在直线l ，使A B C ''是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．图⑴ 备用图【例6】 （门头沟）在平面直角坐标系中，二次函数322-+=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点E .点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行. 一次函数y=－x ＋m 的图象过点C ，交y 轴于D 点. （1）求点C 、点F 的坐标；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标.【例7】 （朝阳）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【例8】 （怀柔）如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O C D B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；（3）连接OA ，AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得OBP △与OAB △相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．【例9】（燕山）已知点11,2A⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线213y x bx c=++上，点11,22F⎛⎫-⎪⎝⎭在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由.（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论.六、轴对称问题【例10】 （密云）已知：在平面直角坐标系xoy 中，抛物线245y ax x =++过点A （－1，0），对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ． （1）求a 的值及对称轴方程；（2）设点P 为射线BC 上任意一点（B 、C 两点除外），过P 作BC 的垂线交直线AB 于点D ，连结PA ．设△APD 的面积为S ，点P 的纵坐标为m ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）设直线AB 与y 轴的交点为E ，如果某一动点Q 从E 点出发，到抛物线对称轴上某点F ，再到x 轴上某点M ，从M 再回到点E ．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M 的坐标和运动的最短距离．【例11】（丰台）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点()23P ，为圆心的圆与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．如果存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．【例12】 （东城）如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232y x bx c =++的图象与x 轴交于1,03,0A B -（）、（）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.【例13】（西城）平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．【例14】 （大兴）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，直线)0,2121(332≠≤≤-+=k k m kx y 其中经过点()A ,且与y 轴相交于点C .点B 在y 轴上，且7OB OA =+-. △ABC 的面积为S . （1）求m 的取值范围; （2）求S 关于m 的函数关系式;（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 折叠得到C B A '∆，求点B '的坐标.七、平面解析几何思想渗透【例15】（海淀）已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B .（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM S ∆=, 求点M 的坐标； （3）如图2，若点P 在第一象限，且PA =PO ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D . 将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探究四边形OABC 的形状，并说明理由.【例16】（平谷）已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点2(3,1)E k k +-+和 2(1,1)F k k ---+（2k ≠-）．（1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线2142y x bx =-++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式．(3)当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F ．BAMCDOPQxy【例17】（通州）已知：如图，二次函数()214y a x =+－的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，点C 是二次函数()214y a x =+－的图象的顶点，2CD =（1）求a 的值.（2）点M 在二次函数()214y a x =+－图象的对称轴上，且∠AMC =∠BDO ，求点M 的坐标． （3）将二次函数()214y a x =+－的图象向下平移0k k （＞）个单位，平移后的图象与直线CD 分别交于E 、F 两点（点F 在点E 左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为1C ，与y 轴的交点为1D ，是否存在实数k ，使得1CF FC ⊥，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。
中考数学专题复习：代几综合题—以代数为主的综合
代几综合题（以代数为主的综合）典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径 最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点． （1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
2020年数学中考复习,几何代数综合压轴题解析(三)
2020年数学中考复习，几代综合压轴题解析（三）1.(2019.眉山)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-94x 2+bx+c 经过点A(-5,0)和点B （1，0）.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN=∠DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求AN 的长；若不存在，请说明理由。
解析：（1）将A(-5,0)和点B （1，0）代入y=-94x 2+bx+c ，可得b=-916,c=920∴抛物线的解析式:y=-94x 2-916x+920,D （-2，4）.（2）设P （m,-94m 2-916m+920）,根据对称性可得GP=-4-2m 。
矩形PEFG 的周长=2（PE+PG ）=2（-94m 2-916m+920-4-2m ）=-98（m+417）2+18225 当m=-417时，矩形PEFG 的周长有最大值，即P 的点的横坐标为m=-417。
（3）由A(-5,0)和点B （1，0），D （-2，4）可求得AB=6,AD=DB=5。
①当MD=MN 时，由∠DBA=∠MAB,∠BDM=∠AMN.可证得△MBD ≌△NAM, ∴AN=MB.又∠DMN=∠DBA=∠DAB ，∠MDN=∠ADM,∴∠DNM=∠AMD ∴△ADM 是等腰三角形，即AM=AD=5，∴AN=MB=6-5=1②当ND=MN 时，∠NDM=∠DMN=∠DBA,又∠DAM 是公共角， ∴△ADM ∽△ABD ，∴AD 2=AM ·AB,可求得AM=625，BM=611 又△ANM ∽△BMD,∴DBAM=MB AN , 可得AN=3655。
③当ND=MD 时，可得∠DNM=∠DMN,又知∠DMN=∠DBA=∠DAB ，而发生了∠PNM=∠PAM,显然 这种情况不成立。
(王云松)北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇2
北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编整理 北京市二十中学 王云松2012-6-7代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。
其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。
【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.备用图【参考答案】24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =. ∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO , ∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得 直线AC '的解析式为321+=x y . 由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G , 过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-.[注]在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的坐标，可使解答简捷。
初三代几综合题
（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标； （2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析 式，并确定的取值范围； （3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移 多少个单位长度？ A B C O x y
8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两 点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4， 0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限， 设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标； （2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
3．如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位
的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．
两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．
（1）梯形的面积等于
；
（2）当时，点离开点的时间等于 秒；
（3）当三点构成直角三角形时，点离开点的时间是
8．（2010
江苏省徐州市）如图①，将边长为4cm的正方形纸
片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、
CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD 交于点
P，连接EP． （1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长 cm；②求证：EP=AE+DP； （2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重 合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．
2012北京各区第一学期期末代几综合题
xy 2012北京各区第一学期期末代几综合题（丰台）25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1：212.y x x =-+（1）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及它的解析式．（2）如果x 轴上有一动点M ，那么在两条抛物线C 1、C 2上是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（石景山）25．如图，矩形'''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'OO 、两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式； （2）求边''A O 所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M PO S S ''3∆∆=,若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（怀柔）25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（顺义）25已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为32 的等边ABC △随着顶点A 在抛物线x x y 322-=上运动而运动， 且始终有BC ∥x 轴．（1）当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛物线上？ （2）ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上 下两部分的面积之比为1∶8（即8:1:=下部分上部分S S ）时，求顶点A 的坐标；（3）ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写 （4）出顶点C 的坐标．（昌平）25.如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （-1，0），且经过直线y =x -3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）求抛物线的顶点M 的坐标； （4）在直线y =x -3上是否存在点P ，使△CMP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．（通州）24．如图，四边形ABCO 是平行四边形，42AB OB ==，，抛物线过A B C 、、三点，与x 轴交于另一点D .一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ， 当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？( 3 ) 当t 为何值时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点 Q B O 、、为顶点的三角形相似？（海淀）25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长； （3）连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为33，请直接写出此时E 点的 坐标.（通州）22．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A B ，两点，开口向下的抛物线经过点A B ，，且其顶点P 在⊙C 上． （1）求ACB ∠的大小；（2）写出A B ，两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（大兴）25.已知二次函数21342y x x =-+. （1）求它的对称轴与x轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M ，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，连结AC 、BC,若∠ACB =90°. ①求此时抛物线的解析式； ②以AB 为直径作圆，试判断直线CM 与此圆的位置关系，并说明理由.（门头沟）25. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.（东城）25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC G 的坐标；若不存在，请说明理由．（平谷）24. 如图，一次函数的图象与反比例函数y 1= – 3x (0)x < 的图象相交于A 点， 与y 轴、x 轴分别相交于B 、C 两点，且C （2，0).当1x <-时，一次函数值 大于反比例函数的值，当1x >-时，一次函数值小于反比例函数值. （1）求一次函数的解析式；（2）设函数y 2= a x (0)x > 的图象与y 1= – 3x (x <0)的图象关于y 轴对称.在y 2= ax (0)x > 的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标. 解：(延庆)25．已知二次函数m x mx y 43212-+-=的图象与x 轴交于点A （4,0）、点B ，与y 轴交于点C 。
代几综合题(题目部分)
代几综合题一直是大家的弱项，这个寒假希望同学们有所改善，考虑到大家自己找题很困难，故为同学们安排了练习，请认真完成！请先做56到75，再从1到55，其实题目都不错，只是后面的题目是近年的。
请同学们做的时候关注一下老师对题目的点评！请尽量不要移动图像，按照我排好的格式打印.1、图9是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min)的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？（2）汽车在中途停了多长时间？（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式.2、（04河北）如图15—1和15—2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图15—1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图15—2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？点评：很好的一道和一次函数有关的点运动的问题！MB1AB图15—1ON PQ MCAB图15—23、记三角形三边长为a 、b 、c ，对应边上的高为a h 、b h 、c h ，请解答： （1）已知a h ：b h ：c h 4:3:2 ，且这三角形周长为26cm ，求a 、b 、c . （2）若三角形的三条高分别为2、x 、6，求x 的取值范围. （3）若三条高分别为2、x 、6的三角形是直角三角形，求x .（4）若三条高分别为2、x 、6的三角形是等腰三角形，求这等腰三角形的三边长. 点评：这种类型的题我们平时做的少，遇到了一定要弄明白！4、（04河北）探索下列问题：（1）在图12—1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；（2）一条竖直方向的直线m 以及任意的直线n ，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S 1和S 2.①请你在图12—2中相应图形下方的横线上分别填写S 1与S 2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）； ②请你在图12—3中分别画出反映S 1与S 2三种大小关系的直线n ，并在相应图形下方的横线上分别填写S 1与S 2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）.（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图12—4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由.图12—1图12—3 图12—4图12—2图4 P N M CBA Oy x 5、（04上海）如图４，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG=DG ．（无答案，自己证明）6、（04苏州）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）。
dd12-秋-09s-p10 二模 代几综合题
七、抛物线+图形变换+几何最值
【例8】（丰台）如图，将矩形 置于平面直角坐标系xOy中， ．
(1)抛物线 经过点B、C，求该抛物线的解析式；
(2)将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度 ，在旋转过程中，当矩形的顶点落在(1)中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；
十三、抛物线+相似
【例15】（怀柔）如图，已知抛物线过点 ，且在 轴上截得 线段 长为 ，若顶点 的横坐标为 .
(1)求二次函数的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上找一点 ，使 最小，求出点 的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点 ，使 与 相似？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）结合以上信息及图2填空：图2中的 ；
（2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长；
（3）若OM是∠AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。
8
二、动点+面积问题
【例2】 （门头沟）如图，在直角坐标系中，梯形 的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为 ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P从A点出发，在AB边上匀速运动.动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.
五、等腰+动点与图形面积
【例5】 （平谷）如图，抛物线 与 轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C．
七下数学期末代几综合题
初一下期终压轴题训练1.（10703黄陂区）如图，直线AB∥CD(1) 在图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为（不需证明）在图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为（不需证明）(2) 如图3，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E及∠F互补，求∠FME的大小(3) 如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，E Q∥NP，则∠FE Q的大小是否发生变化，若变化，说明理由；若不变化，求∠FE Q的度数2（10704二中广雅）.如图1，已知直角梯形ABCO 中，∠AOC=90°，AB ∥x 轴，AB=6，若以点O 为原点，OA 、OC 所在直线为y 轴和x 轴建立如图所示直角坐标系，A （0，a),C(c,0）中，a ，c 满足0710=-+-+c c a（1）求出点A 、B 、C 的坐标；（2）如图2，若点M 从点C 出发，以2单位/秒的速度沿CO 方向移动，点N 从原点出发，以1单位/秒的速度沿OA 方向移动，设M 、N 两点同时出发，且运动时间为t 秒，当点N 从点O 运动到点A 时，点M 同时也停止运动，在它们的移动过程中，当2ABN OMBN S S ∆≤四边形时，求t 的取值范围；（3）如图3，若点N 是线段OA 延长线上一动点，∠NCH=k ∠OCH ，∠CNQ=k∠BNQ ，其中k>1，NQ ∥CJ ，求ABNHCJ∠∠的值（结果用含k 的式子表示）。
3(10701洪山区)如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A(1，8)，B(1，6)，C(7，6)，点X、Y分别在x、y轴上(1) 请直接写出D点的坐标_________(2) 连接线段OB、OD，OD交BC于E，∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度数3个单位的速度向下运动，设运动的时间(3) 若长方形ABCD以每秒2为t秒，问在第一象限内是否存在某一时刻t，使△OBD的面积等于长方形ABCD的面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由4（10609二中周练六）平面直角坐标系中，A（a，b），B（2,2），且。
代几综合题复习
代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说,就是把代数中得数与式、方程与不等式、函数,几何中得三角形、四边形、圆等图形得性质，以及解直角三角形得方法、图形得变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。
经常考察得题目类型主要有坐标系中得几何问题(简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目得隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破;第三，要善于联想与转化,将以上得到得显性条件进行恰当地组合，进一步得到新得结论,尤其要注意得就是，恰当地使用分析综合法及方程与函数得思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
第一类：与反比例函数相关1．(０9北京）如图，点C为⊙Ｏ直径ＡB上一点，过点C得直线交⊙O 于点Ｄ、Ｅ两点，且∠ＡＣD=45°，于点F，于点G．当点Ｃ在AB上运动时，设，,下列图象中,能表示与得函数关系得图象大致就是（)2。
如图,在平面直角坐标系中，二次函数得图象经过正方形ABOC得三个顶点A、B、Ｃ,则m得值为．3。
（0９延庆）阅读理解：对于任意正实数,,,，只有当时，等号成立.结论:在(均为正实数)中，若为定值,则,只有当时，有最小值. 根据上述内容，回答下列问题：A B C D（1）若,只有当时，有最小值.(2）探索应用:已知，,点P为双曲线上得任意一点,过点作轴于点,．求四边形面积得最小值,并说明此时四边形得形状。
一象限上得点M(m,ｎ)(在Ａ点左侧)就是双曲线上得动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D。
过Ｎ(０，-ｎ）作ＮC∥x轴交双曲线于点E,交ＢD于点C．(１）若点Ｄ坐标就是（-8，０),求A、B两点坐标及k得值．(第4题)（２)若B就是ＣＤ得中点，四边形ＯBCE得面积为4，求直线CＭ得解析式.(3）设直线ＡM、BM分别与ｙ轴相交于P、Q两点,且MA=pMＰ,ＭＢ＝qMQ，求p－q得值.５．（0９、5西城）已知：反比例函数与在平面直角坐标系xOy第一象限中得图象如图所示，点A在得图象上，AB∥ｙ轴,与得图象交于点B,AＣ、BＤ与x轴平行,分别与、得图象交于点C、Ｄ、(1）若点A得横坐标为2,求梯形AＣBD得对角线得交点F得坐标;（2）若点Ａ得横坐标为m,比较△OBC与△ABC得面积得大小；(3）若△ABＣ与以Ａ、Ｂ、D为顶点得三角形相似,请直接写出点A得坐标、答案:（1）点F得坐标为、(2）、 (３）点A得坐标为6。
初三代几综合题
初三数学——代数与几何综合题【解题策略】1．认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；再将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论．2．分析结构理清关系——注意题目的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平行”的，还是“递进”的．这一点非常重要．3．从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析，架起连接代数与几何的桥梁关键点．灵活运用数学思想方法，如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等．【题型特点】一、用函数的观点看方程（组）和不等式（组）1．若关于x 的一元二次方程2250ax x +-=的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）．A ．3a <B ．3a >C ．3a <-D ．3a >-2．直线y 1=kx +b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式组mx ＞kx+b ＞mx －2的解集是______________．二、图形运动中的函数关系这通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化（或不变化），求对应的未知函数（即在求出解析式前不确定函数的类型）的解析式和自变量的取值范围．求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系．找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似等．求自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解．1．（2010桂林）如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC 于F ，设BE =x ，FC =y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．ADBFMNABCD2．如图，已知△ABC 中，BC =8，BC 边上的高h=4，D 为BC 边上一个动点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．3．如图，在直角梯形ABCD 中，DC AB ∥，90A ∠=︒，28AB =cm ，24DC =cm ，4AD =cm ，点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A 运动．当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD 的面积2(cm )y 与两动点运动的时间(s)t 的函数图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．4．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）．5．（2010成都）如图，在ABC △中，90B ∠=︒，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD 边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）7．如图，在Rt ABC∆中，90A∠=︒，6AB=，8AC=，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC⊥于Q，过点Q作QR BA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x=，QR y=．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）若点P使PQR∆为等腰三角形．请直接写出所有满足要求的x的值．AB CD ERPH Q三、坐标几何问题这通常是先给定直角坐标系和几何图形，求已知函数（即在求出解析式前就已知函数的类型）的解析式，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质．然后根据所求的函数关系进行探索研究，探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x 的值等；⑥直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等．求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）．1．（2009十堰）已知函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线xky =交于点A 、D ，若AB+CD= BC ，则k 的值为 ．2．（2010义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ；（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ．3．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C点时，Q 点随之停止运动．（1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒；（3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点的时间是 秒．Cxx4．（2009武汉）如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；2+x+1图象的（2）如图所示，设二次．．函数y=ax顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．6．（2008常州）如图，抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ，它的顶点为A ，连接AB ，把AB 所的直线沿y 轴向上平移，使它经过原点O ，得到直线l ，设P 是直线l 上一动点．（1）求点A 的坐标；（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标；（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S ，点P 的横坐标为x，当46S +≤≤+x 的取值范围．7．如图，已知抛物线与x 轴交于点(2 0)A -，，(4 0)B ，，与y 轴交于点(0 8)C ，．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？8．如图，在平面直角坐标系中，直线)0(21>+-=b b x y 分别交x 轴，y 轴于A ，B两点，以OA ，OB 为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以M （4，0），N （8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与△PMN 重叠部分的面积为S ．（1）求点P 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线b x y +-=21（b ＞0）上存在点Q ，使∠OQM 等于90°，请直接写出．．．．b 的取值范围；（4）在b 值的变化过程中，若△PCD 为等腰三角形，请直接写出．．．．所有符合条件的b 值．【中考汇编】1．（2009 山西省太原市） 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿 OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）．2．（2008 盐城） 如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O — C — D — O 路线作匀速运动．设运动时间为t （s ），∠APB =y （°），则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）．OPDCBAA ．B ．C ．D ．3．（2010 南京）如图，夜晚，小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他的影长y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间函数关系的图象大致为（ ）．4．（2009 湖北省襄樊市） 在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．5．（2009天津市）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中90AOB ∠=︒，2OA =，4OB =．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；B ．C．A ．D ．AB ．C ．D（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设O B x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．6．（2009 云南省昆明市） 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为（6，0），点B 的坐标为（4，3），点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t （秒）．（1）求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ （2）设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？（3）连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．7．（2010 内蒙古鄂尔多斯市） 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，159OA OC ==，，在AB 上取一点M ，使得CBM △沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作N 点． （1）求N 点、M 点的坐标； （2）将抛物线236y x =-向右平移(010)a a <<个单位后，得到抛物线l ，l 经过N 点，求抛物线l 的解析式； （3）①抛物线l 的对称轴上存在点P ，使得P 点到M N ，两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D 是线段OC 上的一个动点（不与O 、C 重合），过点D 作DE OA ∥交CN 于E ，设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值．若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．8．（2010 江苏省徐州市）如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点 P ，连接EP ．（1）如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长= cm ；②求证：EP=AE +DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．x9．（2010 青海省西宁市） 如图，直线y =kx －1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan ∠OCB =21．（1）求B 点的坐标和k 的值；（2）2若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx －1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（3）探索：①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是41；②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2010 福建省龙岩市） 如图①，将直角边长为ABC 绕其直角顶点C 顺时针旋转α角()090α<<°°，得111ABC AC △，交AB 于点D ，11A B 分别交于BC AB 、于点E F 、，连接1AB ．（1）求证：ADC ∆∽1A DF ∆； （2）若30α=°，求11AB A ∠的度数；（3）如图②，当45α=°时，将11A B C △沿C A →方向平移得22222A B C A C △，交AB于点G ，22B C 交BC 于点H ，设2CC x =（0x <<，ABC △与222A B C △的重叠部分面积为S ，试求S 与x 的函数关系式．11．（2009福建省泉州市）在直角坐标系中，点(50)A ，关于原点O 的对称点为点C ． （1）请直接写出点C 的坐标； （2）若点B 在第一象限内，∠OAB =∠OBA ，并且点B 关于原点O 的对称点为点D ． ①试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；②现有一动点P 从B 点出发，沿路线BA —AD 以每秒1个单位长的速度向终点D 运动，另一动点Q 从A 点同时出发，沿AC 方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB =6，设点P 、Q 的运动时间为t 秒，在运动过程中，当动点Q 在以PA 为直径的圆上时，试求t 的值．12．（2009 上海市） 在直角坐标平面内，O为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．13．（2010 宁夏回族自治区） 如图，已知：一次函数：4y x =-+的图像与反比例函数：2y x=(0)x >的图像分别交于A 、B 两点，点M 是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 1、M 2，设矩形MM 1OM 2的面积为S 1；点N 为反比例函数图像上任意一点，过N 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为N 1、N 2，设矩形NN 1ON 2的面积为S 2；（1）若设点M 的坐标为（x ，y ），请写出S 1关于x 的函数表达式，并求x 取何值时，S 1的最大值；（2）观察图形，通过确定x 的取值，试比较S 1、S 2的大小． 14．（2010四川省眉山市）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为原点，A 、B 两点的坐标分别为（－3，0）、（0，4），x抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．15．（2010四川省内江市）如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．x16．（2010四川省南充市）已知抛物线2142y x b x =-++上有不同的两点E （3k +，21k -+）和F （1k --，21k -+）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，抛物线2142y x bx =-++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式．（3）当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F ． 17．（2009浙江省湖州市）如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y =28x --分别与x 轴，y 轴相交于A B ，两点，点()0P k ，是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作P ⊙．（1）连结PA ，若PA PB =，试判断P ⊙与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？18．（2010湖南省湘潭市）如图，直线6=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，y x以线段AB为直径作⊙C，抛物线c=2过A、C、O三点．+bxy+ax（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；（3）抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．Array19．（2010湖南省株洲市）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：①量得3=；OA cm②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A 的右边（如图2），直尺的两边交x 轴于点H 、G ，交抛物线于点E 、F ．求证：21(9)6EFGH S EF =-梯形． 20．（2010湖北省十堰市）已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线图 1图2· By x b =+与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．21．（2010广西河池市） 如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠=︒，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =．（1）线段OB 的长为 ，点C 的坐标为 ；（2）求△OCM 的面积；（3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； （4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该抛物线上的点，且以A ，O ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．22．（2010 江苏省苏州市）如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点.B 已知A B 、两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）设()M m n ，是抛物线上的一点（m n 、为正整数），且它位于对称轴的右侧.若以M B O A 、、、为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，22228PA PB PM ++>是否总成立？请说明理由．23．（2010浙江省丽水市）△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．（1）当点B 在第一象限，纵坐标是B 的横坐标；（2）如果抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：①当a =12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b =－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．24．（2010新疆乌鲁木齐）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(00)(1)O M ，，，1和()(0)N n n ≠，0三点．（1）若该函数图象顶点恰为点M ，写出此时n 的值及y 的最大值；（2）当2n =-时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时y 是否有最大值； （3）由（1）、（2）可知，n 的取值变化，会影响该函数图象的开口方向.请你求出n 满足什么条件时，y 有最小值？25．（2009沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．Rt △OBA 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），点B 在第一象限内，且3=OB ，∠OBA ＝90°．沿边OB 所在直线折叠Rt △OAB ，记点A 的落点为C ．（1）求证：△OAC 为等边三角形；（2）点D 在x 轴的正半轴上，且点D 的坐标为（4，0），P 为线段OC 上一动点（点P 不与点O 重合），连接P A ，PD ，设PC ＝x ，△P AD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当21=x 时，过点A 作AM ⊥PD 于点M ，若PDAMk 27=，求证：二次函数y ＝k x k x 3)337(22+---的图象关于y 轴对称．26．如图（a），正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长；（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图（b）所示），求P，Q两点的运动速度；（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标；（4）求出图（b）中a，b的值．27．已知如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OC＝4，E为BC 的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，现将纸片沿过E点的直线折叠，使顶点C落在MN上，落点记为G，折痕与y轴的交点记为F．（1）求点G的坐标；（2）求折痕EF所在直线的解析式；（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2009黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物10941812--=x x y 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）．（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三形？请写出解答过程．。
中考冲刺：代几综合问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP 的长；若不存在，请说明理由． A BDCP【思路点拨】由于以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD ∥BC ，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD ∽△PBC 时，.PA AD PB BC= ∵AD=2，BC=3，设AP=x ，PB=7-x ，则2,73x x =- ∴145AP = ． ① 当△ADP ∽△BPC 时，.PA AD BC BP= AD=2，BC=3，设设AP=x ，PB=7-x ，则237x x=- ∴AP=1或AP=6． ② 由①②可知，P 点距离A 点有三个位置：145AP =，AP=1，AP=6． 【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．举一反三：【变式】有一张矩形纸片ABCD ，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A 落在边BC 上的点E 处，折痕为MN ，MN 交AB 于M ，交AD 于N ．（1）若BE=2，试画出折痕MN 的位置，并求这时AM 的长；（2）点E 在BC 上运动时，设BE=x ，AN=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE ，是否存在这样的点E ，使得△AME 与△DNE 相似？若存在，请求出这时BE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)画出正确的图形．（折痕MN 必须与AB 、AD 相交）．设AM=t ，则ME=t ，MB=2-t ，由BM 2+BE 2=ME 2，得t=32，即AM=32． （2）如图（a ），∵BE=x ，设BM=a ，则a 2+x 2=（2-a ）2，a 2+x 2=4-4a+a 2， ∴a=244x -， AM=2-BM=2-244x -=244x +． 由△AMN ∽△BEA ，得AN AM AB BE =，∴y=242x x+， ∵0＜x≤2，0＜y≤5，x 的取值范围为：5212x -≤≤．（3）如图（b ），若△AME 与△DNE 相似，不难得∠DNE=∠AME ．又∵AM=ME ，∴DN=NE=NA=52，∴242x x+＝52 解得：x=1或x=4．又∵5212x -≤≤，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM ，得∠AED=90°，推出△ABE ∽△ECD ，从而得BE=1．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t＞0）秒，抛物线y=x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ．已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D（4，0）．⑴求c 、b （可以用含t 的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB 交于点M ．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.。
七年级数学下册期末代几综合复习题(压轴题)
TP．若∠ABO＝n°，请探究∠APT 与∠PTE 之间的数量关系？（注：可用含 n 的式子表
达并说明理由）
（3）若 S△BOD≥S△AOD，求出 m 的取值范围．
10.在平面直角坐标系中，A（6，a），B（b，0），M（0，c），P 点为 y 轴上一动点，
且（b﹣2）2+|a﹣6|+
＝0．（1）求点 B、M 的坐标；
6
13．在平面直角坐标系中，已知点 A（a，0），B（0，b）．
（1）若|a+b+1|+
＝0，已知点 C（m，﹣m）．
①AC∥y 轴，求 m 的值；
②若△ABC 的面积不超过 8，求 m 的取值范围；
（2）若∠ABO＝60°，射线 BA 以每秒 9°的速度绕点 B 顺时针方向旋转至射线 BA1，M
8. 在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(a ， 0) ， B （ b ， c ）， C （ d ， 0 ） 且 a 是 -8 的 立 方 根 ； 方 程
是关于 x,y 的二元一次方程，d 为不等式组
的最大整数解。
（1）求 A、B、C 的坐标； （2）如图 1，若 D 为 y 轴负半轴上的一个动点，连 BD 交 x 轴于点 E，问是否存在点 D，
且 a 6 | b 4 | 0
(1) 求△AOB 的面积 (2) 如图，若 P 为直线 AB 上一动点，连接 OP，且 2S△AOP≤S△BOP≤3S△AOP，求 P 点横坐标 xP 的 取值范围 (3) 如图，点 C 在第三象限的直线 AB 上，连接 OC，OE⊥OC 于 O，连接 CE 交 y 轴于 D，连接 AD 交 OE 延长线于 F，则∠OAD、∠ADC、∠CEF、∠AOC 之间是否有某种确定的数量关系？ 试证明你的结论
代几综合问题6
初三（数学）学科学习指导案的对应点为点
学
习
过
程
学习内容
学习形式 教师指导 时间
如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点， 求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样
的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足
条件的F
点坐标；如果不存在，请说明理
自主练习
交流总结 巡视 批改
归纳总结。
广西南宁历年中考数学代几综合压轴题(第26题)
历年中考第26题（2004年—2012年）（2004年）26某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m ，20m 的梯形空地上种植花木（如图10-1）（1）他们在△AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P ，使得△APB ≌△DPC 且S △APD = S △BPC ，并说出你的理由.考点：相似三角形的应用；梯形． 专题：压轴题．分析：（1）由太阳花的单价和钱数可先求出△AMD 的面积，再由AD ∥BC 证出△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得出△BMC 的面积，从而算出所要花费的钱数；（2）由△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形对应高的比等于它们的相似比，可求出两三角形AD 与BC 边上的高之比，再根据三角形的面积公式可求出AD 边上的高，从而可求出整个梯形的高及面积．进而求出三角形AMB 和三角形DCM 的面积和，然后根据两种花的单价来计算哪种花合算；（3）由（2）可知整个梯形高为12，要保证△APB ≌△DPC 且S △APD =S △BPC ，P 点必须在AD 和BC 的垂直平分线上，且P 到AD 的距离是P 到BC 距离的2倍，即到AD 的距离应该为8．（2005年） 26. OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图所示，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B’点，求B’点的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的解析式；（3）作B’G//AB 交CM 于点G ，若抛物线y x m =+162过点G ，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。
2012北京各区第一学期期末代几综合题答案
2012北京各区第一学期期末代几综合题答案（丰台）25．解：(1) ∵1)1(2221+--=+-=x x x y ，------1分∴抛物线C 1的顶点坐标是（1,1），∴平移后的抛物线C 2顶点P （3，2）．------2分∴2)3(22+--=x y ． （或者7622-+-=x x y ）------3分 (2) 存在点N （x ,y ）满足条件．------ 4分∵以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴N P y y -=，∴2-=N y ． 当点N 在C 1上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ； ∴N 1（2,31-+）, N 2（2,31--）;当点N 在C 2上时，22-=y ，即22)3(2-=+--x ，解得1543==x x ，； ∴N 3（2,5-）, N 4（2,1-）． ∴满足条件的点N 有4个，分别是N 1（2,31-+）、N 2（2,31--）、N 3（2,5-）、N 4（2,1-）．（石景山）xy(第25题)（怀柔）25. 解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =.∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2分(2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3分 证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴AB ==设⊙C 与B D 相切于点E ，连接C E ， 则90B E C A O B ∠=︒=∠.∵90A B D ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°.又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴B A O C B E ∠=∠.∴A O B ∆∽B E C ∆. ∴C E B CO BA B =.∴2C E =.∴2CE =>.…………4分∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交A C 于点Q . 由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线A C 的解析式为132y x =-+.………………6分设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442P Q m m m m m =-+--+=-+. ∵22113327()6(3)24244P A C P A Q P C Q S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，P A C ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式， 即：2327(3)44P A C S m ∆=--+.（顺义）25．解：（1）当顶点A 运动至与原点重合时，设BC 与 y 轴交于点D ，如图所示．∵BC ∥x 轴，BC=AC=32， ∴3=CD ，3=AD ．∴C 点的坐标为)3,3(-． ……………1分 ∵当3=x 时，3332)3(2-=⨯-=y ．∴当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 在抛物线上．……………2分（2）过点A 作BC AD ⊥于点D ，设点A 的坐标为（x ，x x 322-）． ∵8:1:=下部分上部分S S ， ∴)32(32x x AD -=． ∵等边A B C △的边长为32， ∴360sin =︒⋅=AC AD ． ∴3)32(32=-x x ． ∴01322=--x x ． 解方程，得 =x 23±．∴顶点A 的坐标为)1,23(+或)1,23(-．…………………………5分（3）当顶点B 落在坐标轴上时，顶点C 的坐标为)0,632(-、)0,632(+、)6,32(-． …………………………………………………………… 8分（昌平）25．解：（1）在y =x -3中，分别令y =0和x =0，得x =3和y =-3．∴ B （3，0），C （0，-3）． ………………………………… 2分（2）∵ 抛物线过点A （-1，0）、B （3，0），∴ 设抛物线的解析式为：y =a （x +1∵ 抛物线过点C （0，-3），∴ -3= a （0+1）（0-3）．∴ a=1．∴ 抛物线的解析式为：y =（x +1）（x -3）． ………………… 4分 即 y =x 2-2x -3．（3）由y =x 2-2x -3，得y =（x -1）2-4．∴ 抛物线的顶点M （1，-4）． ………………… 5分 （4）如图，存在满足条件的P 1（1，-2）和P 2（-1，-4）． 作MN ⊥y 轴于点N ，则∠CNM =90°． ∵ M （1，-4），C （0，-3）， ∴ MN =NC =1． ∴ ∠MCN =45°．∵∠COB =90°，B （3，0），C （0，-3）， ∴ ∠OCB =45°．∴ ∠BCM =90°． …………………………………………… 6分∴ 要使点P 在直线y =x -3上，必有PC =MC .∠MPC =∠CMP =45°．则 过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，交直线y =x -3于点P 1和P 2. 在y = x -3中，分别令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1．则 P 1（1，-2）和P 2（-1，-4）． ……………………………… 8分（通州）24.解：（1） 四边形A B C O 是平行四边形，4.O C AB ∴==(42)(02)(40)A B C ∴-，，，，，．………………………(1分) 抛物线2y ax bx c =++过点B ， 2.c ∴=由题意，有1642016422a b a b -+=⎧⎨++=⎩，．解得1161.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求抛物线的解析式为211 2.164y x x =-++………………………(2分)（2）将抛物线的解析式配方，得211(2)2.164y x =--+∴抛物线的对称轴为 2.x =(80)(22)(2).D E F ∴，，，，，0欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有..OP QE BP FQ ==即363.2t t t ∴=-=，即 ………………………(3分)（3）欲使以点P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似，90PBO BOQ ∠=∠=∴ °，有B P O Q O BB O=或BP BO OBOQ=，即PB OQ =或2O B PB Q O =·．①若P Q 、在y 轴的同侧.当BP OQ =时，t =83t -，2t ∴=．当2O B PB Q O =·时，(83)4t t -=，即23840.t t -+= 解得1222.3t t ==， ………………………(4分)②若P Q 、在y 轴的异侧.当PB OQ =时，38t t -=，4t ∴=．当2O B PB Q O =·时，(38)4t t -=，即23840t t --=.解得43t ±=403t -=< .故舍去. 43t +∴=………………………(5分)∴当2t =或23t =或4t =或43t +=秒时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似. ………………………(6分)（海淀）25. 解：（1）∵ 抛物线过原点和A(-)， ∴ 抛物线对称轴为3-=x .∴ B(3).设抛物线的解析式为23y a x =+（.∵ 抛物线经过(0, 0),∴ 0=3a+3. ∴ a=-1. ∴3)3(2++-=x y ……………………………………………1分=.322x x --∵ C 为AB 的中点, A(-)、B(3)，可得C(322-) .可得直线OC 的解析式为xy 33-=. ……………………………………………2分（2）连结OB. 依题意点E 为抛物线xxy 322--=与直线xy 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由23,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得5,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）. ∴ E（533-） …………………………3分过E 作EF ⊥y 轴于F, 可得OF=53，∵ OE=DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF .∴ DO=2OF=103.∴ D(0,10)3.∴ =.（3）E 点的坐标为(322-)或(122-). （通州）22. 解：（1）如图，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵点C （1，1），⊙C 的半径为2， ∴cos ∠ACE==，∴∠ACE=60°， ∴∠ACB=2∠ACE=2×60°=120°，根据圆周角定理可得∠APB=∠ACB=×120°=60°，所以，∠ADB=180°﹣∠APB=180°﹣60°=120°；（2）在Rt△ACE中，根据勾股定理，AE===，根据对称性，BE=AE=，所以，OA=﹣1，OB=+1，所以，点A（1﹣，0），B（+1，0）；（3）∵抛物线的顶点P在⊙C上，圆的半径为2，圆心C的坐标（1，1），∴顶点P的坐标为（1，3），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+3，则a（+1﹣1）2+3=0，解得a=﹣1，所以，抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+3；（4）∵点M在y轴上，∴设点M的坐标为（m，0），①AC是平行四边形的边时，如图1，点N在x轴下方是，坐标为（﹣，m﹣1），∵点N在抛物线上，∴﹣（﹣﹣1）2+3=m﹣1，解得m=﹣2，所以，点M的坐标为（0，﹣2），点N在x轴上方时，坐标为（，m+1），∵点N在抛物线上，∴﹣（﹣1）2+3=m+1，解得m=2﹣2，所以，点M的坐标为（0，2﹣2）；②AC是对角线时，∵点A（1﹣，0），C（1，1），∴平行四边形的中心坐标为（1﹣，），∴点N的横坐标为2（1﹣）=2﹣，纵坐标为×2﹣m=1﹣m，所以，N（2﹣，1﹣m），∵点N在抛物线上，∴﹣（2﹣﹣1）2+3=1﹣m，解得m=2﹣2，所以，点M 的坐标为（0，2﹣2），综上所述，点M 的坐标为（0，﹣2）或（0，2﹣2（大兴）25．解:（1）由21342y x x =-+得32b x a=-=∴Ｄ（3，0） …………………………1分 （2）∵ 21342y x x =-+∴顶点坐标93,4⎛⎫⎪⎝⎭设抛物线向上平移h 个单位,则得到()0,C h ,顶点坐标93,4M h ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴平移后的抛物线:()219344y x h =--++ ……………………2分当0y =时,()2193044x h --++=,得 13x =- 23x =+∴ A (30)- B (30)+ ……………………3分易证△AOC ∽△COBO C O B O AO C=∴2OC =OA ·OB ……………………4分)233h =∴ 14h =,()20h =舍去∴平移后的抛物线: ()()22191253434444y x x =--++=--+………5分（3）如图2, 由抛物线的解析式213442y x x =-++可得 A (-2 ，0)，B (8 ，0) C (0，4) ，25(3,)4M ……………………6分过C 、M 作直线，连结CD ，过M 作MH 垂直y 轴于H , 则3M H = ∴2225625()416D M ==22222252253(4)416CMM H CH =+=+-=在Rt △COD 中,CD 5==AD∴点C 在⊙D 上 ……………………7分 ∴2222225256255()16416CD CM +=+==∴222DM CM CD =+ ∴△CDM 是直角三角形， ∴CD ⊥CM∴直线CM 与⊙D 相切 …………………………………8分（门头沟）25.解：（1）由题意，得⎩⎨⎧=++=++030339b a b a解得，⎩⎨⎧-=-=21b a抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 …………………………………1分顶点C 的坐标为（-1，4）………………………2分（2）假设在y 轴上存在满足条件的点D , 过点C由∠CDA =90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠∴∠3=∠1. 又∵∠CED =∠DOA =90°， ∴△CED ∽△DOA ，∴AODO EDCE =.设D （0，c ），则341c c=-. …………3分变形得0342=+-c c ，解之得1231c ,c ==.综合上述：在y 轴上存在点D （0，3）或（0，1使△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形. …………………………………4分 （3）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH .延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ， ∴AM 2=CM 2. 设M （m ，0），则( m +3)2=42+(m +1)2，∴m =2，即M （2，0）. 设直线CM 的解析式为y=k 1x+b 1，则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ， 解之得341-=k ，381=b .∴直线CM 的解析式3834+-=x y .…………………………………………… 5分3238342+--=+-x x x ， 解得311=x ，12-=x (舍去). 9201=y .∴)92031(，P .………………………………………………6分②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH .过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N .由△CFA ∽△CAH 得2==AH CH AF CA ， 由△FNA ∽△AHC 得21===CAAF HCNA AHFN .∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）.设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k .∴直线CF 的解析式41943+=x y . ……………………………………………7分32419432+--=+x x x ， 解得471-=x ， 12-=x (舍去).∴)165547(，-P . …………………………………8分 ∴满足条件的点P 坐标为)201(，或)5547(，-（东城）（图①）（图②）（平谷）（延庆）25．(1) …………………………………………1分 …………………………………………………………2分 （2）①t=1 ………………………………………………………………4分…………………………………………时，（房山）∵点P 的坐标为()a ,2.∴点P 到y 轴的距离为2----------2分 ∵⊙P 的半径为2∴点P 到y 轴的距离=⊙P 的半径∴y 轴与⊙P 相切.------------------3分 （2）过点P 作PE ⊥AB 于点E ，联结PA 并延长PA 交x 轴于点C. -----4分 ∵PE ⊥AB ，AB=2∴AE=21AB=1. --------5分∵PA=2在Rt △PAE 中，由勾股定理得：PE=1 ∴PE=AE, ∴∠PAE=45°∵函数x y =的图象与y 轴的夹角为45° ∴y 轴∥PA, ∴∠PCO=90°∴A 点的横坐标为2∵A 点在直线x y =上，∴A 点的纵坐标为2∴PC=22∴a =22 ---------------------------------------7分 （房山）24、探究 : (1)①(1，0)；②(-2，21)；-------------------------------1分(2) AB 中点D 的坐标为（3，2）------------------------------------2分 （3）AB 中点D 的坐标为(2c a +，2d b +)．--------------------3分归纳：2c a +，2d b +．----------------------------------------------4分运用：①由图象知：交点的坐标为A (-1，-3)，B (3，1) ．-----------5分 ②以AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1) ． ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM =OP ，即M 为OP 的中点．∴P 点坐标为(2，-2) ．--------------------------------6分 同理可得分别以OA ，OB 为对角线时， 点P 坐标分别为 (-4，-4) ， (4，4)．∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ， (-4，-4) ．--------------------------------------------------------7分（房山）25、解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1 ∴2b=1,∴b=21又∵抛物线最小值为3 ∴3=-c+⨯+⨯121141，∴c=411∴抛物线解析式为：41121412++-=x x y ---------------2分（2）把x=0代入抛物线得：y=，∴点A （0，）．--------------------------------------3分∵抛物线的对称轴为x=1， ∴OC=1．-------------------------------------------------4分 （3）①如图：∵此抛物线与y 轴交于点A ，顶点为B ∴B （1，3）分别过点D 作DM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PQ 于点N ，∵PQ ∥BC ，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°， ∴DMQN 是矩形． ∵△CDE 是等腰直角三角形， ∴DC=DE ，∠CDM=∠EDN ∴△CDM ≌△EDN ∴DM=DN ， ∴DMQN 是正方形， ∴∠BQC=45° ∴CQ=CB=3 ∴Q （4，0）设BQ 的解析式为：y=kx+b ， 把B （1，3），Q （4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．所以直线BQ 的解析式为：y=﹣x+4．-------------------------------6分 ②所求的点P 的坐标为：P 1（1+，），P 2（1+3，﹣），P 3（1﹣，），P 4（1﹣3，﹣）．------------------------8分（求对一个给1分，其余3个1分）（朝阳）25.（本小题满分8分） 解：（1）根据题意，得C （0,6）.在Rt △AOC 中，61tan =∠ACO ，OC ＝6，∴OA ＝1. ∴A （－1,0）. ……………………………………………………………1分 （2）∵OC OB 21=，∴OB ＝3. ∴B （3,0）.由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-.0639,06b a b a 解得 ⎩⎨⎧=-=.4,2b a∴6422++-=x x y .∴D （1,8）. ……………………………………………………………………2分 可求得直线CD 的解析式为62+=x y .∴E （－3,0）. ……………………………………………………………………3分 （3）假设存在以点A 、C 、F 、E 为顶点的平行四边形，则F 1（2,6），F 2（－2,6），F 3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线6422++-=x x y 上，∴F （2,6）. ………………………………………………………………………4分（4）如图，作NQ ∥y 轴交AM 于点Q ，设N （m , 6422++-m m ）.当x ＝2时，y ＝6，∴M （2,6）. 可求得直线AM 的解析式为22+=x y . ∴Q （m ，2m ＋2）.∴NQ ＝422)22(64222++-=+-++-m m m m m . ∵AMN ABM S S S ∆∆+=，其中126421=⨯⨯=∆ABM S ，∴当AMN S ∆最大时，S 值最大. ∵MNQ ANQ AMN S S S ∆∆∆+=)422(3212++-⨯⨯=m m ,6332++-=m m , 427)21(32+--=m .∴当21=m 时，AMN S ∆的最大值为427.∴S 的最大值为475.……………………………………………………………………6分当21=m 时，2156422=++-m m .∴N （21，215）. ……………………………………………………………………7分（5）P 1（1，15-），P 2（1，15--）. …………………………………………8分说明：写成P 1（1，154+），P 2（1，154--）不扣分.（西城）25．解：（1）图2中的m 1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合， ∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BO C C S O B y O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -，∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM C O N ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分∵ 图12中 AB ==∴ 图11中DE =，2D O F x D E =+= …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知点P 的横坐标为4，即OG=BG=4． 由3tan 6AM PG ABM BMBG∠===可得PG=2．∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分 设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）． ∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=．解得 18a =-．∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W上，点P 为抛物线W 的顶点，结合抛 物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………7分ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-． ∴ 点2Q 的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得 28880x x +-=． 解得4x =-±由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知点2Q 的横坐标为4．∴ 点2Q 的坐标是24,19)Q ． …………………………8分 综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，24,19)Q ．（燕山）25. ⑴∵△AOB ∽△BOC （相似比不为1），∴OAOB OBOC =. 又∵OA=4, OB=3,图13∴OC=32×41=49. ∴点C(49, 0). …………………1分设图象经过A 、B 、C 三点的函数解析式是y=ax 2+bx+c,则c= -3，且⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-0.c b 49a 1681,0c 4b 16a即⎩⎨⎧=+=-16.12b 27a ,34b 16a解得,a=31, b=127.∴这个函数的解析式是y =31x 2+127x -3. ⑵∵△AOB ∽△BOC （相似比不为1），∴∠BAO=∠CBO.又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°. ………………4分 ∴AC 是△ABC 外接圆的直径. ∴ r =21AC=21×[49-(-4)]=825. ………………5分⑶∵点N 在以BM 为直径的圆上，∴ ∠MNB=90°. ……………………6分 ①. 当AN=ON 时，点N 在OA 的中垂线上，∴点N 1是AB 的中点，M 1是AC 的中点. ∴AM 1= r =825，点M 1(-87, 0)，即m 1= -87. ………………7分②. 当AN=OA 时，Rt △AM 2N 2≌Rt △ABO ， ∴AM 2=AB=5，点M 2(1, 0)，即m 2=1.③. 当ON=OA 时，点N 显然不能在线段AB 上. 综上，符合题意的点M （m ，0）存在，有两解： m= -87，或1. ……………………8分（密云）25. 解：（1）如图，∵圆以点A （3，0）为圆心，5为半径， ∴根据圆的对称性可知 B （-2，0），C （8，0）． 连接AD ．在Rt △AOD 中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5， ∴OD=4．∴点D 的坐标为（0，-4）． 设抛物线的解析式为y=ax 2+bx-4，又∵抛物线经过点C （8，0），且对称轴为x=3，。
代几综合复习
5
什么是代几综合？
几综
回忆
两要素： ●“求解工具”镶嵌在解 题意识中 ●“变换工具”镶嵌在解 题意识中
6
什么是代几综合？
代综
数与式
代几综 几综
以几何元素 为背景构造 未知量 以代数知识 为背景形成 几何关系
基本图形 基本性质
方程(组)
不等式(组) 函数
基本变换
基本工具
7
什么是代几综合？
举例
A
以几何元素为背景构造未知量
5) 2) 经过 P( 3，，A(0， 两点．
（1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 B ，将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位 得到直线 l ，直线 l 与抛物线的对称轴交于 C 点，求直线 l 的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线 OB，OC，BC 距离相等的点的坐标．
14
的正半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标； 求点 Q 的坐标和此时△ QAA 的面积．
(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ，
（1） 求直线 BC 及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上， 且∠APD =∠ACB，求点 P 的坐标； （3） 连结 CD，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．
16
六年考题
08 年北京市 24（满分 7 分）
内容方法
函数解析式的确定 直线的平移 点的坐标 勾股定理 相似、变换
关注基本图形：特殊角的使用
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23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23．（1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ． ∴C D B C O DA O=． ∴ 535322C D =⨯=．∴ 53422C O =+=．∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=M E F E N EB E=,∴1135t t-=，解得558t =．……………… 3分若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合． ∵ cos ∠BEF=O E F E G EB E =，∴835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ， ∴ M E F E N E B E =．∴1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2ya xb x c=++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a=，12b=-，5c=-时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
24. 解：（1）∵点O 是AB的中点，∴12O BA B == 设点B 的横坐标是x (x >0)，则2222x +=，解得1x =2x=-(舍去)．∴点B2分（2）当a=12b=-，5c=-21425y x =--24520y x =--．(＊)∵抛物线对称轴经过点C ，∴ C以下分两种情况讨论．情况1：设点C 在第一象限(如图甲)，ta n 3013O C O B =⨯︒==．由此，可求得点C 的坐标为)，点A 的坐标为(-)，∵ A ，B 两点关于原点对称，∴ 点B 的坐标为-)．将点A 的横坐标代入(＊)，即等于点A 的纵坐标； 将点B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得-，即等于点B 的纵坐标．∴在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上． ……………………………………4分 情况2：设点C 在第四象限(如图乙)，则点C 的坐标为，)，点A 的坐标为)，点B 的坐标为(--)．………………6分经计算，A ，B 两点都不在这条抛物线上． …7分(情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上)(甲)(乙)25．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；25． 解：（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ，∴A HDQ ∠=∠，∴△DHQ ∽△ABC ． ……………………………………2分 （2）①如图1，当5.20≤<x 时， ED =x 410-，QH =xA AQ 43tan =∠，此时xxx x y 4152343)410(212+-=⨯-=．…………………………………………3分当45=x时，最大值3275=y． ………………………………………………………4分②如图2，当55.2≤<x 时，ED =104-x ，QH =xA AQ 43tan =∠，此时xxx x y 4152343)104(212-=⨯-=．…………………………………………5分当5=x 时，最大值475=y ．………………………………………………………6分∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).55.2(41523),5.20(4152322x x x x x x y∴y 的最大值是475．…………………………………………………………………8分说明：以上各题的其它解法只要正确，请参照本评分标准给分。
25．如图，抛物线23y a x b x a =+-经过A （-1,0）、C (0,-3)两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D （m ,-m -1）在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使∠PCB =∠CBD ．若存在， 请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．25．解:(1)∵ 抛物线23y a x b x a =+-经过A （-1,0）、C (0,-3)两点，∴ 30,3 3.a b a a --=⎧⎨-=-⎩解得 1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴ 抛物线的解析式为22 3.y x x =-- …………2分（2）∵ 点D （m ,-m -1）在抛物线上， ∴ 212 3.m m m --=--解得，1 2.m m =-=或 ∵D 点在第四象限， 2.m ∴=D ∴点坐标为（2，3-）.由题意，B 点坐标为（3，0）..O B O C ∴= 45.O C B ∴∠=︒而90,O C D ∠=︒.B C O C D ∴∠平分∴D点关于B C 的对称点在y 轴上，设为点'D .由'2C D C D ==可得 'D 的坐标为（0，－1）. …………5分 （3）满足条件的P 点有两个.① 过点C 作1C P ∥BD ，交x 轴于点1P . 则1P C B C B D ∠=∠.可求直线BC 的解析式为39y x =-. ∵ 直线1C P 过点C ，∴ 可求直线1C P 的解析式为33y x =-.∴ 点1P 的坐标为（1，0）.② 连结'B D ，过点C 作2C P ∥'B D ，交x 轴于点2P . ∴ '2D B C P C B ∠=∠.由对称性可知'D B C D B C ∠=∠. ∴ 2P C B C B D ∠=∠. 可求直线'B D 的解析式为113y x =-.∵ 直线2C P 过点C ， ∴ 可求直线2C P 的解析式为133y x =-.∴ 点2P 的坐标为（9，0）.综上，符合题意的P 点坐标为（1，0）或（9，0）. …………8分说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.x24. 在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数4yx=的图象与抛物线2(94)1yxm x m =+++-交于点A (3, n ).（1）求n 的值及抛物线的解析式；（2） 过点A 作直线BC ，交x 轴于点B ，交反比例函数4yx=（0x >）的图象于点C ，且AC =2AB ，求B 、C 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点P 是抛物线对称轴上的一点，且点P 到x 轴和直线BC 的距离相等，求点P 的坐标.24. 解：（1）∵点A (3, n )在反比例函数4yx=的图象上，43n ∴=.……………………………………………………………………1分∴A (3，43).∵点A (3，43)在抛物线2(94)1y x m x m =+++-上，49(94)3 1.3m m ∴=++⨯+-∴23m=-.∴抛物线的解析式为2523yx x =--．（2）分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ∴AD ∥CE .∴△ABD ∽△CBE . ∴A D ABC EC B= ．∵AC ＝2AB ，∴13A B C B=.由题意，得AD ＝43, ∴4133C E=.∴CE ＝4．……………………3分即点C 的纵坐标为4. 当y ＝4时，x ＝1，∴C (1，4) ………………… 4分 ∵1,3B D A B B EC B == DE ＝2,∴1.23B D B D =+∴BD ＝1．∴B (4，0). ……………………………………………………………5分 （3）∵抛物线2523yx x =--的对称轴是1x =，∴P 在直线CE 上. 过点P 作PF ⊥BC 于F . 由题意，得PF ＝PE.∵∠PCF =∠BCE , ∠CFP =∠CEB =90°, ∴△PCF ∽△BCE .∴P F P C B EB C= ．由题意，得BE =3，BC =5.①当点P 在第一象限内时，设P (1，a ) (a ＞0). 则有4.35a a -= 解得3.2a =∴点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ………………………6分 ②当点P 在第四象限内时，设P (1， a ) (a ＜0) 则有4.35a a --= 解得 6.a =-∴点P 的坐标为()1,6-.……………………………………………7分 ∴点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭或()1,6-.x25. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y a xb x c=++的对称轴是1x =，并且经过（－2，－5）和（5，－12）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是线段BC 上一点（不与点B 、C 重合），若以B 、O 、D 为顶点的三角形与△BAC 相似，求点D 的坐标； （3）点P 在y 轴上，点M 在此抛物线上，若要使以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M 的坐标.25．解：（1）由题意，得1,2425,25512.b aa b c a b c ⎧-=⎪⎪-+=-⎨⎪++=-⎪⎩解这个方程组，得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线的解析式为y =－x 2+2x ＋3. （2）令0y =，得2230x x -++=.解这个方程，得1213x x =-=，. (10)(30)A B ∴-，，，． 令0x =，得3y =．(03)C ∴，．4345.AB O B OC O B C ∴===∠=，，B C ∴===过点D 作D E x ⊥轴于点E ． ∵45O B C B E D E ∠=∴= ，．要使B O D B A C △∽△或B D O B A C △∽△， 已有A B C O B D ∠=∠，则只需B D B O B CB A=或B O BD B CB A=成立．若B D B O B CB A=成立，则有344B O B CB D B A⨯⨯===在R t B D E △中，由勾股定理，得2222224B ED EB EB D⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭．∴94B E D E ==．93344O E O B B E ∴=-=-=．∴点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………………………………………4分若B O B DB CB A=成立，则有34B O B A B D B C⨯⨯===在R t B D E △中，由勾股定理，得222222(B E D E B EB D+===．∴2B E D E ==．321O E O B B E ∴=-=-=． ∴点D 的坐标为(12)，． ……………………………………………5分∴点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，或(12)，．（3）点M 的坐标为()2,3或(45)，-或(421)-，-． ……………………8分25．已知：抛物线cx axy ++=22，对称轴为直线1-=x ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于()0,3-A 、B 两点．(1)求直线AC 的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)P 为抛物线上一点，若以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B ,求点P 的坐标． 25.解：（1）∵对称轴122-=-=ax∴1a = …………………1分∵()0,3-A∴3c =-设直线AC 的解析式为y k x b =+ ∵()0,3-A ，()3,0-C , 代入得：直线AC 的解析式为 3--=x y ………………………………………2分 （2）代数方法一：过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ．设()32,2-+x x x D ，则()3,--x x M …………………………………3分∵A B C A C D A B C D S S S ∆∆+四边形＝ 136()622D M A N O N D M +⨯⨯+=+＝()[()]3232362+-----+=x x x629232+--=x x87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x ……………………………………5分∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875.代数方法二： OBCADN S S ∆∆++=S S NDCOADCB梯形四边形=()()()()23332213232122+-++--++--+x x xx x x= 87523236292322+⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--x x x……………………………………5分∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875.几何方法：过点D 作AC 的平行线l ，设直线l 的解析式为b x y +-=.由⎩⎨⎧+-=-+=b x y x x y 322得：0332=--+b x x ………………………………3分当()03432=---=∆b 时，直线l 与抛物线只有一个公共点11 即：当421-=b 时,△ADC 的面积最大,四边形ABCD 面积最大此时公共点D 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--415,23 ………………………………4分 OBC ADN S S ∆∆++=S S NDCO ADCB 梯形四边形()312123321415321212121212121⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅=OC OB ON OC DN OA OC OB ON OC DN DN AN =875………………………………5分即：当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875.（3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得B （1，0） ∵以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B ∴过点B 作BC 的垂线交抛物线于一点，则此点必为点P . 过点P 作x PE ⊥轴于点E ， 可证Rt △PEB ∽Rt △BOC ∴BO OCPE EB=，故EB =3PE ，……………………………………………………6分设()32,2-+x x x P ，∵B （1，0）∴BE =1-x ，PE =322-+x x()32312-+=-x x x ，解得11=x （不合题意舍去），，3102-=x ∴P 点的坐标为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-913310，.………………………………………………7分。