生活中的数学——初探数学建模
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年份 人口(百万 人口 百万) 百万 年份 人口(百万 人口 百万) 百万 年份 人口(百万 人口 百万) 百万 1790 3.9 1870 38.6 1950 150.7 1800 5.3 1880 50.2 1960 179.3 1810 7.2 1890 62.9 1970 204.0 1820 9.6 1900 76.0 1980 226.5 1830 12.9 1910 92.0 1990 251.4 1840 17.1 1920 106.5 2000 281.4 1850 23.2 1930 123.2 1860 31.4 1940 131.7
由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温 小时时， 由上述数据，当受害者死亡接近 小时时 接近26℃ 而警方于6时测得尸温为 时测得尸温为26℃ 接近 ℃，而警方于 时测得尸温为 ℃。而当 受害者死亡接近6小时时测得尸温约为 小时时测得尸温约为23℃ 受害者死亡接近 小时时测得尸温约为 ℃也与 题目吻合， 题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为 凌晨2点 凌晨 点。
0.25
人人增
0.2
0.15
0.1
0.05
0
50
100
150
200
250
300
百人人人（百百）
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拟合一次函数的效果图
人人增增百人人人人增增增人人增人人人
0.4
人数数 人增增增增人
0.35
0.3Fra Baidu bibliotek
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人人增
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百人人人（百百百）
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每年捕捉3只山猫后的演变图 每年捕捉 只山猫后的演变图
由图形可知： 由图形可知： 直线是向下递减 弯曲的， 弯曲的，这说明 如果每年捕获3只 如果每年捕获 只 山猫， 山猫，那么不管 在哪种自然环境 下，山猫最终都 将濒临灭种。 将濒临灭种。而 且在第20年时 年时， 且在第 年时， 在较差的自然环 境下， 境下，山猫就灭 种了。 种了。
某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6 某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于 时到达现场后测得尸温26℃ 室温17℃ 时到达现场后测得尸温 ℃，室温 ℃， 2小时后尸温下降了 ℃，试根据冷却定律 小时后尸温下降了3℃ 小时后尸温下降了 建立差分方程，估计凶杀案发生的时间. 建立差分方程，估计凶杀案发生的时间 冷却定律为
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你能当大预言家吗？ 你能当大预言家吗？
建立人口增长模型，用表 的数据预报 的数据预报2010年美国的人 建立人口增长模型，用表1的数据预报 年美国的人 并进行模型检验.下表是 下表是1790——1990年美国每隔 口，并进行模型检验 下表是 年美国每隔 十年的人口记录： 十年的人口记录： 美国人口统计数据(百万人 百万人) 表1 美国人口统计数据 百万人
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每年捕捉1只山猫后的演变图 每年捕捉 只山猫后的演变图
当每年捕获1只山 当每年捕获 只山 猫时， 猫时，由图形可知 在较好的自然环 境下， 境下，山猫将不断 繁殖， 繁殖，处于无限的 增长。 增长。 在中等和较差的 自然环境下， 自然环境下，山猫 都将逐年减少， 都将逐年减少，并 且在较差的环境下 减少得更快一些， 减少得更快一些， 在第37年时濒临灭 在第 年时濒临灭 种。
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生活中的数学
——初探数学建模 ——初探数学建模
汕头市第一中学 肖朝欣
什么是数学建模
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出 简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数 学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是 数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解 数学模型 释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学 模型的全过程就称为数学建模 数学建模。 数学建模 数学建模也称数学实验 数学实验，是一种数学的思考方法， 数学建模 数学实验 是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立 能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数 学手段。
3
生物世界复杂多 变，一种生物的 生存有许多因素 在左右着它，能 在左右着它， 否用你的数学头 脑，来理性分析 呢？
LOGO
目
1 2 3 4
录
死亡时间推测问题
人口增长猜测问题
山猫数量随条件变化问题
利用Excel作简单图象的介绍 作简单图象的介绍 利用
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你能推算出案发时间吗？ 你能推算出案发时间吗？
百人（百百百 百百百）
150
100
50
0 1750
1800
1850 年年
1900
1950
2000
LOGO
数据处理
由实验数据散点图知，美国人口数量 由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着 时间而增加。 时间而增加。为了找到增长率变化的数量 规律， 规律，我们用前差公式定义美国人口数量 在第k个十年的增长率， 个十年的增长率 在第 个十年的增长率，即
LOGO
LOGO
LOGO
建模过程
数据处理
拟合函数
计算结果
通过使用散 点图， 点图，用点 将数据在 图象上描绘 出来， 出来，观察 变化
可以借助计 算机软件等 手段找到满 足接近图 象散点的函 数，将其表 达式求出来
利用拟合 出来的函 数计算相 应的结果
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描绘散点图
美美百人美美人数美数人 300
250
200
LOGO
山猫们活得好吗？ 山猫们活得好吗？
据报道，某种山猫在教好、 据报道，某种山猫在教好、中等及较差的 自然环境下，年平均增长率分别为1.68%， 自然环境下，年平均增长率分别为 ， 0.55%和-4.50%，假定开始时有 和 ，假定开始时有100只 只 山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化 山猫， 过程及趋势： 过程及趋势： 种自然环境下25年的变化过程 （1）3种自然环境下 年的变化过程； ） 种自然环境下 年的变化过程； （2）如果每年捕获 只，会发生什么情况？ ）如果每年捕获3只 会发生什么情况？ 山猫会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？ 山猫会灭绝吗？如果每年只捕获 只呢？ 只呢
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山猫数量的影响因素
是什么在影响它们？ 是什么在影响它们？
食物
天敌
气候
可爱的山猫
繁殖 人为 捕捉
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问题一
记第k（ 年山猫的数量为x 记第 （k=0,1,2…）年山猫的数量为 k，设 自然环境下的年平均增长率为r， 自然环境下的年平均增长率为 ，则列式得
x k + 1 = (1 + r ) x k
LOGO
问题二
如果每年捕获山猫若干只， 如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下 的年平均增长率为r， 的年平均增长率为 ，且每年捕获的数量为 b，则列式得 ， xk +1 = (1 + r ) xk − b k = 0,1, 2L 下面我们要分析的就是b=1和b=3两种情况 和 两种情况. 下面我们要分析的就是 两种情况
x k + 1 = (1 + r ) k x 0
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描绘三种条件下演变曲线
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问题一结果分析
在较差的自然环境下， 在较差的自然环境下，山猫的数量会越来 越少，最后可能将濒于灭绝； 越少，最后可能将濒于灭绝； 在中等和较好的自然环境下， 在中等和较好的自然环境下，由于增长率 大于0，即山猫数量呈几何级数无限增长， 大于 ，即山猫数量呈几何级数无限增长， 且在较好的自然环境下增长得快一些。 且在较好的自然环境下增长得快一些。
实验数据和模拟值的对照
年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 实验数据 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 模拟值 3.9 5.1489 6.7905 8.9434 11.757 15.421 20.163 26.258 34.019 43.783 55.878 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 实验数据 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 模拟值 70.57 87.981 108 130.19 153.75 177.59 200.45 221.21 239.06 253.64 265.03
T = C + (T0 − C )e − kt
其中室温为C，人体常温即初始提问为 其中室温为 ，人体常温即初始提问为T0， 死亡后第t小时尸体温度为 小时尸体温度为T， 为可求常数 为可求常数. 死亡后第 小时尸体温度为 ，k为可求常数
LOGO
如何建模
建模过程
可设正常人 体温为37℃ 体温为 ℃ 假设案发之 后没有外界环 境对尸体温度 产生客观影响
rk
x k +1 − x k = xk
从表格中22个数据我们应该得到 个增长率 从表格中 个数据我们应该得到21个增长率 个数据我们应该得到 rk(k=1,2,…21)，将它们也画成散点图 … ，将它们也画成散点图.
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年增长率的散点图
美美百人人人人人增增百人人人人美美人
0.4 0.35
0.3
凌晨到早上6点尸温的变化 凌晨到早上 点尸温的变化 t 0 1 2 3 4 5 6 T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926
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描点作出温度与时间的关系图
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结果分析
t 0 1 2 3 4 5 6
T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926
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人口增长的模拟效果图
百人人人人人人人人人人人
300
实实实实实 人模人人实
250
百人人人（百百百 百百百）
200
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50
0 1750
1800
1850
1900
1950
2000
年年（年）
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结果猜测
由以上数据的模拟整合， 由以上数据的模拟整合，我们可以预测 2010年美国人口数量。2010与2000年相 年美国人口数量。 年美国人口数量 与 年相 其增长率大概为0.12左右，而2000年 左右， 比，其增长率大概为 左右 年 的人口数量为281.4百万人，故可计算得 百万人， 的人口数量为 百万人 2010年美国人口数量大概为 年美国人口数量大概为305.2百万人。 百万人。 年美国人口数量大概为 百万人
故可建立差分方程： 故可建立差分方程：
Ti +1 = C + (Ti − C )e
− kt
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分析过程
Ti +1 = C + (Ti − C )e
− kt
Ti表示经过第 小时尸体的温度，借助计算机的计 表示经过第i小时尸体的温度， 经过第 小时尸体的温度 算我们可以得到， 算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸 体温度状况： 体温度状况：
使用冷却定 律作理论依据 来帮助计算 列出相应适 用的数学方程
LOGO
分析过程
− kt 由公式 T = C + (T0 − C )e 根据题意， 根据题意，可将 T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2 代入上式， 代入上式，可求得常数
1 23 − 17 1 2 k = − ln = − ln 2 26 − 17 2 3
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数学在各领域中的地位
生物 物理 经济
化学 数学
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数学建模
能用数学解决的问题
数学理论的加工
物理
生化
经济
心理
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今天我们要说什么
1
如果你是警察或 侦探，在到达案 侦探， 发现场时你能推 测死者的死亡时 间吗？ 间吗？
2
如果你知道某个 国家近百年来人 口的数量，你能 口的数量， 猜测它未来十年 后的人口数量吗？ 后的人口数量吗？
由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温 小时时， 由上述数据，当受害者死亡接近 小时时 接近26℃ 而警方于6时测得尸温为 时测得尸温为26℃ 接近 ℃，而警方于 时测得尸温为 ℃。而当 受害者死亡接近6小时时测得尸温约为 小时时测得尸温约为23℃ 受害者死亡接近 小时时测得尸温约为 ℃也与 题目吻合， 题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为 凌晨2点 凌晨 点。
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人人增
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0
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百人人人（百百）
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拟合一次函数的效果图
人人增增百人人人人增增增人人增人人人
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人数数 人增增增增人
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人人增
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百人人人（百百百）
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每年捕捉3只山猫后的演变图 每年捕捉 只山猫后的演变图
由图形可知： 由图形可知： 直线是向下递减 弯曲的， 弯曲的，这说明 如果每年捕获3只 如果每年捕获 只 山猫， 山猫，那么不管 在哪种自然环境 下，山猫最终都 将濒临灭种。 将濒临灭种。而 且在第20年时 年时， 且在第 年时， 在较差的自然环 境下， 境下，山猫就灭 种了。 种了。
某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6 某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于 时到达现场后测得尸温26℃ 室温17℃ 时到达现场后测得尸温 ℃，室温 ℃， 2小时后尸温下降了 ℃，试根据冷却定律 小时后尸温下降了3℃ 小时后尸温下降了 建立差分方程，估计凶杀案发生的时间. 建立差分方程，估计凶杀案发生的时间 冷却定律为
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你能当大预言家吗？ 你能当大预言家吗？
建立人口增长模型，用表 的数据预报 的数据预报2010年美国的人 建立人口增长模型，用表1的数据预报 年美国的人 并进行模型检验.下表是 下表是1790——1990年美国每隔 口，并进行模型检验 下表是 年美国每隔 十年的人口记录： 十年的人口记录： 美国人口统计数据(百万人 百万人) 表1 美国人口统计数据 百万人
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每年捕捉1只山猫后的演变图 每年捕捉 只山猫后的演变图
当每年捕获1只山 当每年捕获 只山 猫时， 猫时，由图形可知 在较好的自然环 境下， 境下，山猫将不断 繁殖， 繁殖，处于无限的 增长。 增长。 在中等和较差的 自然环境下， 自然环境下，山猫 都将逐年减少， 都将逐年减少，并 且在较差的环境下 减少得更快一些， 减少得更快一些， 在第37年时濒临灭 在第 年时濒临灭 种。
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生活中的数学
——初探数学建模 ——初探数学建模
汕头市第一中学 肖朝欣
什么是数学建模
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出 简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数 学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是 数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解 数学模型 释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学 模型的全过程就称为数学建模 数学建模。 数学建模 数学建模也称数学实验 数学实验，是一种数学的思考方法， 数学建模 数学实验 是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立 能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数 学手段。
3
生物世界复杂多 变，一种生物的 生存有许多因素 在左右着它，能 在左右着它， 否用你的数学头 脑，来理性分析 呢？
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目
1 2 3 4
录
死亡时间推测问题
人口增长猜测问题
山猫数量随条件变化问题
利用Excel作简单图象的介绍 作简单图象的介绍 利用
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你能推算出案发时间吗？ 你能推算出案发时间吗？
百人（百百百 百百百）
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1850 年年
1900
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数据处理
由实验数据散点图知，美国人口数量 由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着 时间而增加。 时间而增加。为了找到增长率变化的数量 规律， 规律，我们用前差公式定义美国人口数量 在第k个十年的增长率， 个十年的增长率 在第 个十年的增长率，即
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建模过程
数据处理
拟合函数
计算结果
通过使用散 点图， 点图，用点 将数据在 图象上描绘 出来， 出来，观察 变化
可以借助计 算机软件等 手段找到满 足接近图 象散点的函 数，将其表 达式求出来
利用拟合 出来的函 数计算相 应的结果
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描绘散点图
美美百人美美人数美数人 300
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山猫们活得好吗？ 山猫们活得好吗？
据报道，某种山猫在教好、 据报道，某种山猫在教好、中等及较差的 自然环境下，年平均增长率分别为1.68%， 自然环境下，年平均增长率分别为 ， 0.55%和-4.50%，假定开始时有 和 ，假定开始时有100只 只 山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化 山猫， 过程及趋势： 过程及趋势： 种自然环境下25年的变化过程 （1）3种自然环境下 年的变化过程； ） 种自然环境下 年的变化过程； （2）如果每年捕获 只，会发生什么情况？ ）如果每年捕获3只 会发生什么情况？ 山猫会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？ 山猫会灭绝吗？如果每年只捕获 只呢？ 只呢
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山猫数量的影响因素
是什么在影响它们？ 是什么在影响它们？
食物
天敌
气候
可爱的山猫
繁殖 人为 捕捉
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问题一
记第k（ 年山猫的数量为x 记第 （k=0,1,2…）年山猫的数量为 k，设 自然环境下的年平均增长率为r， 自然环境下的年平均增长率为 ，则列式得
x k + 1 = (1 + r ) x k
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问题二
如果每年捕获山猫若干只， 如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下 的年平均增长率为r， 的年平均增长率为 ，且每年捕获的数量为 b，则列式得 ， xk +1 = (1 + r ) xk − b k = 0,1, 2L 下面我们要分析的就是b=1和b=3两种情况 和 两种情况. 下面我们要分析的就是 两种情况
x k + 1 = (1 + r ) k x 0
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描绘三种条件下演变曲线
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问题一结果分析
在较差的自然环境下， 在较差的自然环境下，山猫的数量会越来 越少，最后可能将濒于灭绝； 越少，最后可能将濒于灭绝； 在中等和较好的自然环境下， 在中等和较好的自然环境下，由于增长率 大于0，即山猫数量呈几何级数无限增长， 大于 ，即山猫数量呈几何级数无限增长， 且在较好的自然环境下增长得快一些。 且在较好的自然环境下增长得快一些。
实验数据和模拟值的对照
年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 实验数据 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 模拟值 3.9 5.1489 6.7905 8.9434 11.757 15.421 20.163 26.258 34.019 43.783 55.878 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 实验数据 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 模拟值 70.57 87.981 108 130.19 153.75 177.59 200.45 221.21 239.06 253.64 265.03
T = C + (T0 − C )e − kt
其中室温为C，人体常温即初始提问为 其中室温为 ，人体常温即初始提问为T0， 死亡后第t小时尸体温度为 小时尸体温度为T， 为可求常数 为可求常数. 死亡后第 小时尸体温度为 ，k为可求常数
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如何建模
建模过程
可设正常人 体温为37℃ 体温为 ℃ 假设案发之 后没有外界环 境对尸体温度 产生客观影响
rk
x k +1 − x k = xk
从表格中22个数据我们应该得到 个增长率 从表格中 个数据我们应该得到21个增长率 个数据我们应该得到 rk(k=1,2,…21)，将它们也画成散点图 … ，将它们也画成散点图.
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年增长率的散点图
美美百人人人人人增增百人人人人美美人
0.4 0.35
0.3
凌晨到早上6点尸温的变化 凌晨到早上 点尸温的变化 t 0 1 2 3 4 5 6 T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926
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描点作出温度与时间的关系图
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结果分析
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人口增长的模拟效果图
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百人人人（百百百 百百百）
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年年（年）
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结果猜测
由以上数据的模拟整合， 由以上数据的模拟整合，我们可以预测 2010年美国人口数量。2010与2000年相 年美国人口数量。 年美国人口数量 与 年相 其增长率大概为0.12左右，而2000年 左右， 比，其增长率大概为 左右 年 的人口数量为281.4百万人，故可计算得 百万人， 的人口数量为 百万人 2010年美国人口数量大概为 年美国人口数量大概为305.2百万人。 百万人。 年美国人口数量大概为 百万人
故可建立差分方程： 故可建立差分方程：
Ti +1 = C + (Ti − C )e
− kt
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分析过程
Ti +1 = C + (Ti − C )e
− kt
Ti表示经过第 小时尸体的温度，借助计算机的计 表示经过第i小时尸体的温度， 经过第 小时尸体的温度 算我们可以得到， 算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸 体温度状况： 体温度状况：
使用冷却定 律作理论依据 来帮助计算 列出相应适 用的数学方程
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分析过程
− kt 由公式 T = C + (T0 − C )e 根据题意， 根据题意，可将 T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2 代入上式， 代入上式，可求得常数
1 23 − 17 1 2 k = − ln = − ln 2 26 − 17 2 3
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数学在各领域中的地位
生物 物理 经济
化学 数学
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数学建模
能用数学解决的问题
数学理论的加工
物理
生化
经济
心理
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今天我们要说什么
1
如果你是警察或 侦探，在到达案 侦探， 发现场时你能推 测死者的死亡时 间吗？ 间吗？
2
如果你知道某个 国家近百年来人 口的数量，你能 口的数量， 猜测它未来十年 后的人口数量吗？ 后的人口数量吗？