5-(1-2)波的产生 波动方程

（代表该时刻的波形方程） ]
-
1 (t 2 (t -
x1 u x2
u
) 2π (
) 2π (
x1
T t

x2
)
)
波程差
x 21 x 2 - x 1
12 1 - 2 2 π
T x 2 - x1


2π
x 21

2π
y/m
u
x/m
o
O
y


2
yO A cos(t

2
)
x 波动方程为 y A cos (t - ) m u 2
第十五章 机械波 15 – 8 已知沿x轴正向传播的平面简谐波，t＝1/3s 多普勒效应 例2
时波形如图，且T＝2s，求1）写出该波的波动表达式； 2）C点的坐标。
质点的振动速度，加速度
v y t
2 2
角波数 k
x u ) ]

-A sin[ (t 2
a
y t
- A cos[ (t - ) ] u
x
15讨 论8 –
多普勒效应
波速u：取决于媒质。 振动速度： v
y t
第十五章 机械波
（1）质点的振动速度和波的传播速度是两回事。
(t , x ) (t t , x x )
t T x

x ut
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x 0 点的初相位.
y - A cos 2π ( t T x
y - A cos ( - t -
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
假设波以波速u沿x轴方向传播。 均匀的：各点的波速必须相等；
无吸收：能量无损失，振幅A恒定。
无限大介质：在传播过程中不会出现反射、折射，仅考 虑传播）； 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
y

o π
A
O
y
b 0
A
O
y
a
π 2
A
O

y
c -
π 2
第十五章 机械波 15 例1 8有一沿x轴正向传播的平面简谐波，t＝0波形如 – 多普勒效应
图，A，ω ，u已知，求波动方程。
解
yO A cos(t )
t 0, y0 0, v0 0
2.0
s
x / cm
（2）t
1 3
s, yc 0, vc 0
时刻波形图
1 xc （ ) 3 20 3 2
解上式，得：xc 23.31cm
O
y
t
1 3
s, yc 0, xc 23.31cm
第十五章 机械波 15 – 例3 已知平面简谐波的振幅A＝1cm，ν ＝100Hz， 8 多普勒效应
第五章 机械波
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两 类 波 的 不 同 之 处
机械波的传播需 有传播振动的介质; 电磁波的传播可 不需介质.
两 类 波 的 共 同 特 征
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
1 T

波速 u ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u
注意

T


u

Tu
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
15 – 8
多普勒效应
u G 切变模量
第十五章 机械波
波速 u 与介质的性质有关， 为介质的密度.
x u
) ]
15 – 8
多普勒效应
y
第十五章 机械波
(3) 已知某一点的振动方程，求波动方程
A
u
x
P(x)

- A
O x0
y x A cos( t )
0
y p ( t ) y x ( t - t ) y x ( t 0 0
x - x0 u
)
y A cos[ ( t -
多普勒效应 x
u
) ] A cos[ 2 π (
第十五章 机械波 t x
-
T

)]
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形. y ( x , t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
y ( x , t 0 ) A c o s [( t 0 ) - x u t
T 2π B
y A cos 2 π (
t
-
x
T

d
)
dC
u

T

B C
2 π

15 – 8
多普勒效应
t =0
y
A
第十五章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 点振动初相位. (- π ~ π )
u
a
b
t=T/4
O
- A
c

x
A
O


15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程 yO A cos t 时间推 迟方法
点O 的振动状态 yO A cos t
t-x/u时刻点O 的运动
点P 振动方程
y P A cos ( t -

t
x u
波长λ ＝4.0cm，初相为零，求1）波动方程；2）x＝ 2cm处质点的振动方程及该质点的最大振动速度；（3） x1＝1.6cm与x2＝2.4cm处质点在同一时刻的位相差。
波面：

球面波：波阵面为球面。 平面波：波阵面为平面。
15 – 8
多普勒效应
波前 波面
第十五章 机械波

*
球面波
波线
平面波
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
例1 在室温下，已知空气中的声速 u 1 为340 m/s， 水中的声速 u 2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？
y ( x , t ) y ( x , t T ) （波具有时间的周期性）
y ( x 0 , t ) A c o s [ t ( - x0 u )]（代表某点的振动
）
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
波线上各点的简谐运动图
15 – 8
y A cos[ ( t -
x - x0 u
) ]
15 – 8
多普勒效应
x u ) ] A cos[ 2 π (
第十五章 机械波
二 、 波函数的物理意义
y A cos[ ( t t T x

)]
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动 方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
- x u -2 π x λ
）
2 3
O
y


3
yO 10 cos( t

3
)cm
15 – 8
多普勒效应

3 )cm
y / cm
第十五章 机械波
yO 10 cos( t
x y 10 cos ( t ) cm 20 3
o -5 20
-10
t 1 3
c

横波
固体
u
液、气体 u 如声音的传播速度
Y 弹性模量

B 体变模量
纵波

343 m s 空气，常温 4000 m s 左右，混凝土
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
四 波线 波面 波前


波阵面（同相面）在某一时刻在各个方向上振动 相位相同的点所连成的曲面。 波线：波的传播方向。
波前：最前面的波阵面。

p
-2π
x

-2π
x Tu
-
x u x
u

点 P 振动方程
y p A cos ( t -
)
15 – 8
多普勒效应
y
第十五章 机械波
如果原点的 初相位不为零
A
u
x

x 0 , 0
点 O 振动方程
O
- A
y O A cos( t )
x u x ) ] u 沿 x 轴正向
x
u
) ( 向x 轴正向传播 ,
π)
) ( 向x 轴负向传播 ,
π)
2）平面简谐波的波函数为 y A cos( Bt - Cx ) 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差.
y A cos( Bt - Cx )

2π C
注意
波是振动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）如：绳波 特征：具有交替出现的波峰和波谷. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部.
x

15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
3 若 x , t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
y y
u
t
时刻
t t 时刻
O
x x
x
T t x t t x x 2π ( - ) 2 π ( ) T T
y A cos 2 π (
t
-
x
)
0 . 725 m
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
§ 5—2平面简谐波
一、波动方程的建立：
波函数： 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x , t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
波 函 数
y A cos[ ( t -
y A cos[ ( t
u
) ] u 沿 x 轴负向
15 – 8
多普勒效应
y ( x,t ) A cos[ 2 π( t x
第十五章 机械波
波动方程的其它形式
- ) ] T λ
2π
y ( x, t ) A cos(t - kx )
点P
t 时刻点 P 的运动
x u )
15 – 8
多普勒效应
u
P
x
*
第十五章 机械波
波函数
A
O
y A cos ( t -
x
)
y
u 点 O 振动方程

x
y o A cos t
相位落后法
x
x 0 , 0
-A
点 P 比点 O 落后的相位 p - O - 2 π
y / cm
解： A=10cm,λ=40cm,T=2s u=λ/T=40/2=20cm/s Ω=2π/T=π(rad/s)
（）yO A cos(t ) 1
t 1 3 s, y0 A 2 , v0 0
o -5 20
-10
t 1 3
c
2.0
s
x / cm
时刻波形图
(
1 3
第十五章 机械波
§ 5--1机械波的产生及其特征量
一 机械波的形成 机械波：机械振动在弹性介质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性介质.
波源
介质
+
弹性作用
机 械 波
15传播过程的特点： – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
1）质点本身只在平衡位置附近振动，并不传播， 传播的只是振动状态，不传播物质（质量），波动 传播的是状态和能量。 2）后开始振动的质点振动状态总是和先它开始的 质点一致。
15 – 8
多普勒效应 第五章 教学基本要求
第十五章 机械波
1、理解机械波形成和传播的条件及其特征量。 2、掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简
谐波表达式的方法。 3、了解波的叠加原理，理解波的相干条件。
4、掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件。 5、理解波的干涉、了解行波和驻波。
15 – 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
多普勒效应
解 由 u ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在 空气中的波长
1
u1
1

340 m s 200 Hz
-1
1 .7 m
2
u1
2
u2
0 . 17 m
在水中的波长
1
u2
1

1450 m s 200 Hz
-1
7 . 25 m
2
2
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
三 波长、波的周期和频率、波速
A O -A
y
u

x
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 位差为 2 π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度.

15 – 8

多普勒效应
第十五章 机械波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间.即波源的振动周期。 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.
x u
- A sin[ ( t -
) ]
(2) 沿x负方向传播时的波动方程 y yO A cos( t ) u
op x
y p ( t ) yo ( t x u
x u
A
x
)
- A
O
p

y p ( t ) A cos[ ( t
) ]
y A cos[ ( t