2018届上海市高三数学一模金山卷(含答案)

3 ⎩
⎨ ⎩
2 金山区 2017 学年第一学期质量监控
高三数学试卷
(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1–6 题每题 4 分，第 7–12 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1. 若全集 U =R ，集合 A ={x |x ≤0 或 x ≥2}，则U A = ．
x -1 2.
不等式 x
< 0 的解为 ．
⎧3x - 2 y = 1 3.
方程组⎨2x + 3y = 5 的增广矩阵是
．
4. 若复数 z =2–i （i 为虚数单位），则 z ⋅ z + z = ．
5. 已知 F 1、F 2 是椭圆
x + y 25 9
= 1的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|⨯|PF 2|
的最大值是 ．
⎧x - y +1 ≥ 0 6.
已知 x ，y 满足⎪
x + y - 3 ≥ 0 ，则目标函数 k =2x +y 的最大值为
．
⎪x ≤ 2 7. 从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K ”，事件
B 为“抽得为黑桃”，则概率 P (A ∪B )=
（结果用最简分数表示）．
8. 已知点 A (2，3)、点 B (–2，
)，直线 l 过点 P (–1，0)，若直线 l 与线段 AB 相交，
则直线 l 的倾斜角的取值范围是
．
9. 数列{a n }的通项公式是 a n =2n –1(n ∈N *
)，数列{b n }的通项公式是 b n =3n (n ∈N *
)，令集合
A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，
B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n ∈N *．将集合 A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前 28 项的和S 28=
．
2
5
10. 向量 i 、 j 是平面直角坐标系 x 轴、y 轴的基本单位向量，且| a – i |+| a –2 j |=
，
则| a + 2 i | 的取值范围为
．
11. 某地区原有森林木材存有量为 a ，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年
1
年末要砍伐的木材量为
10
a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ．
12. 关于函数 f (x ) =
，给出以下四个命题：(1)当 x >0 时，y=f (x )单调递减且没有
最值；(2)方程 f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程 f (x )=m (m 为常数)有解， 则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x ) 是偶函数且有最小值． 其中假命题的序号是
．
二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 若非空集合 A 、B 、C 满足 A ∪B =C ，且 B 不是 A 的子集，则(
)．
(A) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 (B) “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 (C) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件
(D) “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件
14. 将如图所示的一个 Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的
主视图是下面四个图形中的(
)．
第 14 题图
(A)
(B) (C) (D)
.
C
x x - 1
3 C 1
A
C
F 15. 二项式(
i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第 8 项是(
)．
(A) –135x 7
(B)135x 7
(C)360 i x 7
(D)–360 i x 7
16. 给出下列四个命题：(1)函数 y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为 y =cos x (x ∈R )；(2)函数
⎧ 1- t 2
2
+ - ⎪x = 1+ t 2
y = x
m
m 1
(m ∈N )为奇函数；(3)参数方程 ⎨
⎪ y = ⎩ 2t
1+ t 2
(t ∈R )所表示的曲线是圆；(4)
函数 f (x )=sin 2x – ( 2
)x
+ 1
，当 x >2017 时，f (x )> 1 恒成立．其中真命题的个数为(
)．
3
2
2
(A) 4 个
(B) 3 个
(C) 2 个
(D) 1 个
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)
如图，已知正方体 ABCD –A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，E ，F 分别是 BB 1、CD 的中点．
(1) 求三棱锥 F –AA 1E 的体积；
1
D 1
(2) 求异面直线 EF 与 AB 所成角的大小（结果用反三 1
角函数值表示）．
E
D
B
18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
已知函数 f (x )= sin2x+cos2x –1 (x ∈R )．
(1) 写出函数 f (x )的最小正周期以及单调递增区间；
(2) 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 f (B )=0， BA ⋅ BC = 3
，
2
且 a+c =4，求 b 的值．
3 3 3 B A
19．(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)
2x x -a
设P(x, y)为函数f(x)= (x∈D，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP|为点O 与点P 两点间的距离．
(1)若a=3，D=[3，4]，求|OP|的最大值与最小值；
(2)若D=[1，2]，是否存在实数a，使得|OP|的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．
20．(本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分7 分) 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线Γ：y2=2px (p>0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D，若A、B 两点纵坐标之差的绝对
a3
．试运用上述定理求解以下各题：值|y A-y B|=a(a>0)，则△ADB的面积S△ADB=
16p
(1)若p=2，AB 所在直线的方程为y=2x–4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的
；
直线与抛物线Γ的交点为D，求S
△ADB
(2)已知AB 是抛物线Γ：y2=2px (p>0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D，E、F 分别为AD 和BD 的中点，过E、F 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ：y2=2px (p>0)分别交于点M、N，若A、B 两点纵坐标之差的绝对值|y A-y B|=a(a>0)，求S△AMD和S△BND；
(3)请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y2=2px (p>0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．
21．(本题满分18 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分) 若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”．
(1)已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n–1．求数列{a n}的通项公式；
(2)在(1)的结论下，试判断数列{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
(3)已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z(n∈N*)，求证：{a n}为“等比源数列”．
5 2 ⋅ 金山区 2017 学年第一学期期末考试
高三数学试卷评分参考答案
(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1–6 题每题 4 分，第 7–12 题每题 5 分）
⎛3 - 2 1 ⎫ 7
1．A ={x |0<x<2}；2．0<x <1；3． ⎝ 2 3 ⎪ ；4．7–i ；5．25；6．7；7． ；
5⎭26
8 [ π ， 2π ]．；9．820；10． ⎡ 6 5, 3⎤ ；11. a
= 3 5 n
+ a ；12．(1)、(3)
4 3
⎢⎣ 5 ⎥⎦ n
( ) a 5 4 5 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
13．B ； 14．B ； 15．C ； 16．D
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）
17.
解：（1）因为△AA 1E 的面积为 S =2， .................................................................. 2 分
点 F 到平面 ABB 1A 1 的距离即 h=2， ....................................... 4 分
所以V
1
4 = S h = ；
............................................... 7 分 F - AA 1E
3
3
（2）连结 EC ，可知∠EFC 为异面直线 EF 与 AB 所成角， ........................ 10 分
在 Rt △EFC 中，EC = ，FC =1，所以 tan ∠EFC = ， ................... 13 分
即∠EFC =arctan ，故异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为 arctan π
． ...... 14 分
18．解：(1)f (x )=2sin(2x+
)–1，......................................... 2 分
6
所以，f (x )的最小正周期 T = π， ........................................ 4 分 f (x )的单调递增区间是[k π– π ，k π+ π ]，k ∈Z ； ............................. 6 分 3
6
π π 1 (2) f (B )=2sin(2B + 6
)–1=0，故 sin(2B + )= 6 2
， ............................. 8 分 所以，2B + π =2k π+ π 或 2B + π
=2k π+
5π ，k ∈Z ，
6
6
6
6
π 因为 B 是三角形内角，所以 B =
； ..................................... 10 分
3
5 5 5
7 3x 2
- 6x - x 2 + 2ax 3x 2
- 2ax 3 - 2a 1 1
1 ⎩ 而 BA ⋅ BC =ac cos B = 3
，所以，ac =3，又 a+c =4，所以 a 2+c 2=10， ........... 12 分
2
所以，b 2=a 2+c 2–2ac cos B =7，所以 b= ．............................... 14 分
19．解：(1) 当 a =3，D =[3，4]，
|OP |= = = 3(x -1)2
- 3, x ∈[3, 4] ，................................... 4 分
| OP |min = 3 ，| OP |max = 2 ；
.......................................... 6 分
(2) | OP |= x 2
+ 2x x - a , x ∈[1,2] ，因为|OP |的最小值不小于 2，即 x 2+2x |x –a |≥4
对于 x ∈[1，2]恒成立， ...................................................................... 8 分
当 a ≥2 时,a ≥ 1
(x + 2 4 ) 对于 x ∈[1,2]恒成立，所以 a ≥ 5 x 2
，
................. 10 分 当 1≤a <2 时，取 x=a 即可知，显然不成立， ............................. 11 分 当 a <1 时，a ≤ 1 (3x - 4 ) 对于 x ∈[1,2]恒成立，所以 a ≤ - 1
， .............. 13 分
2 x
综上知，a ≤ - 或 a ≥ 5
2 2
2 ………………………………………………………………14 分
(2)或解：| OP |= x 2
+ 2x x - a , x ∈[1,2] ， ............................... 7 分
当 a ≥2 时, | OP |= = 5
在[1,2]为增函数，
| OP |min = ≥2，所以
a ≥ ， ..................................... 9 分 2 当 1≤a <2 时，取 x=a ，|OP |=a 不可能大于或等于 2， ....................... 11 分
当 a <1 时，| OP |= =
在[1,2]为增函数，
| OP |min = ≥2 ，a ≤ - 2 ......................................................................
13 分
综上知，a ≤ - 或 a ≥ 5
2 2 ………………………………………………………………14 分
⎧ y = 2x - 4
20．解：(1) 联立直线与抛物线方程⎨ y 2 = 4x
，解得|y A –y B |=6， ...........2 分
x 2 + 2x (x - 3) 6 - (x - a )2 + a 2
2a -1 3(x - a )2 - 1 a 2
3 3
3
27 S △ADB =
8
； ......................................................... 4 分
(2) 设点 D 、M 、N 的纵坐标分别为 y D 、y M 、y N ，易知 AD 为抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一
a 条弦，M 是 AD 的中点，且 A 、D 两点纵坐标之差为定值，|y A –y D |=
(a >0)，……6 分
2
由已知的结论，得 S △AMD =
( a
)3 2
= 1 ⋅ a
， ............................... 8 分
16 p 8 16 p
同理可得 S △BND = ( a )3 2 = 1 ⋅ a ； ....................................... 9 分
16 p 8 16 p
(3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于 x 轴的直线
与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。

操作无限重复下去．
第一次操作，增加的面积为 S △AMD 和 S △BND = 2 ⋅
1 ( a )
2 16 p = 1 ⋅ 4 a
3 16 p
， ........... 10 分
第二次操作，增加了 4 个三角形，面积共增加了 22 1 ( a ) ⋅
4 16 p = 1 ⋅ 16
a 3 16 p
，………12 分
第三次操作，增加了 8 个三角形，面积共增加了 23 1 ( a ) ⋅
8 16 p = 1 ⋅ 64 a 3 16 p
，………14 分
……
1
可得到一个公比为 4
的无穷等比数列，随着操作继续充分下去，这些三角形逐渐填满
抛物线与弦 AB 围成的“弓形”， .................................................................................. 15 分
因此“弓形面积” S = lim a [1+ 1 + 1 +⋯+ ( 1 )n -1 a 3 ] =
． ........... 16 分 n →∞ 16 p
4 16 4 12 p 21．解(1) 由 a n +1=2a n –1，得 a n +1–1=2(a n –1)，且 a 1–1=1，
所以数列{a n –1}是首项为1，公比为2的等比数列， .......................... 2分
3 3 3 3 3
n 所以a n –1=2n –1，
所以，数列{a n }的通项公式为a n =2n –1+1． ................................... 4分
(2) 数列{a n }不是“等比源数列”，用反证法证明如下：
假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列构成等比数列，
因为a n =2n –1+1，所以a m ＜a n ＜a k ， .......................................... 7分 所以a n 2=a m ·a k ，得 (2n –1+1)2=(2m –1+1)(2k –1+1)，即22n –m –1+2n –m +1–2k –1–2k –m =1， 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，
所以2n –m –1≥1，n –m +1≥1，k –1≥1，k –m ≥1，
所以22n –m –1+2n –m +1–2k –1–2k –m 为偶数，与22n –m –1+2n –m +1–2k –1–2k –m =1矛盾， 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列，
综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”； .................................................................. 10分
(3) 不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0，
当d =0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”；
当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0， .... 12分 为了使得{a n }为“等比源数列”，
只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a 2=a m a k 成立，
即[a m +(n –m )d ]2=a m [a m +(k –m )d ]，即(n –m )［2a m +(n –m )d ］=a m (k –m )成立， ....... 15分 当n =a m +m ，k =2a m +a m d +m 时，上式成立，所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列， 所以，数列{a n }为“等比源数列”． .............................................................................. 18分 注意：第(3)题批改时注意答案的验证．。