分部积分法教案

分部积分法

教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。

重点：分部积分法及其应用

难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v

教学方法：讲练法

0 回顾

上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；

dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=

)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=

)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(

C

x F C

u F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求

dt t t f dx x f t x )(')]([)()

(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 C

F(x)C ])([)

()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ

1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。x x cos ↔

③第二类换元积分法

解：不妨设 t x t

x arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211

arccos 更为复杂

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅

对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''

移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。

故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

C x x x xdx

x x x dx

x x xdx

x ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样

先要化的和要求积分的

真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。

2 公式

2.1定理 设函数)(x u u =和)(x v v =及都具有连续的导数，则有分部积分公式：

⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）

说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d 里后，里外相乘减去换位的积分。

②内外积减去换位“积”。

③步骤：a 、放d 中，b 、套公式。

2.2 例 1求不定积分⎰⋅xdx x sin

解: ⎰⋅xdx x sin

C

x x x xdx

x x d x xd xdx x ++-=+-=-=⋅⎰⎰⎰sin cos ②cos cos ①)(cos sin 套公式中

放 3 V U 、的选取问题

例 2 求不定积分⎰⋅xdx e x

解： dx x e e x de x e x x d e xdx

e x x x x x x ⎰⎰⎰⎰-=-==⋅222222

1212

121)21(

容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：

C e xe dx

e xe de x xdx

e x x x x x

x +-=-==⋅⎰⎰⎰

发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d 里，换句话说就是则样选择u 和v 的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u 和v 是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u 和v 的呢？

我们来看一下公式⎰⎰-=vdu uv udv ，要把v 放在d 中首先要对v 积分，所以v 要便于积分；而u 要进行求导，所以u 便于求导；实际上关键是v ，v 定了，u 怎然定了。所以V U 、选取的原则是：v 便于积分，u 便于求导。

例3 求不定积分⎰

xdx x ln

分析：对于x 和lnx 来说明显的x 便于积分，故选lnx 做u C x x x xdx x x x d x x x x xd xdx

x +-=-=-==⎰⎰⎰⎰2222224

1ln 212

1ln 21ln 2

1ln 21)2

1(ln ln 实际上在选取v 时是相对的，两个函数中更便于积分的做v ，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.

4 例题讲解

例 4 求不定积分⎰

xdx ln

分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1⋅即可。

解： C x x x x

xd x x xdx xdx

+-=-==⎰⎰

⎰ln ln ln ln ln

结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。

例 5 求不定积分dx e x x ⎰

2

解：

C

e xe e x dx e xe e x de x e x dx e x e x de x dx

e x x x x x x x x

x x x x

x ++-=--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2)

(222222222再次使用分部积分公式

结论：分部积分公式是可以重复使用的。

例 6求不定积分xdx e x sin ⎰

解：

xdx e x e x e xdx

e x e xde

xdx

e x x x x x x x sin cos sin cos sin sin sin ⎰⎰⎰⎰--=-==

好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x =⎰

sin ,则上式变为： C x e x e I x e x e I I

x e x e I x x x x x x +-=-=--=)cos sin (2

1cos sin 2cos sin 则

问题得以解决。故要灵活的处理问题。

5 小结

1、分部积分的公式

2、U 、V 的选取

3、灵活的使用公式