3.4 基于闭环系统辨识的数字前馈控制

T 很小，故
cos (ωlT ) → 1
，
sin (ωlT ) → 0
，
F ( z −1 ) Gc ( z −1 )
的增益近似为1。
通过上述分析可见，采用零相差前馈控制器， 通过上述分析可见，采用零相差前馈控制器，可实现系统相移在 全频范围内为零，在低频范围增益近似为 ，从而实现高精度跟踪控制。 全频范围内为零，在低频范围增益近似为1，从而实现高精度跟踪控制。 由控制器式(15)可见，零相差控制要求待跟踪轨迹在开始运动前 可见， 由控制器式 可见 就预先知道，即指令信号的超前值是已知的。在实际应用中， 就预先知道，即指令信号的超前值是已知的。在实际应用中，还有一 类高精度伺服系统，指令的超前信息是未知的， 类高精度伺服系统，指令的超前信息是未知的，即在采样时刻只知道 该时刻和该时刻以前的指令值。 该时刻和该时刻以前的指令值。对于指令超前信息未知的高精度伺服 系统，当采样时间很小时，可忽略指令的超前信息， 系统，当采样时间很小时，可忽略指令的超前信息，即应用当前的指 令值代替指令的超前信息，从而实现零相差前馈控制。 令值代替指令的超前信息，从而实现零相差前馈控制。
2 2
= Re2 Bu (e− jωT ) + Im2 Bu (e− jωT )
（17） ）
其中
Re Bu (e− jωT ) = b0 + b1 cos (ωT ) + Lbl cos (ωlT ) Im Bu (e− jωT ) = b sin (ωT ) +L+ bl sin (ωlT )
−1
可见，离散化的闭环系统有一个零点在单位圆之外， 可见，离散化的闭环系统有一个零点在单位圆之外，因此
Gc ( z −1 )
是一个非最小相位数字系统。 是一个非最小相位数字系统。闭环系统的零点
T
为
z = [9.4222 -0.5618]
，极点为 p = [0.9745 + 0.0868i
0.9745 - 0.0868i 0.9572]
，则图2可以进一步化简，得到 则图 可以进一步化简， 可以进一步化简
图1 控制系统原理图
图2 等效框图
不失一般性， −1 可以写成如下形式: 不失一般性，Gc ( z ) 可以写成如下形式
Gc ( z −1 ) = z − d Bu ( z −1 ) Ba ( z −1 ) A ( z −1 )
则
Bu ( z −1 ) Bu ( z ) ( b0 + b1 cos (ωT ) + L bl cos (ωlT ) ) + ( b sin (ωT ) + L + bl sin (ωlT ) ) = 2 Bu (1) 2 ( b0 + b1 + L + bl )
2
2
(18)
由式（ ）可见， 由式（17）可见，
−1 −1
(16)
设系统的采样周期为 T ，ω 为角频率，由式 为角频率，由式(14)，有 ，
Bu ( z −1 ) Bu ( z ) = ( b0 + b1z −1 + L + bl z −l )( b0 + b1z + L + bl zl )
= ( b0 + b1e− jωT + L + bl e− jωlT )( b0 + b1e jωT + L + bl e jωlT )
= b0 + b1 ( cos (ωT ) − j sin (ωT ) ) + L + bl ( cos (ωlT ) − j sin (ωlT ) ) ×
b0 + b1 ( cos (ωT ) + j sin (ωT ) ) + L + bl ( cos (ωlT ) + j sin (ωlT ) ) = ( b0 + b1 cos (ωT ) + Lbl cos (ωlT ) ) − j ( bl sin (ωT ) + L + bl sin (ωlT ) ) × ( b0 + b1 cos (ωT ) + Lbl cos (ωlT ) ) + j ( bl sin (ωT ) + L + bl sin (ωlT ) ) = ( b0 + b1 cos (ωT ) + Lbl cos (ωlT ) ) + ( bl sin (ωT ) + L + bl sin (ωlT ) )
由于闭环系统的不稳定零点成为前馈控制器的极点， 由于闭环系统的不稳定零点成为前馈控制器的极点，采用上式作为 控制器会造成控制系统不稳定。为了克服这种情况，对于闭环系统(13)， 控制器会造成控制系统不稳定。为了克服这种情况，对于闭环系统(13)， (13) 通过在控制器中引入零点
Bu ( z −1 ) 设计零相差前馈控制器为： 设计零相差前馈控制器为：
3.4.3 仿真实例 在闭环系统辨识的基础上进行零相差控制，采样周期取 在闭环系统辨识的基础上进行零相差控制，采样周期取1ms， ， 离散化可得： 将闭环系统的辨识模型 Gc ( s ) 离散化可得：
-2.6651×10-5 (z-9.422)(z+0.5618) Gc ( z ) = (z-0.9572)(z 2 -1.949z+0.9572)
−1 −1 c
Bu ( z −1 ) Bu ( z )
为一个非负实
也为一个非负实数，因此， 数，则 F ( z ) G ( z ) 也为一个非负实数，因此，加入 零相差前馈控制器后， 零相差前馈控制器后，整个系统的相移在全频域 范围内为0。 范围内为 。
由式（18）可见，在低频情况下， 很小，又由于采样时间 ω ，
| Gc ( z ) = 0 I | z |≥ 1})
将成为前馈控制器
的极点，造成前馈环节存在不稳定极点，控制系统不稳定。 的极点，造成前馈环节存在不稳定极点，控制系统不稳定。
零相差跟踪控制器(ZPETC, Zero Phase Error Tracking 零相差跟踪控制器 Control)是一种数字前馈控制器，适用于闭环系统为非最小相位的数 是一种数字前馈控制器， 是一种数字前馈控制器 字控制系统，该控制器由日本学 提出[1]。 字控制系统，该控制器由日本学M.Tomizuka提出 。零相差前馈控 提出 制器通过在控制器中引入零点来补偿闭环系统的不稳定零点， 制器通过在控制器中引入零点来补偿闭环系统的不稳定零点，当指令 超前值已知时，校正后的系统在全频域范围内相移为零，在低频范围， 超前值已知时，校正后的系统在全频域范围内相移为零，在低频范围， 增益近似为1。 增益近似为 。 零相差前馈跟踪控制在数控加工中心、坐标仪以及绘图仪等高精 零相差前馈跟踪控制在数控加工中心、 度伺服系统中得到了成功应用，有效地拓宽了系统频带。 度伺服系统中得到了成功应用，有效地拓宽了系统频带。 基于零相差前馈控制器的控制系统如图1所示， 基于零相差前馈控制器的控制系统如图 所示，其中 yd 为输入 所示
（13） ）
其中， 为分母多项式，其所有的根都位于单位圆内部。 其中， A( z −1 ) 为分母多项式，其所有的根都位于单位圆内部。 d 为
B 非负整数， 步延迟。 非负整数，z − d 为 d 步延迟。 u ( z −1 ) 和
Ba ( z −1 )为多项式， Bu ( z −1 ) 为多项式，
来补偿闭环系统的不稳定零点 Bu ( z )
，
F (z
−1
)=
z d A ( z −1 ) Bu ( z ) Ba ( z
−1
) B (1)
u
(15)
2
3.4.2 系统相移 则有： ，设H ( z −1 ) = Bu ( z ) Bu ( z −1 ) ，则有：
定理1[1] 对于（14）式定义的 对于（ ） 定理 （1） ∠H ( e − jωT ) = 0, ）
Bu ( z −1 ) = b0 + b1 z −1 + L + bl z − l , b0 ≠ 0
（14） ）
显然，如果用不变性原理设计前馈控制器，则控制器表示为： 显然，如果用不变性原理设计前馈控制器，则控制器表示为：
F ( z −1 ) = Bu ( z −1 ) Ba ( z −1 ) z d A ( z −1 )
3.4 基于闭环系统辨识的数字前馈控制
在闭环系统辨识的基础上, 在闭环系统辨识的基础上,本节讨论基于闭环系统逆的控制器 设计问题。 设计问题。 3.4.1 零相差前馈控制基本原理 通常, 前馈控制是基于不变性原理, 通常, 前馈控制是基于不变性原理,即将前馈控制环节设计成 待校正的闭环系统的逆,从而使校正后系统的输入输出传递函数为1， 待校正的闭环系统的逆,从而使校正后系统的输入输出传递函数为1 从而达到精确控制。但当闭环系统为非最小相位系统时， 从而达到精确控制。但当闭环系统为非最小相位系统时，这种方法 就不适用了。这是由于非最小相位系统的逆会出现不稳定的极点。 就不适用了。这是由于非最小相位系统的逆会出现不稳定的极点。
Ba ( z −1 ) = -2.6651× 10-5 × (1+0.5618z -1 )
则
Bu ( z ) = 1-9.422z
Bu (1) = 1-9.422
则根据式(15), 零相差控制器的表达式为 则根据式
F ( z −1 ) =
z 2 ( 9.422-28.38 z -1 +29.5z -2 -11.46z -3 +0.9162z -4 ) 0.00189+0.001062z -1
∀ ω ∈R
Bu ( z −1 )
2 （2） ∠H ( e− jωT ) = Re2 Bu (e− jωT ) + Im 2 Bu (e− jωT ) , ∀ ω ∈ R ）