应用分部积分法的基本技巧
4-3分部积分法
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例10： 证明递推公式
n 2 2 I tan x (sec x 1) d x 证: n
tan
n 2
x d(tan x ) I n 2
( n 2)
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例13：求
I
e arctan x
(1 x 2 ) 2
3
dx .
解法1 先换元后分部 令 t arctan x , 即 x tan t , 则 et I 3 sec 2 t d t e t cos t d t sec t
e t sin t e t cos t e t cos t d t 1 故 I (sin t cos t ) e t C 2 x 1 arctan x 1 C 2 2 e 1 x 2 1 x
解（二） 令 u x , cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
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例2
解
求积分
2 x x e dx .
2 x 2 x x de x e dx
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1 例12：求 I n n dx sin x 1 1 dx n 2 d cot x 解: I n n 2 2 sin x sin x sin x ( n 2) cot x n 2 cot x ( 2 n) sin1 n x cos x dx sin x cos x 1 sin2 x n1 ( 2 n) dx n sin x sin x cos x n 1 ( 2 n ) I n ( 2 n ) I n 2 sin x 1 cos x n2 故 In I n 2 ( n 2) n 1 n 1 sin x n 1
分部积分法的使用技巧
分部积分法的使用技巧
1. 先确定积分区间，确定积分区间的方法有：
（1）根据函数的性质，如函数的单调性、极值点等，确定积分区间；（2）根据函数的定义域，确定积分区间；
（3）根据函数的变化趋势，确定积分区间；
2. 根据积分区间，确定积分步长，确定积分步长的方法有：
（1）根据函数的变化趋势，确定积分步长；
（2）根据函数的变化率，确定积分步长；
（3）根据函数的变化幅度，确定积分步长；
3. 根据积分步长，确定积分点，确定积分点的方法有：
（1）根据积分步长，从积分区间的起点开始，逐步确定积分点；（2）根据函数的变化趋势，确定积分点；
（3）根据函数的变化率，确定积分点；
4. 根据积分点，计算函数值，计算函数值的方法有：
（1）根据函数的定义，计算函数值；
（2）根据函数的表达式，计算函数值；
（3）根据函数的图像，计算函数值；
5. 根据函数值，计算积分值，计算积分值的方法有：
（1）根据积分步长，计算积分值；
（2）根据函数的变化趋势，计算积分值；
（3）根据函数的变化率，计算积分值；
（4）根据函数的变化幅度，计算积分值；
6. 根据积分值，计算函数的积分，计算函数的积分的方法有：（1）根据积分步长，计算函数的积分；
（2）根据函数的变化趋势，计算函数的积分；
（3）根据函数的变化率，计算函数的积分；
（4）根据函数的变化幅度，计算函数的积分；
（5）根据函数的定义，计算函数的积分；
（6）根据函数的表达式，计算函数的积分；
（7）根据函数的图像，计算函数的积分。
高数4.3 分部积分法
cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
分部积分法的一个分部经验
分部积分法的一个分部经验我们知道，用分部积分公式z求积时，主要是选好u 与v ，这里介绍一种经验顺序，取名“反对幂指三”经验顺序。
“反对幂指三”是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的简称。
其意是说，如果用分部积分法求不定积分，而被积函数 f (x)恰是这五类函数中任意两个函数的乘积时，则按“反对幂指三”的顺序，次序在前的取为u,次序在后的取为v’进行分部，这样通常能解决问题。
这便是经验顺序。
例1 求解被积函数是“幂指”型，因指数函数排在幂函数之后，按经验顺序，取为，即例2求解这是“幂三”型，cos应取为，即例3 求解这是“反幂”型，应取x 为，即例4 求解这是“对幂”型，取幂x 为，即例5求解这是“对三”型，应将“三”取为，即例6求解这是“幂三”型，应将“三”取为，即要注意，这只是一个经验顺序，并非严格的理论，因而不能将它作为不变的教条。
例如，求这是“幂指”型．若按经验顺序，取为，则所得新积分反而比原积分更复杂。
这时，应考虑取“幂”为，即不过，在许多情况下，这个经验顺序是行之有效的。
一个关于分部积分的小技巧总结分部积分法主要用于解决被积函数中含有乘积项，或含有对数函数或含有反三角函数型的积分。
采用分部积分法来计算∫f(x)dx时，关键时如何讲f(x)dx巧妙地凑成u(x)dv(x)的形式（即f(x)dx=u(x)dv(x)）,并且∫v(x)du(x)要容易积分的形式。
换句话说正确选定u,v是使用分部积分法成功的关键。
下面讲一个小技巧总结如下：如果被积函数是如下三组六类：（第一组）反三角函数对数函数；（第二组）有理函数幂函数；（第三组）指数函数三角函数；中的两个。
那么属于同组“上行”为u,不同组者“上侧”为u ,这里的“上行”是指每组两行中的上一行；这里“上侧”是指组数偏左的那一个组。
采用上述方法来说选定u,它既便于具体操作，又在绝大多数情况下可获得成功，大家有兴趣可以试试。
分部积分法的步骤
分部积分法的步骤分部积分法是微积分中的一种重要方法，用于求解一些复杂的积分问题。
它的基本思想是将一个积分式分解成两个部分，然后对其中一个部分进行求导，对另一个部分进行积分，最终得到原积分式的解析式。
下面我们将详细介绍分部积分法的步骤。
一、确定被积函数和积分因子在使用分部积分法求解积分问题时，首先需要确定被积函数和积分因子。
被积函数通常是一个复杂的函数，而积分因子则是一个可以被积分的简单函数。
例如，对于积分式∫f(x)g(x)dx，f(x)就是被积函数，g(x)就是积分因子。
二、选择分部积分的形式在确定被积函数和积分因子之后，需要选择分部积分的形式。
分部积分法有两种形式：u-substitution和v-substitution。
其中，u-substitution是指将被积函数中的一部分作为u，另一部分作为dv，然后对dv进行积分，对u进行求导。
v-substitution则是指将积分因子中的一部分作为v，另一部分作为du，然后对du进行积分，对v进行求导。
选择哪种形式取决于被积函数和积分因子的具体形式。
三、进行分部积分在选择好分部积分的形式之后，就可以进行分部积分了。
具体步骤如下：1. 将被积函数分解成u和dv两部分。
2. 对dv进行积分，得到v。
3. 对u进行求导，得到du。
4. 将v和du代入分部积分公式中，得到积分结果。
5. 如果积分结果仍然是一个积分式，可以继续使用分部积分法进行求解，直到得到解析式为止。
四、检验结果在使用分部积分法求解积分问题时，需要对结果进行检验，以确保结果的正确性。
检验的方法有两种：代入法和微分法。
代入法是指将求得的解析式代入原积分式中，看是否满足原积分式的要求。
微分法则是指对求得的解析式进行微分，看是否得到原积分式的被积函数。
分部积分法是一种非常重要的微积分方法，可以用于求解一些复杂的积分问题。
在使用分部积分法时，需要确定被积函数和积分因子，选择分部积分的形式，进行分部积分，最后对结果进行检验。
关于分部积分计算需要注意的几点
关于分部积分计算需要注意的几点1. 引言1.1 分部积分的定义分部积分是微积分中的基本概念之一，它是对一个积分式的乘积进行分解，以便更容易求解的方法。
在分部积分中，我们将积分式中的一个因数看作是导数，另一个因数看作是原函数，通过这种方式可以将原本复杂的积分式简化为更容易计算的形式。
分部积分的定义可以通过以下公式表示：\int u dv = uv - \int v duu和v是可微的函数，du和dv分别是u和v的微分。
这个公式在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种类型的积分问题。
掌握分部积分的定义和基本原理是学习微积分的重要一步，它能帮助我们更好地理解积分的概念和方法，同时也可以应用到各种实际问题中。
通过熟练掌握分部积分的定义和基本原理，我们可以更高效地解决复杂的积分计算问题，提升数学求解能力。
1.2 分部积分的基本原理分部积分的基本原理是一种计算积分的方法，通过将一个积分拆分成两个函数相乘后再对其中一个函数求导，从而简化原积分的计算过程。
这个方法本质上是积分与导数的反向操作，即将难以直接积分的函数通过求导得到一个更简单的形式，再进行积分。
在应用分部积分时，需要选择一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”，然后根据分部积分公式进行计算。
分部积分的基本原理可以帮助我们解决一些复杂的积分问题，特别是当积分中包含多个函数相乘时。
通过不断应用分部积分，可以逐步简化复杂的积分，最终得到解析形式的结果。
掌握分部积分的基本原理对于求解一些特定形式的积分问题是非常重要的，同时也有助于我们理解积分与导数的关系，深化对微积分的理解。
在学习分部积分时，要深入理解其基本原理，并灵活应用于具体问题的求解中。
2. 正文2.1 分部积分的常见形式分部积分是微积分中的重要概念之一，常常用于求解复杂的定积分或不定积分。
在实际应用中，我们经常会遇到各种形式的分部积分，因此需要对其常见形式有所了解。
1. 乘积形式：最基本的分部积分形式就是两个函数的乘积形式，即\int u \cdot v dx = u \cdot \int v dx - \int u'(\int v dx) dx。
(完整版)定积分的分部积分法
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
分部积分的计算方法与技巧
分部积分的计算方法与技巧分部积分是微积分中的一种重要工具，用于求解一类积分问题。
它是通过将复杂的积分按照一定的规则进行分解，然后再将分解后的积分进行计算得到最终结果。
本文将介绍分部积分的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用分部积分。
在进行分部积分时，我们需要选择一个函数作为u，并对其求导得到du。
同时选择另一个函数作为dv，并对其求积分得到v。
然后利用分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du将u、v、du和dv带入公式，即可进行积分计算。
下面将具体介绍分部积分的几种常见情况及其计算方法。
情况一：乘积中一个函数的导数容易求得，另一个函数的不定积分容易求得。
当乘积中一个函数的导数容易求得，另一个函数的不定积分容易求得时，可以选择导数容易求得的函数作为u，并对其求导得到du；选择不定积分容易求得的函数作为dv，并对其求积分得到v。
然后将u、v、du和dv带入分部积分公式，进行积分计算。
例如，计算∫x*sin(x)dx。
我们可以选择x作为u，并对其求导得到du=dx；选择sin(x)作为dv，并对其求积分得到v=-cos(x)。
带入分部积分公式，得到∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx。
进一步求解，得到最终的积分结果为-x*cos(x) + sin(x) + C。
情况二：乘积中的两个函数都含有幂函数。
当乘积中的两个函数都含有幂函数时，可以选择幂函数次数较低的函数作为u，并对其求导得到du；选择幂函数次数较高的函数作为dv，并对其求积分得到v。
然后带入分部积分公式进行积分计算。
例如，计算∫x^2 * ln(x)dx。
我们可以选择ln(x)作为u，并对其求导得到du=(1/x)dx；选择x^2作为dv，并对其求积分得到v=(1/3)x^3。
带入分部积分公式，得到∫x^2 * ln(x)dx = (1/3)x^3 * ln(x) - ∫(1/3)x^3 *(1/x)dx。
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2010,24(1)
论述了数学背景对数学发展的重要性,提供了不定积分中的几何背景,介绍了不定积分的表格分部积分法及案例,对改革教学内容和改进教学方法进行 了尝试.
9.期刊论文 柯春梅 浅析分部积分法的使用技巧 -中国水运(下半月)2008,8(12)
２００８年３月 第１４卷第２期
湖北成人教育学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＨｕＢｅｉ Ａｄｕｌｔ Ｅｄｕｃａｆｉｏｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
Ｍａｒ，２ ０ ０ ８ Ｖ Ｏ １．１４ Ｎ Ｏ．２
应用分部积分法的基本技巧
陶燕芳
（长江职业学院公共课部，湖北武汉。４３００７４）
ｔ摘要】针对分部积分法在不定积分的使用，通过举例说明了其基本技巧和方法。 【关键词】不定积分；分部积分法；被积函数；换元积分法
3.期刊论文 张芳 关于反函数的不定积分的一种简便求法 -高等数学研究2008,11(6)
反函数的不定积分比较困难,尤其当被积函数的次数较高时,计算很麻烦.利用分部积分法和换元积分法可以推导出关于反函数的不定积分的一种简便 求法,使得被积函数的次数降低,运算简化.实例说明这种方法是可行的.
4.期刊论文 张亚敏 谈不定积分的基本解题方法 -黑龙江科技信息2007,""(18)
6.期刊论文 陈杰.刘宁 一种新类型的不定积分的计算 -泰山学院学报2004,26(6)
本文对一种新类型不定积分进行了探讨,给出了详细解法,丰富了分部积分法的内容,对高等数学不定积分的教学,有一定的指导作用.
7.期刊论文 李少云 分部积分法讨论 -中国科技信息2009,""(14)
分部积分法是一个有效的积分方法,初学者掌握这方面知识还是有点难度,文章讨论初学者如何化难为易,快速掌握分部积分法.
参Байду номын сангаас文献： ［１】同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ】．北京：高等教育
出版社。２００２． 【２］华东师范大学数学系．敷学分析［Ｍ】．北京：高等教育
出版社。１９９９． Ｉ责任编辑：侯谦民）
弋’弋’电专七女七七专’弋々电弋弋女★七七电弋弋电电弋★七专’专々电女专’电七弋★弋电电七
（上接第９６页） （一）提高白身素质，重视教师话语质量 教师话语既是学生语言输入的一个重要来源，又是教
舭．『南 一３ｘ（Ｉｒ塔）２＋６ｘｌｎｘ一６ｘ＋Ｃ
分析 可用分部积分法降低次数，也可用如下方法升高
次数，总结递推规律。
南＝寿鼽以．·一。．ｃＪ２Ｉ１Ｊ南Ｊ．＝２去．』（南南＋（ｌ南口＝南ａ南ｒｃｔ一ａ一ｎ口ｘ南２＿）．ａ２）ｆ出矿＝冬南严一２＋’』ｃ 。
’’Ｊ（，＋ａ２）２—２口２、，＋ ’口
口
三、当被积函数形式复杂．不易发现规律时．先作代数
分析了不定积分的四种基本求解方法:直接积分、第一换元法、第二换元法、分部积分法.结合例子讨论这些方法的可行性,它对快速求解不定积分有 一定的意义.
5.期刊论文 金凤英 用表格形式表示分部积分法 -襄樊职业技术学院学报2003,2(6)
讨论了用表格形式的方法来求解被积函数是两个已知函数的乘积的函数的不定积分的方法.
＝（１６ｘ２—９）ｌｎ（４ｘ－３）一去』篝乌‰
＝ｌ去［（１６Ｘ２—９）ｌｎ（４ｘ一３）一４ｆ（４ｘ＋３）也］
＝亩［（１６矿一９）ｈ（４ｘ一３）一８，一１勉］＋ｃ
二、利用递推公式．迭代计算求出原函数。
ｌ奠１２．Ｊ．（ｈ）３如
解：原式＝毒（ｈ噶）３－卢（ｈｕ）’＝互（１瓜）３—
３』（ｈ）２如＝茗（ｋ）’一３ｘ（１ｎｘ）２＋３卜ｄ（ｋ）２＝善（ｋ）’
一、利用幽＝二电（鲫４－ｂＩｌ口≠０．６为常数》，适当选
择ａ，ｂ．可简化求解过程。
例１．Ｉｘｌｎ（４ｘ一３）出 分析 被积函数理解为多项式函数与对数函数的
积，令Ⅱ＝ｔｎ（４ｘ一３），考虑到ｄｕ＝ｚ珞，故选用互如＝ 似一ｊ
亩ｄ（１６ｘ２—９），便于对ｔ也进行化简。
解：原式＝剖１ｎ（４ｘ一３）ｄ（１６ｘ２—９）
2.期刊论文 陈香莲.罗朝阳 应用"问题解决"整合分部积分法的教学 -昌吉学院学报2008,""(6)
"问题解决"不仅是培养学生数学解题能力的一种方法,而且已成为一种具有全局性质的数学教学模式,对数学教育有根本性的指导作用和改革意义.在 不定积分"分部积分法"的教学设计中,应该通过创设问题情境,引发学生的认知冲突;突出转化的数学思想,引导学生归纳解决问题的方法,步骤;重视问题 及其解决过程的规范表征;同时加强解题策略的总结与反思,使学生以同化的方式逐步构建正确合理的数学认知结构.
之积极主动地学习，提高语言输出能力。 本文以语言输入输出理论和互动理论为基础，探讨了
了教师话语对于外语课堂的重要意义，并结合课堂教学的 实际情况提出了充分发挥教师话语的积极作用的建议。 总之。教师话语作为英语课堂教学活动的媒介和学习者语 言输入的主要外部来源，在学习者语言输出过程中有十分 重要的作用，为了提高英语课堂的效果，提高学习者语言 输出能力，教师应适当控制课堂话语的数量，提高话语的 质量，精心设计课堂提问，鼓励学习者积极参与课堂互动， 以提高他们的语言运用水平。
．．．卜’施＝÷（ｓ掣咄＋ｌｎ ｌ ｓｅ口＋ｔ眦Ｉ）＋ｃ 例７．啡。ｃ０６ｂｘＡｆｆｉ②弘。ｓｉｎｂｘｄｘ
解：①原式口Ｊ＝＊讪ｄｅ＂＝口 ｝础一
＊。～＝，ｃ妇＋＊。ｓ；龇
ｄＪ
口
口Ｊ
②整原理式两＝式＊ｉ得ｎ触②。Ｐｓ＝ｉ｝姚“。＝塑础等一事扣茅ｃ∞＋ｃ鼬
啡。ｃ枞＝迪冀铲峰＋ｃ
总之，分部积分法的使用灵活多样，多种方法结合使 用．懈顾才会冒快胃捍．
分部积分法是一种基本的积分方法,常用于求被积函数是两种不同类型函数乘积的积分.分部积分法的使用有一定的技巧,灵活运用,常常能起到事倍 功半的效果.
10.期刊论文 连坡 分部积分法使用的几个技巧 -高等数学研究2006,9(6)
就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的方法和技巧.
本文链接：/Periodical_hbcrjyxyxb200802043.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：92016c34-0faa-4e00-b634-9dc901566b62
师向学生传达信息，调控学生课堂行为的主要方式和手 段，教师话语的质量对课堂效果和学生语言习得都有较大 影响。由于我国教师大部分也是二语习得者。教师要不断 提高自身素质和语言水平，提高话语质量，才能为学习者 提供最佳的真实而自然的语言输人。
（二）适当控制教师话语量，增加课堂互动 教师话语量越大，占据的时问越多，学习者进行互动 活动和语言输出的机会和时间就越少。因此教师的话语时 间应根据不同的情况灵活处理。同时语言教师应转变观 念，充分发挥课堂组织和管理者的作用，创设轻松良好的 氛围和环境，引导学生参与课堂互动，在获得更多的语言 输入的同时，又更多的机会进行语言输出和意义协商，使 学习者在运用语言中学习语言。 （三）改变提问方式，鼓励学生输出 课堂教学中教师应根据不同的需要精心设计提问，给 予学生适当的思考时间，鼓励学生参与交际互动，进行语 言输出。 （四）正确对待学生的语言错误，采用适当反馈 在语言输出过程中学习者的语言错误在所难免。教师 首先要对学习者的语言错误持宽容的态度，把握好时机， 对不同的错误采取不同的纠正方法，并运用适当的反馈策 略，既指出学习者的语言错误，又不打击其学习积极性，使
【中图分类号】０１３ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１６７３－－３８７８（２００８）０２川１０３—０２
不定积分的计算是高等数学的重要知识点之一，其运 算方法与技巧的熟练掌握对于学生的逻辑思维的培养，处 理实际问题的能力有很大帮助。常用的计算方法有直接 积分法，换元积分法和分部积分法。在运用分部积分公式
解：原式＝，（南一南，如＝Ｊ．扣一Ｊ．
者百再矿严＝南２瓦＋．＋Ｊ『百击石矿－出一一，Ｊ击百矿矿＝２南雨
＋Ｃ
四、积分过程中出现与原积分同类型的项．利用解方 程求出原积分。
例６．ｐ∞３ｘ，ｄ，ｚ 解：原式＝Ｉｅｅｃｘｄｔａｎｘ＝ｅｅｅ，ｘｔａｎｘ＝ｆ￥ｅｃｘ（∞ｃ２善一 １）出＝Ｉｌｅｃ．１ｆｔｓｎｚ一』（眦’量一一）如＝鲫嘣咄一 卜’地＋ｌｎ ｌ ｓ似＋ｔａｎｘ Ｊ
（责任编辑：胡炼）
·１０４·
万方数据
应用分部积分法的基本技巧
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
陶燕芳 长江职业学院公共课部,湖北武汉,430074
湖北成人教育学院学报 JOURNAL OF HUBEI ADULT EDUCATION INSTITUTE 2008，14(2) 0次
下载时间：2010年8月5日
参考文献(2条) 1.同济大学应用数学系 高等数学 2002 2.华东师范大学数学系 数学分析 1999
相似文献(10条)
1.期刊论文 刘宁 利用分部积分法求一种新类型的不定积分 -成都纺织高等专科学校学报2004,21(4)
高等数学或数学分析教材中,关于不定积分的分部积分法,只讨论由指数函数、三角函数、幂函数(或多项式)、对数函数、反三角函数中的两种基本 初等函数的乘积的不定积分.
例４．『ｅ－塑堕譬如 简化变形运算．再分部积分。
解：原式＝ｆ（钾“∞瞄一ｅ如里孚）如＝胁－．
Ｊ
ＣＯｉｌ‘善
Ｊ
＂ｄｓｅ篮＝（斯－一弘如出）一（户ｓ嘲一卜“如）＝
【收稿日期］２００７—１０—ｌＯ 【作者简介】陶燕芳（１９８ｌ一）。女。长江职业学院教师，项士。
·１０３·
万方数据
舭，寿 ｅ。（量一·嗽）＋Ｃ
Ｉｔ幽＝删一ｆ”如时，恰当地选取“和幽是解决问题的关
键。选取Ⅱ的经验顺序为“反、对、幂、指、三”，即依次表示 反三角函数、对数函数、幂函数（多项式函数）、指数函数 和三角函数，即被积函数中出现上述五类函数中的两个函 数乘积时，次序在前的通常设为Ｈ，次序在后的与出结合 在一起设为幽。将上述规律与如下使用技巧相结合，将会 取得事半功倍的效果。