二分图最大匹配

题目分析
这道题目我们很容易将其抽象成为二分图 最大匹配的基本模型.我们可以用匈牙利 算法求出其最大匹配M,然后所求解即为 n+m-M. 可是,考场上并不是每个人都能想到这一 巧妙的转换. 于是,我们可以怀抱着一种骗分的心态, 构造出一种贪心策略,从而得到满分!
贪心算法
首先,我们将每条无向边拆分成两条反向 的有向边,存储在邻接表中.与此同时, 我们记录下每个顶点的出度. 然后,我们每次找出一个当前未被访问过 的结点中,出度最小的结点u.同时,再在 以该结点u为起始点的所有边所对的点中, 找出一个同样满足未被访问,且出度最小 的结点v.
贪心算法
接着,我们将u,v两点都进行删除操作. (当u的出边所对的点都已被访问,那么就找 不到满足条件的v,因此只对u进行操作) 所谓删除操作,在这里,删除s,其实就是 将s的所有出边所对的点t的出度都减一. (因为要删除点s,即(s,t)也被删除,即(t,s) 也要被删除,所以t的出度要减一)
主程序代码
n:=n+m; while tot<n do begin b:=maxlongint;//找结点u for a:=1 to n do if(not visit[a])and(degree[a]<b)then begin b:=degree[a]; c:=a; end; a:=u[c]; b:=maxlongint;// b:=maxlongint;//找结点v v while a<>0 do begin if(not visit[v[a]])and(degree[v[a]]<b)then begin b:=degree[v[a]]; d:=v[a]; end; a:=next[a]; end; inc(ans);//连边,答案加一 ins(c);//对u进行删除操作 if b<>maxlongint then ins(d);//如果存在v,对v进行删除操作 end; writeln(ans);; end.
网络流算法(编程复杂,小题大做) 匈牙利算法(理解困难,实现简单) 以上这些我都不会怎么办?
百度文库
贪心算法
下面,我们引进一种能够完美解决二分图 最大匹配问题的贪心算法.
会议安排
一个重要的会议由A公司的M位代表和B公司的N 位代表参加(M,N≤1000,代表用1,2,……, M和1,2,……,N表示).他们被预先分成 K(K≤60000)组进行谈判.每组两个人分别来自A 公司和B公司.每个参加会议的代表都至少参加 了一组谈判.会议为每一个代表都准备了一个房 间.技术人员将会在一些房间之间连上直通电话, 一个代表至少要和他的一个谈判对手直接联络. 连接一个直通电话的价格是常数.技术人员要用 尽量少的花费满足会议的要求.
最大匹配的基本概念
从给定的图G=[V,E]的所有匹配中,把包 含边数最多的匹配找出来.这种匹配即所 谓的最大匹配问题.
二分图的最大匹配
e.g.飞行员分成两部分,一部分是正驾驶员, 一部分是副驾驶员.显然,如何搭配正副 驾驶员才能使出航飞机最多的问题可以归 结为一个二分图上的最大匹配问题.
常用算法
二分图最大匹配问题 (贪心算法) 贪心算法)
BY 长郡中学 曹博凯
二分图的基本概念
二分图是一类特殊的图结构 二分图是这样一种图:G的顶点集合V分成 两部分X与Y,G中每条边的两个端点一定 是一个属于X而另一个属于Y.
匹配的基本概念
设G=[V,E]是一个无向图,M属于E是G的 若干条边的集合,如果M中的任意两条边都 没有公共的端点,就称M是一个匹配.
贪心算法
这样循环做下来,我们每做一次都相当于 连了一条边(u,v),于是inc(ans). 同时,我们对这条边的两个端点u,v都做了 删除操作(如果可以的话).每删一个点 就inc(tot),直到tot=n+m,即两边的点均被 删完. 此时我们得到的ans值即为答案,直接输出 即可.
总结
以上就是简单明了的二分图最大匹配的贪 心算法. 比起前面所提到的网络流算法和匈牙利算 法,都有着无可比拟的优越性. 它不但比前面两个算法都要好理解,而且 不及网络流算法的编程复杂度,也不用担 心匈牙利算法的递归层数.
注意
以上所述的贪心算法仅适用于二分图的最 大匹配问题,最佳匹配问题是不适用的. 本人尚未见到有人能够对此算法给出严格 的证明,但是网上确实也有不少人有用此 算法过全点的经历. 总之,请各位慎重使用! (:以下附例题的主程序的代码
主程序代码
procedure add(i,j:longint); begin inc(top); v[top]:=j; next[top]:=u[i]; u[i]:=top; inc(degree[i]); end; procedure ins(i:longint); var o:longint; begin visit[i]:=true; inc(tot); o:=u[i]; while o<>0 do begin dec(degree[v[o]]); o:=next[o]; end; end; begin readln(n,m,k); for a:=1 to k do begin readln(b,c); c:=n+c; add(b,c); add(c,b); end;
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